GARCH

Волатильность это скрытый лог нормальный процесс (без перекоса и без тяжелых хвостов). И поэтому все упрощется и в каждый момент его можно описать всего 2мя числами — локация и дисперсия. Соотв прогноз волатильности это 2 числа, не одно. 

Если мерять через IV поверхность, то локация это волатильность ATM а дисперсия — как сильно отличается волатильность на FAR OTM, т.е. как высоко идут крылья.

Если мерять через интрадей, то локация это Е[log r^2] а дисперсия std[log r^2] от минутных лог прибылей.

Практический смысл? Возможно стоит на графиках вывести 2 линии вместо одной (или одну переменной толщины), может они смогут лучше обьяснить режимы рынка и т.п. чем одна линия...

П.С. И это то чего не может GARCH, он отслеживает только loc, упуская 2е  (ну и динамику).

Талеб в разных вариантах упоминал что варианс использовать нельзя, потому что ее нельзя точно измерить. И как следствие GARCH который основан на измерении варианс использовать нельзя. Меня это заявление беспокоило, поскольку я гарч использую, и несколько недель в фоне размышлял.

For silver, in 46 years 94 percent of the kurtosis came from one single observation. We cannot use standard statistical methods with financial data. GARCH (a method popular in academia) does not work because we are dealing with squares. The 52 a non-technical overview — the darwin college lecture variance of the squares is analogous to the fourth moment. We do not know the variance. But we can work very easily with Pareto distributions. They give us less information, but nevertheless, it is more rigorous if the data are uncapped or if there are any open variables. // Statistical Consequences of Fat Tails

Я думаю он прав и не прав одновременно. Прав что использовать варианс в чистом виде, как статистику по r^2 походу реально смысла нет, вот как она выглядит (картинка1).

( Читать дальше )

Для симуляции цены, и обратной задачи идентификации (GARCH), лог приращения цены можно определить по разному

• rt = μ + σt*zt — для исторических (P)
• rt = (log(rf) — σt^2/2) + σt*zt — для риск нейтральных (Q)

Это два крайних случая, первый подразумевает что риск премиум максимальный, второй что ноль.

И тот и другой варианты слишком экстремальны, мне кажется в реальности исторические цены (P) где то между ними, в реальности риск премиум меньше максимального но больше нуля.

Оказывется есть GARCH-M который учитывает этот момент и использует

• rt = (μ + λ*g(σt)) + σt*zt

Давно не постил графики. Предсказание волатильности 1д, 1мес, 1год. по историческим данным




Волатильность в данном случае это параметр scale предсказанного (условного) распределения log r через время T = 1d, 1m, 1y, 

Это некоторые итоги, мысли вслух. Я завершил работу с вероятностями, распределениями, GARCH, и т.п.

По итогу, я вернулся к классическим методам. Но, шел я странным путем, как сделав десятки ножей собственного изготовления, в итоге, пришел к ножу такому же как обычный.

Я умышленно не стал смотреть классические методы пока не сделаю их сам. По 2м причинам а) у меня было подозрение что они могут быть ошибочны (они сделаны под фонды и брокеров, у которых немного другие условия игры) б) хаотичное самостоятельные исследования лучше усваиваешь материал.

И с небольшой вроде бы задачей, предсказать прибыль как распределение вероятностей. Возникло огромное число связанных вопросов и они вытянули много связанных тем и задач.

Ну и сделав и испытав десятки разных ножей в самых разных условиях… обычный нож начинаешь видеть несколько по другому, и «классика» понятие условное, есть много деталей геометрия ножа, материал, заточка, варианты использования…

( Читать дальше )

Посмотрел разные модели GARCH, EGARCH, FIGARCH, APARCH, HARCH, NGARCH, GARCH-M. Периоды прогноза 1д, 30д, 365д.

Результаты похожи, разница E[likelihood] составляет порядка 1-3% между моделями. Начиная с некоторого значения упираешся в стену, и продвинуться дальше и заметно улучшить прогноз не удается, сложные модели дают результат практически такой же что и простые.

Стоит ли использовать EWA с параметрами выставленными наугад? Нет, классический GARCH по сути тот же EWA, но с подобранными параметрами будет заметно лучше, и делается очень просто.

Стоит обратить внимание на оверфиттинг — подумать какая часть модели обща для всех акций, и какая часть специализирована для конкретной акции.

Данные дневные исторические, 50 лет, 250 акций.

Что не сделано, дневные данные log r, грубые. Для прогноза 1д эти результаты не особо показательны. Скорей всего, с высокочастотными данными, минуты, либо еще детальней - можно гораздо лучше сделать.

Меня в первую очередь интересуют долгосрочные прогнозы 90-365d, поэтому я ограничился дневными. Как будет время, попробую дневные OHLC, они тоже грубые, но говорят результаты чуть лучше чем просто log r.

На графике — волатильность (scale параметр условного распределения лог прибыли) в зависимости от периода времени. Экономисты правы, броуновское движение неплохо приближает. В диапазоне 1%-99% просто идеально прямые линии.


За пределами 1-99 линии начинают изгибаться, видимо проявляется что движение все таки не броуновское, тяжелые хвосты, кластеры волатильности и все такое.

Как сделан график. Периоды времени [1, 7, 14, 30, 91, 182, 365, 730, 1095] дней. Для каждого периода сделан фиттинг GARCH. Данные 250 акций, дневные цены за 50 лет, это 250х12600 дней в сумме. На каждый день предсказана волатильность. Затем по предсказанной волатильности посчитаны квантили (цвет линий). Волатильность это scale параметр предсказанного условного распределения.

Неожиданно, я не думал что будет такое хорошее приближение. Это значит если нас устраивает диапазон 1-99%, мы можем забить на сложности, и использовать простую формулу vol_T=vol*sqrt(T).

Результат GARCH фиттинга по 250 акциям, с использованием StudentT в качестве распред ошибки.





Степень хвоста это степень свободы в StudentT, df или ν. Для каждой акции сделан отдельный фитинг, со своей степенью. Цвет историческая волатильность, походу историческая волатильность не влияет на степень, низко и высоко волатильные идут вперемешку.

На удивление разброс большой я ожидал меньше. Насколько достоверно? По идее достаточно достоверно, по каждой акции 50 лет истории или 13тыщ торговых дней, для достаточно точного определения степени хвоста достаточно 5 тыщ точек, а здесь почти втрое больше.

Классический гарч, фиксирует среднее в лог пространстве


Вместо этого он должен фиксировать среднее в линейном пространстве, выражение 𝑙𝑜𝑔𝐸[𝑒^𝑟] должно быть константой.



( Читать дальше )

GARCH и его вариации — измерение краткосрочной волатильности, и продолжение ее в будущее, что то вроде EWA. Простой, понятный, быстрый. Вроде работает неплохо для 1 дня, но мне кажется что для больших сроков предсказаний работает не очень.

HAR — комбинация кратковременной и долговременной меры волатильности. Простой, понятный, быстрый. То что я использую и мне кажется наилучший из простых подходов. Работает и для 1д и для больших сроков и мне кажется более надежен чем GARCH.

SV — эволюция GARCH добавлена неопределенность, по сути это Байесовский Гарч. Выдает не просто предсказание вооатильности как число, но распределение вероятности для волатильности. Медленный, тяжелый алгоритм, сложный. Мне кажется как и Гарч не подходит для больших сроков предсказаний.

И я думаю SV позволяед точнее чем Гарч, симуляцикй монье карло сгенерировать процесы цен, и например посчитать опционы, или построить распред вероятн на любую дату в будущем.

SV-RV — тоже самое что SV но позволяет вносить уточняющие данные, например интрадей волатильность.

( Читать дальше )

Н. Талеб упомнал что при тяжелых хвостах 3 (именно такие у дневных цен) Var[Var] равен бесконечности.

Это значит огромные ошибки измерения Var (очень медленное схождение) и неприменимость GARCH и т.п.

Я в прошлом посте упустил что GARCH измеряет условную волатильность а не i.i.d, и ее сходимость может быть совершенно другая, быстрее и стабильнее, чем сходимость i.i.d.

Итог — походу GARCH с Variance использовать можно, или как вариант можно использовать GARCH с MeanAbsDev (она имеет очень быструю и стабильную сходимость, но, менее чувствительна к всплескам). Что лучше — непонятно, вопрос оставляем открытым.

Эксперимент измерение сходимости Var для i.i.d. ь действительно как видим медленная и нестабильная, но как сказал для реальных цен ситуация мож быть гораздо лучше