Взгляд через призму стохастического анализа и теории меры

1. Аксиоматизация «сардин»

Автор вводит концепт «сардин» как компактное метрическое пространство S ⊂ L²(Ω, F, P), где:

• Ω — множество элементарных исходов рынка

• F — поток σ-алгебр, порожденный ценовым процессом {Pt}t≥0

• P — мартингальная мера

Тезис: «Сардины» — класс предсказуемых процессов ξt, для которых выполняется условие сжатия волатильности:

lim[t→T] E^Q[|σt — σhist| | Ft] = 0

где σhist — историческая волатильность, Q — риск-нейтральная мера.

2. Теорема о невозможности арбитража

Если ∃ τ — момент остановки, такой что ∀ t ∈ [0,τ] процесс ξt удовлетворяет неравенству:

d⟨ξ, W⟩t ≤ ε dt P-п.н.

где W — винеровский процесс, то для любого допустимого портфеля π выполняется:

sup[t≤τ] E[U(πt)] < ∞

где U — функция полезности фонда.

3. Алгоритмическое извлечение «сардин»

Метод выделения ξt через сингулярное разложение матрицы ковариаций доходностей: