Походу это лучшее представление «будущего». Оно интуитивно понятно, хорошо изображается как 2D граф (если толщину линий сделать пропорциональна вероятностям перехода), явно показывает вероятности, явно показывает пути, не требует нормальности.

Implied Volatility Surface изображает вероятности, но не показывает пути. Brownian Motion изображает пути но не показывает вероятности, и ее «форму» нельзя «увидеть» без симуляции. 

Implied Volatility Tree например как recombinant ternary tree (мне кажется 3ное дерево внешне выглядит лучше и понятней чем 2йное). 



Ну и оно относительно интуитивно и визуально показывает что такое Американский Опцион, как взвешенный обход этого графа. И по нему сходу считаются как Евро так и Американские опционы.

И достаточно быстро строится, его можно строить итеративно, последовательно для каждого периода. И оно уже готово для вычислений опционов. 

Из минусов дискретность по времени и цене, но это не проблема.

И, сам подход и концепция достаточно простой, похожий на цепи Маркова со скрытыми слоями.

Я распилил гирю, но она оказалась железной. Определил предсказание будущей цены акций, в форме распределения вероятностей, на основе исторических данных.



Но, как оказалось, распределение вероятности принципиально нельзя установить с приемлемой точностью, не получается определить среднее ожидание, а о шибки в среднем, сильно отражается на опционах. Да еще мои неполные данные добавляют перекоса.



( Читать дальше )

Зависимости цены акции через год от безрисковй ставки и текущей волатильности.


— х — децили волатильности акции (1 низко, 10 высок волатильнасть),
— y — ожидаемая прибыль акции через год, мультипликативная прибыль свыше текущей ставки, т.е. Е[S_365/S_0/S_RF]
— цвет линии — децили безрисковой ставки.

Получено через оценку shadow mean N. Taleb ниже результат предсказания модели (красная линия) против реальных данных (250 акций с 1972г каждая, чтобы ослабить перекос ошибки выжившего, в данные искуственно добавлены банкротства зависимые от волатильности дающие в среднем 0.5% банкротов в год).

Вторая линия 5 графиков это 5 квантилей безрисковй ставки, ось х децили волатильности. Первы график все безрисковые ставки вместе, ось х квантили волатильности.

Взрывной рост при высокой волатильности я считаю случайным артефактом и игнорирую.



( Читать дальше )

Я умышленно отказался от сложных моделей. Потому что было непонятно какой результат они дают. И использовал простые, прозрачные и интуитивно понятные модели. Сейчас боль менее понятно зачем нужен GARCH/ARIMA и т.п. и область их применимости.

Нужно разбить модель на 2 части.

Нормальную <0.95-0.97 квантиль 

Где много данных, спокойная случайность, работает закон больших чисел. Здесь GARCH/ARIMA и т.п. сложные модели оправданы и могут дать хорошие результаты и высокую точность.

Ненормальная >0.95-0.97 квантиль

Не работает ничего кроме очень грубых прикидок, сложные модели бессмысленны, по сути модель составляется вручную на основе здравого смысла и визуальной оценки графиков и каких то очень простых и грубых оценок.

Тщательно готовить данные

Смотреть чтобы не было перекосов как попадания одного из праметров модели только на кризис, или наоборот ни разу не попадания. И т.п.

Простейший вопрос — какая исторически средняя ожидаемая цена у акций через год? Ответить на который очень сложно.



На графиках зависимость риск премиума годовой цены от волатильности акции. Риск премиум: mean[S_365/S_0/R_RF] (ожидаемая цена акции, если текущую цену принять за 1 за вычетом (делением) безрисковой ставки). 

Первый график все периоды безрисковой ставки вместе. Вторая линия, каждый период безрисковой ставки отдельно (в заголовке % ставки указан).

Мысли:

Среднее невозможно посчитать напрямую, даже имея сотни акций с историей 55 лет, если считать напрямую — ошибка получается просто огромной, давая совершенно бесполезный результат с абсурдной точностью +-100-300%. Ни регрессии ни простые mean(returns) не работают.

Особенно, если нужно посмотреть зависимость ожидаемой цены акции от некоего параметра (например волатильности акции) и у нас сразу становится в разы меньше данных и точность еще хуже.

Что еще хуже, есть разного рода перекосы в данных, например 2й график нижний ряд период 2-5% безрисковой ставки, исторически попал на кризиси, и получилась заниженная и не имеющая смысла цена. Что с ней делать и что даст регрессия? Понятно бессмысленный результат.

( Читать дальше )

График средней исторической годовой прибыли в зависимости от текущей волатильности акции. Средняя прибыль высоко волатильных акций уходит в космос.



Это старая тема, но на этом графике гораздо лучше видно что именно происходит. Данные: 250 акций, все начиная с 1972г, дневные цены.

Я пока не знаю почему это происходит, походу какой то случайный артефакт. Возможно ошибка выборки, если акция умудрилась иметь огромную волатильность и таки не обанкротися за 55 лет, то (в большинстве слулчаев) это какой то супербизон с огромной прибылью, и они перекашивают график.

Походу, в реальности кривая выглядит как продолжение линии до 0.0004 и затем дальше плоская почти (либо чуть растущая типа логарифма).

Подробное описание вычислений, а также данные и код по ссылке ниже:

quant.stackexchange.com/questions/82501/insanely-high-mean-annual-returns-for-volatile-stocks-in-historical-data

Изначальна модель предсказывала среднюю цену на год вперед, основываясь на текущей волатильности акции и безрисковой ставке. Регрессия параметров была на историч ценах 250 акций, все начиная с 1970г.

Модель стабильно показывает неверные результаты, ожидаемую цену через год для спокойной CocaCola=1.09 и волатильного Интел=1.16. Что противоречит интуиции и общепринятым теориям, цены должны либо быть одинаковыми, либо отличаться но лишь чуть, здесь же отличие почти в 2 раза. Подробное описание модели, данных и расчетов.

Решение:

Я в итоге «исправил» модель, принудительно упростив ее и убрав из прогноза ожидаемой цены зависимость на волатильность. Модель стала простой как топор и для всех акций показывает одинаковую ожидаемую цену через год 1.1.

Мысли.

В данных есть «ошибка выжившего», в данных нет обанкротившихся компаний. Более точных данных, которые включают банкротов у меня нет. Возможно если прогнать регрессию по полноценным данным, банкроты уберут завышение цены для волатильных акций.

( Читать дальше )

Волатильность Ньюмонта (ресурсодобыв), Интела (технологии) и КокаКолы (повседневная еда). Первые два графика волатильность в линейном и лог маштабе, последний курс акций. 

Все падают одновременно, собственно не новость, давно известно...

Акция Ньюмонта (нижняя) и три измерения текущей волатильности — Moving Window Mean, EWMA, Async EWMA, в линейном и лог маштабах.


Походу бегущее окно не лучший варинт, и EWMA лучше, или даже Async EWMA медленнее забывающая шок.

Увеличен кризис 2008



( Читать дальше )

В прошлых расчетах я неверно предполагал что среднее ожидание цены акции E[R] (риск премиум) зависит от волатильности акции. Михаилу благодарность что указал на ошибку, что это не так.

Пример прошлых, неверных расчетов, где на исторических данных видна зависимость ожидаемой цены от волатильности, причем сильная, ось У будущая цена, Х волатильность. Явно видна зависимость (синяя линия), которой по идее быть не должно, подробней в прошлом посте.



Откуда эта зависимость взялась, хотя ее там быть не должно? Не знаю, вероятно вызвано перекосом в моих данных — около сотни акций, 40 лет истории, они не случайные а отобранные, и по времени тоже неравномерности, старых акций с долгой историей меньше чем новых. Хорошо бы построить такую регрессию на данных без перекосов, и посмотреть будет ли там такая зависимость. Но таких данных у меня сейчас нет, их нужно специально готовить, и пока нет времени этим заниматься, думаю сделать это позже. Поэтому вопрос откуда берется такая зависимость которой быть не должно пока открыт.

( Читать дальше )