Сравнение реальных рыночных цен опционов с независимыми ценами рассчитанными моделью на исторических данных.

КомпанияNewmont (средне волатильная цикличная ресурсная компания)


Овалами выделены премиумы для двух опционов: «кол страйк 1.25 експир 1г» и «пут страйк 1/1.25 экспир 1г» столбец '365' рыночный премиум столбец 'е' премиум расчитаный моделью, столбец 'p' — вероятность попадания опциона в деньги (все значения относительны, если принять текущую цену за 1).

В целом мне кажется неплохое совпадение, и, еще наблюдение — этим ценам соответствует распределение (implied volatility, только не в риск нейтральной а в реально мере) показанное на графике ниже — обратите внимание распределение асимметрично и с тяжелыми хвостами (это подтверждают и исторические данные и рыночные цены опционов).

График показывает CDF (красный, для негативных) SurvivalFn( синий для позитивных) в лог лог маштабе, х прибыль/убыток, y вероятность.

К сожалению… бытующее мнение что далекие ОТМ опционы (tail risk) недооценены (Н. Талеб упоминал об этом) я этого не вижу. Явно видно что в цены даже далеких опционов уже заложена ненормальность и tail risk, и рынок корректно установил на них цены.

( Читать дальше )

Простейший вопрос — какая исторически средняя ожидаемая цена у акций через год? Ответить на который очень сложно.



На графиках зависимость риск премиума годовой цены от волатильности акции. Риск премиум: mean[S_365/S_0/R_RF] (ожидаемая цена акции, если текущую цену принять за 1 за вычетом (делением) безрисковой ставки). 

Первый график все периоды безрисковой ставки вместе. Вторая линия, каждый период безрисковой ставки отдельно (в заголовке % ставки указан).

Мысли:

Среднее невозможно посчитать напрямую, даже имея сотни акций с историей 55 лет, если считать напрямую — ошибка получается просто огромной, давая совершенно бесполезный результат с абсурдной точностью +-100-300%. Ни регрессии ни простые mean(returns) не работают.

Особенно, если нужно посмотреть зависимость ожидаемой цены акции от некоего параметра (например волатильности акции) и у нас сразу становится в разы меньше данных и точность еще хуже.

Что еще хуже, есть разного рода перекосы в данных, например 2й график нижний ряд период 2-5% безрисковой ставки, исторически попал на кризиси, и получилась заниженная и не имеющая смысла цена. Что с ней делать и что даст регрессия? Понятно бессмысленный результат.

( Читать дальше )

Распределение логарифмов ожидаемой годовой прибыли.


Упростил расчеты, выкинув кучу лишнего. Черточки на линии — 95% и 99% интервал, серый нормальное N(0,1) для сравнения.

Модель: предсказание будущей цены как распределения вероятностей. Входные данные текущая волатильность (EWMA) и текущая безрисковая ставка. Прогноз — распределение вероятностей для лог прибыли через год, в виде гауссовского микса.

Данные: 250 акций с 1970г каждая.

Регрессия на исторических данных по Мах Likelihood дала Нормальный Микс изображенный на рисунке.

Точность… я не знаю как точно ее оценить, вероятно не высокая, плюс минус километр, но походу это максимум что можно вытащить из исторических данных и текущей цены. (возможно EGARCH и т.п. дадут лучше, но едва ли сильно лучше).

Проблемы:

— Осталась старая проблема, модель завышает (арифметическое) среднее ожидание прибыли для волатильных акций, поэтому она принудительно упрощена и ожидание цены всех ацкий сделано одинаковым. Я думаю из за перекоса (ошибка выжившего и недостаточный обьем) в данных.

( Читать дальше )

Исторические цены дают грубый прогноз будущей цены. Но, их можно использовать как prior — можно их менять, чтобы получить более точный прогноз. Например добавить вероятность банротства.

Распрееленеие лог доходов акции, PDF[log return]. Красная линия изменения после добавленния 0.5% падения до х0.2 (плавно размазаное по распределению).



Или, уточнить возможный рост, на базе финансовой отчетности.

По сути получается похоже на байесовский prior/posterior.

У каждой своя проблема:

— PDF показывает плотность а не вероятности, нужно закрашивать полутонами площадь графика чтоб показать вероятности что не всегда удобно.
— PMF не стабильна при изменении шага дискретизации (см картинку ниже).
— CDF/SurvF на лог маштабе половину перекашивает.

Что использовать, для наглядности, чтоб показывало реальные вероятности, в том числе в лог маштабе? Как вариант комбинацию CDF: х<0, SurvF: х>0 (или можно выбрать моду/дреднее вместо 0).





Пример проблемы с PMF, PMF очень удобна и интуитивно понятна, но, имеет неприятную проблему, графики ниже одно и то же распределение, с разным шагом дискретизации, если его показать не точками а линией то вообще непонятно что это одно и то же.



( Читать дальше )

Цена AMD во времени в лог пространстве (log returns). С вероятностями в момент времени t (черные точки) и условными вероятностями переходов (синие линии).

Если посмотреть на черные точки детальней то это будет распределение имеющее форму



( Читать дальше )

Полезная штука, когда недостаточно данных, особенно в концах, PDF получается зигзаг.

Можно улучшить, если заполнить провалы соседним меньшим значением. 



Можно также сделать интерполяцию и гладкую форму, но, не зная точно распределение, с интерполяцией можно ошибиться и завысить значения, грубый подход с наименьшим соседним значением выглядит безопаснее.

UPDATE: Это не настоящее распределение из цен акций, это просто мелкая хитрость как вслепую чуть улучшить распределение (сглаживание интерполяцией мне кажется вслепую делать нельзя), этот конкретный пример это искуственные данные.

Предположим, мы используем реальные вероятности для прогнозa годовой доходности акций компании (распределение вероятностей прибыли через год).

И на основе этого прогноза решаем, a) купить акции или b) купить акции и защитить их с пут опционом или c) купить колл опцион вместо акций. (Цены опционов расчитываются симуляцией через предсказанное реаспределение цен акции).

Подскажите пожалуйста, какие преимущества, если вместо реальных вероятностей будет использоваться риск нейтральность?

Насколько я понимаю, риск нейтральный подход — это когда мы разделяем модель на две части a) моделирование нейтральных к риску цен и b) преобразование полученных нейтральных к риску цен обратно в реальные цены. Но чем такой подход лучше, чем прямое моделирование с реальными вероятностями?

P.S.

Модель реальных вероятностей работает следующим образом:

— Базовый прогноз — это исторические цены, продолженные в будущее (модель аналогичная random walk, с учетом недавней волатильности, возврата волатильности к среднему и случайных скачков волатильности).

( Читать дальше )

Практически одинаковые значения/изменения волатильности (бегущее среднее отклонение) за всю историю АМД (у других акций также).


В лог маштабе



( Читать дальше )

Продолжаю исследовать цены. В первой части исследования (15мб, грузится не сразу, параметры интерактивны можно щелкать, потом видео сниму если будет время) я сознательно исключил нестационарность.

Сейчас стараюсь ее нормализовать. Есть подход использовать движущееся среднее стандартное отклонение, но, мне нравится видеть что происходит, и подход с движущимся окном гораздо нагляднее (оба подхода примерно одно и то же).

а) берется дневные цены б) для каждого дня считается разница логарифмов цен за год (изменение цены за год) в) берем окно 360 дней г) движем его с шагом 30 дней д) для каждого окна считаем параметры нормализации и нормализуем изменения цен в этом окне е) для нормализованного окна на каждом шагу строим распределение цен и показываем его на графике.

Параметры нормализации считаются 2мя способами а) считаем среднее по медиане, и считаем абсолютное отклонение опять же по медиане, и затем нормализуем, вычитаем центр и делим на отклонение б) считаем STD от 97 квантиля, и вычитаем центр и делим на сигму.

( Читать дальше )