Если вкратце — sign(A+B) легко выражется через A, B, abs(A), abs(B), abs(A+B), abs(A-B) и т.д.

А какой тут предполагается правильный ответ?..

sign(A+B) = (A+B)/abs(A+B)

(по определению), и это можно обобщить на любое число слагаемых. Такой ответ подходит?

SergeyJu, мне очень нравятся все ваши комменты, с удовольствием читаю!

SergeyJu, да, полностью согласен; в численном анализе доказывается, что вычисление высших производных по дискретным формулам — это очень вычислительно неустойчивая (ill-conditioned) операция. Как минимум нужно применять какие-то сглаживающие процедуры типа фильтра Кальмана.

Вы, наверно, знаете из моего блога, что я теоретик :) Ни один свой алгоритм я еще не запускал на практике — просто потому, что я очень тщательно бэк-тестирую, и не вижу на бэк-тестах что-то такое, чем я готов рискнуть на живых деньгах. Из последних моих исследований, то, что показывает какой-то интересный положительный результат, это:

— в области возврата к среднему — кросс-секционные стратегии (торговля теми инструментами, которые отклонились от среднего больше, чем вся группа целиком — причем это среднее может быть что-то простое, как доходность, так и какие-то более сложные вещи, как факторы высшего порядка в PCA анализе);

— самые простые TSMOM-стратегии тоже показали интересные результаты, к моему удивлению.

Также выглядит интересным сочетать оба подхода: например, ставить на возврат к дневному кросс-секционному среднему только тогда, когда есть долговременный тренд в этом же направлении. Мой поверхностный бэктестинг такого комбинированного подхода для BIST (турецкой биржи) показал хороший результат.

Также я начал пробовать подходы с определением режима, но пока не углубился в них. 

А какие у вас подходы-«чемпионы»?

Подброшу еще одну идею, позаимствованную из чистой математики  — может, она покажется интересной вашему другу-математику (я сам математик и тоже люблю такие обобщения и абстракции).

Доходность — это первая производная функции цены (показывает, цена растёт или убывает, и как быстро).

А как насчет второй производной? Она должна показывать ускорение или замедление роста и точки перегиба; можно ли это использовать для трейдинга?

(Производные мы будем вычислять, конечно, по приближенным дискретным формулам).

Интересно, что разница между двумя скользящими средними, которая используется в классическом алгоритме MCAD, тоже может быть проинтерпретирована как вторая производная:

каждая из скользящих средних — это первая производная, их разница — вторая производная.

Такой тип стратегий называется Time series momentum (TSMOM), и есть много работ с исследованием таких стратегий, например:

Time series momentum — Moskowitz et al (классика)

www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0304405X11002613

Demystifying Time-Series Momentum Strategies: Volatility Estimators, Trading Rules and Pairwise Correlations — Baltas & Kosowski

www.researchgate.net/publication/255856103_Demystifying_Time-Series_Momentum_Strategies_Volatility_Estimators_Trading_Rules_and_Pairwise_Correlations

и др.

В приведенных мной статьях, особенно во второй, есть такие отличия от вашего подхода:

— Размер позиции обратно пропорционален волатильности (чем выше волатильность, тем меньше алгоритм берет риск)

— В качестве индикатора можно попробовать использовать не просто доходность (выросла на 5% — открыли позицию), а доходность, нормированную на волатильность. Смысл в том, что такие колебания в 5% могут быть для данного актива обычными дневными колебаниями (шумом), а не началом тренда; а нормализация устранит шум.

Попробуйте прикрутить волатильность — может, результат лучше получится.

Насчет переключения между трендовым алгоритмом и алгоритмом возврата к среднему — это сложная задача (называется «переключение режима», regime change), и решается с помощью разных подходов:

— нейронные сети

— марковские цепи

— макроэкономическое моделирование
и т.д.  

Eth_algotrader, под статистикой результатов вы имеете в виду динамику стоимости пая (equity)? Это открытые и регулируемые данные — они публикуются на платформе TEFAS (единая государственно регулируемая платформа, через которую в Турции торгуются ПИФы).

На основе данных из TEFAS есть много бесплатных и платных приложений, которые высчитывают разные риск-метрики, показывают текущие активы в фонде и их распределение во времени, делают рекомендации по оптимальному портфелю, и т.д. В последнее время также как на дрожжах появляются AI-советники (и по фондам, и в целом по инвестиционным инструментам). Я даже сам пытаюсь сделать такой стартап (фонды + AI), но мало свободного времени, буксую. :(

А вы же вроде copy trading'ом занимаетесь? Насколько я понимаю, открытый исходный код стратегии вы тоже не публикуете? :)

Потеряев А.А., за счёт чего у индивидуалов доходность будет выше? Неужели профессионалы с многолетним опытом, которые собаку съели на фундаментальном и техническом анализе, и это их основной род деятельности, не могут сравниться с индивидуалами?

Да, у меня есть знакомые, которые показывают гораздо большую доходность в краткосроке, но их портфели жутко волатильны, на долгосроке они проигрывают.

Eth_algotrader, я тоже полюбил волатильность.

В том же Марковице есть несколько модификаций, которые позволяют учитывать ожидаемую, а не историческую, доходность (например, есть сложный подход Black–Litterman, использующий байесовскую модель для ожидаемых доходностей — этот подход реализован в pypfopt, если я правильно помню).

Но есть серия статей, показыващих, что на практике простой подход с минимизацией волатильности часто бьёт сложные подходы с доходностью — в том числе бьёт по индикаторам, учитывающим доходность (например, по Шарпу).

Я уже не говорю про то, что чем меньше волатильность, тем меньше ожидаемая просадка, и психологически легче не запаниковать и не закрыть в самый неподходящий момент. 

Eth_algotrader, да, формально это ef.min_volatility(), но я в итоге отказался от пакета pypfopt, и реализую вычисления с нуля. Плюс в том, что я не связан функциями пакета, и могу запрограммировать любую логику. Выглядит это как-то так:

Eth_algotrader, спасибо за комментарий!

Подход рабочий, я его сейчас применяю для своих долгосрочных инвестиций, но оптимизирую не по Шарпу, а по волатильности. То есть, активы выбираю по другим соображениям (макроэкономическим), а вот доли между ними распределяю по Марковицу.

За 2025 у меня годовая волатильность портфеля 10%, а Шарп около 3 (это в турецких лирах и с безрисковой ставкой, равной турецкому депозиту) — считаю, отличный результат.

profynn, не знаю, черт ногу поломит, не могу разобраться. У меня был открыт параллельно контракт на фьючерсы с экспирацией в январе, и вот какие движения я вижу по счету. Каждый день ожидаемо капала прибыль по фьючерсам + проценты с залога, но 29-го числа эта прибыль в разы больше, чем в другие дни — может, это и есть захлопнувшийся опцион? Не понимаю, почему 29-го, а не 30-го.

profynn, я подписан на один популярный турецкий экономический канал на youtube, его ведущий делает каждую пятницу обзор процентов по банковским вкладам.
www.youtube.com/watch?v=pJIZv3mZhhM

Вот его данные за 30 января (я попросил чатгпт сделать табличку из текста субтитров). Процентная ставка сейчас 37%.