При нормализации страйков К как вероятность p = P(S_T < K), получается линейная зависимость OTM премиума от страйка (ОТМ до/после p=0.5), ИТМ часть нелинейна.


P(S_T < K) = F(d2) из Black Scholes

Против самого d2 OTM тоже линейна, но по другому



( Читать дальше )

Есть 4 варианта нормализовать страйки опционов, цель — чтобы К были одинаковы для разных (цен акций, периодов экспирации, волатильностей):

Что лучше — совершенно точный но неверный результат, или приближенный, но в целом верный?

— [точный] F(d2) через IV, получаем точные значения, соответствующие ожиданиям рынка. Интерполяция, очень точно.
— [приближенный и искаженный] Предсказать mu, sigma на момент экспирации, на основе исторических данных, и получить F(d2) через них. Экстраполяция, не точно, и ошибка в концепции, не учитывается форма (ассиметричность, хвосты) распределения.
— [приближенный и ненадежный] Предсказать полное распределения на момент экспирации аналитически SkewStudentT(mu, sigma, skew, freedom), расчитать F(d2) через него. Концепция верная, но это экстраполяция и результат не точный, причем может быть сильно не точным из за ошибок в mu.
— [приближенный и мало полезный] Предсказать полное распределения на момент экспирации эмпирически как численная CDF, расчитать F(d2) через него. Концепция верная, но это экстраполяция и результат не точный, но он не зависит от среднего и других параметров и несколько более надежен чем аналитич формула. Но, с численной CDF сложно работать, нельзя сделать точную подгонку и т.п.

( Читать дальше )

Нормализация страйков, чтобы для каждого периода и волатильности были одинаковые значения страйков. 


На графике:

• x нормализованные страйки K,
• y вероятность попадания опциона в ITM, в лог маштабе, CDF(K) p<0.5 и SurvivalFn(K) p>0.5 
• цвет — волатильность (дециль),
• каждая группа — это отдельный период [30, 60, 91, 182, 365, 730]. Периоды искуственно сдвинуты вверх чтобы отличить, в реальности все периоды также сливаются в одну линию.

По сути это график d2 vs F(d2).

Нормализация:

mean = log(E[S_T/S_0]) — 0.5sigma^2
d2 = (log K/S_0 — mean)/sigma

Этот же график, только каждый период на отдельном графике и в линейном маштабе.


( Читать дальше )

Несколько по другому посчитал ожидаемую цену акции E[S_T/S_0], цвет линий — децили волатильности, первый график — обычный, второй то же самое через трансформу чтобы лучше увеличить.


Явно отличия для разных квантилей, прямые линии получаются для разных квантилей.

Исключение 10 квантиль, в нем есть перекос, явное завышение среднего, отличное от остальных 9 квантилей (заметно на втором графике, но на картинке этого не видно, я его убрал и забыл добавить), видимо из за ограниченности данных (ошибки выжившего).

Полагаться на это среднее для инвест решений опасно, среднее в принципе нестабильно да еще кто знает с какой точностью оно определено, но использовать его как нормализацию (например для нормализации страйков опционов желателъно знать среднее) мне кажется можно.

Формула Блак Шолес в оригинальном виде выглядит как (если принять S0=1, r = 0, T = 1, что не меняет сути):


Но в таком виде не понятно что именно она делает, ее можно переписать в визуальном виде, с понятным геометрическим смыслом



( Читать дальше )

Формула d2 нормализации страйка K


Это — z score нормализация (х-mu)/scale, где х =  ln(S/K) — страйк в лог маштабе, mu = (r-sigma^2)T локация для нормального (лог нормального) распределения на время экспирации T, и scale = sigma*sqrt(T) сигма цены на время экспирации T.

d2 нормализация говорит — какова вероятность что опцион будет в деньгах P(S>K) = F(N(0,1), d2). Таким образом сводя все опционы с любыми периодами и волатильностями, к единому маштабу. Точнее, d2 говорит не саму вероятность, а квантиль такой вероятности для N(0,1), что по сути одно и то же.

Неточности:

а) Зависит от mu — среднего, среднее чувствительно к шумам и сложно установить точно (для исторических реальных вероятностей, для IV возможно среднее устанавливается лучше).

б) Подразумевает симметричность распределения, которое в реальности асимметрично (для долгих опционов >3мес).

в) Использует нормальное распределение, которое в реальности Skew Student T.

Неудобства

Также оно имеет два неудобства

а) Вместо явного значения вероятности, которая имеет осязаемый смысл, использует ее маппинг через N(0,1) в квантиль, нечто абстрактное и неосязаемое. Одна из аргументов за — что явные вероятности имеют нелинейную шкалу а квантили более линейны.

( Читать дальше )

Обычно d2 представлена как

d2 = (log K/S + (r — 0.5sigma^2T)) / sigma sqrt(T)

Если учесть что sigma sqrt(T) это sigma в момент экспирации, и для простоты принять безрисковую ставку 0 и текущую цену акции 1 получим

d2 = (log K — 0.5sigma^2)/sigma

Что внизу понятно — нормирующий множитель, делим на сигма чтоб привести к единому маштабу вне зависимости от волатильности

Вверху «log K — 0.5sigma^2» — это точка страйка на лог шкале, с поправкой на неравенство Дженсен.

d2 получается это нормированный страйк.Но не понятно зачем из лог страйка вычитать поправку Дженсен. Это же просто точка, а не распределение, для точки поправка Дженсен не требуется.

d2 иногда используется для нормализации страйка, интересен ее смысл именно в этом контексте. Почему не просто log K / sigma. Зачем еще вычитать поправку.

Походу это лучшее представление «будущего». Оно интуитивно понятно, хорошо изображается как 2D граф (если толщину линий сделать пропорциональна вероятностям перехода), явно показывает вероятности, явно показывает пути, не требует нормальности.

Implied Volatility Surface изображает вероятности, но не показывает пути. Brownian Motion изображает пути но не показывает вероятности, и ее «форму» нельзя «увидеть» без симуляции. 

Implied Volatility Tree например как recombinant ternary tree (мне кажется 3ное дерево внешне выглядит лучше и понятней чем 2йное). 



Ну и оно относительно интуитивно и визуально показывает что такое Американский Опцион, как взвешенный обход этого графа. И по нему сходу считаются как Евро так и Американские опционы.

И достаточно быстро строится, его можно строить итеративно, последовательно для каждого периода. И оно уже готово для вычислений опционов. 

Из минусов дискретность по времени и цене, но это не проблема.

И, сам подход и концепция достаточно простой, похожий на цепи Маркова со скрытыми слоями.

Это премиумы пут опционов на 60 дней, для различной волатильности (10 децилей волатильности). Простые линии, где сначала идет экспонента, затем линия.

 
Несмотря на простую форму, их сложно повторить.

Одна такая кривая (пунтир), с фиттингом гибридной линии (непрерывная), отличное совпадение: 

( Читать дальше )

Я отошел от предсказания полного распределения, и предсказываю только небольшую часть, падение акции в диапазоне х0.5-0.9. Неожиданно — рейт текущей годовой безрисковой ставки — вообще никак не улучшает точность прогноза, полный ноль.

Прогноз — регрессия пут премиумов (которые чувствительны к падению акций) на исторических данных. Что добавляешь безрисковую ставку в модель,  что нет, результат вообще не меняется.

Странно, я ожидал что рост безрисковой ставки будет предсказывать падение,  по идее когда ставку поднимают компаниям сложней обслуживать кредит, и по идее на них больше прессинг. Но данные показывают что эффекта ноль.

RSI (Relative Strength Index) — немного улучшает, если акция идет вверх цены пут опционов уменьшаются, а если падаеет увеличивается, т.е. после падения акции ожидается дальнейшее падение. Неожиданно, я думал теханализ это гадание на кофейной гуще, но оказалось эффект есть.

Премиумы путов (цвет разная волатильность):