Формула Блак Шолес в оригинальном виде выглядит как (если принять S0=1, r = 0, T = 1, что не меняет сути):


Но в таком виде не понятно что именно она делает, ее можно переписать в визуальном виде, с понятным геометрическим смыслом



( Читать дальше )

Формула d2 нормализации страйка K


Это — z score нормализация (х-mu)/scale, где х =  ln(S/K) — страйк в лог маштабе, mu = (r-sigma^2)T локация для нормального (лог нормального) распределения на время экспирации T, и scale = sigma*sqrt(T) сигма цены на время экспирации T.

d2 нормализация говорит — какова вероятность что опцион будет в деньгах P(S>K) = F(N(0,1), d2). Таким образом сводя все опционы с любыми периодами и волатильностями, к единому маштабу. Точнее, d2 говорит не саму вероятность, а квантиль такой вероятности для N(0,1), что по сути одно и то же.

Неточности:

а) Зависит от mu — среднего, среднее чувствительно к шумам и сложно установить точно (для исторических реальных вероятностей, для IV возможно среднее устанавливается лучше).

б) Подразумевает симметричность распределения, которое в реальности асимметрично (для долгих опционов >3мес).

в) Использует нормальное распределение, которое в реальности Skew Student T.

Неудобства

Также оно имеет два неудобства

а) Вместо явного значения вероятности, которая имеет осязаемый смысл, использует ее маппинг через N(0,1) в квантиль, нечто абстрактное и неосязаемое. Одна из аргументов за — что явные вероятности имеют нелинейную шкалу а квантили более линейны.

( Читать дальше )

Обычно d2 представлена как

d2 = (log K/S + (r — 0.5sigma^2T)) / sigma sqrt(T)

Если учесть что sigma sqrt(T) это sigma в момент экспирации, и для простоты принять безрисковую ставку 0 и текущую цену акции 1 получим

d2 = (log K — 0.5sigma^2)/sigma

Что внизу понятно — нормирующий множитель, делим на сигма чтоб привести к единому маштабу вне зависимости от волатильности

Вверху «log K — 0.5sigma^2» — это точка страйка на лог шкале, с поправкой на неравенство Дженсен.

d2 получается это нормированный страйк.Но не понятно зачем из лог страйка вычитать поправку Дженсен. Это же просто точка, а не распределение, для точки поправка Дженсен не требуется.

d2 иногда используется для нормализации страйка, интересен ее смысл именно в этом контексте. Почему не просто log K / sigma. Зачем еще вычитать поправку.

Походу это лучшее представление «будущего». Оно интуитивно понятно, хорошо изображается как 2D граф (если толщину линий сделать пропорциональна вероятностям перехода), явно показывает вероятности, явно показывает пути, не требует нормальности.

Implied Volatility Surface изображает вероятности, но не показывает пути. Brownian Motion изображает пути но не показывает вероятности, и ее «форму» нельзя «увидеть» без симуляции. 

Implied Volatility Tree например как recombinant ternary tree (мне кажется 3ное дерево внешне выглядит лучше и понятней чем 2йное). 



Ну и оно относительно интуитивно и визуально показывает что такое Американский Опцион, как взвешенный обход этого графа. И по нему сходу считаются как Евро так и Американские опционы.

И достаточно быстро строится, его можно строить итеративно, последовательно для каждого периода. И оно уже готово для вычислений опционов. 

Из минусов дискретность по времени и цене, но это не проблема.

И, сам подход и концепция достаточно простой, похожий на цепи Маркова со скрытыми слоями.

Это премиумы пут опционов на 60 дней, для различной волатильности (10 децилей волатильности). Простые линии, где сначала идет экспонента, затем линия.

 
Несмотря на простую форму, их сложно повторить.

Одна такая кривая (пунтир), с фиттингом гибридной линии (непрерывная), отличное совпадение: 

( Читать дальше )

Я отошел от предсказания полного распределения, и предсказываю только небольшую часть, падение акции в диапазоне х0.5-0.9. Неожиданно — рейт текущей годовой безрисковой ставки — вообще никак не улучшает точность прогноза, полный ноль.

Прогноз — регрессия пут премиумов (которые чувствительны к падению акций) на исторических данных. Что добавляешь безрисковую ставку в модель,  что нет, результат вообще не меняется.

Странно, я ожидал что рост безрисковой ставки будет предсказывать падение,  по идее когда ставку поднимают компаниям сложней обслуживать кредит, и по идее на них больше прессинг. Но данные показывают что эффекта ноль.

RSI (Relative Strength Index) — немного улучшает, если акция идет вверх цены пут опционов уменьшаются, а если падаеет увеличивается, т.е. после падения акции ожидается дальнейшее падение. Неожиданно, я думал теханализ это гадание на кофейной гуще, но оказалось эффект есть.

Премиумы путов (цвет разная волатильность):

Задача Implied Volatility это интерполяция, восстановление гладкой поверхности по разряженным и шумным данным. Описывая форму поверхности через отличие от нормального распределения. Но ее можно описать напрямую, например как: 


Получаем полное описание всей поверхности по всем страйкам и экспирациям. Где параметры распределения — не числа а функции времени вида f(x|a,b) = a + b(log|sqrt|pow)(t). Каждая в свою очередь имеет 2 параметра, итого вся поверхность описывается 8ю параметрами, которые дополнительно ограничиваются граничными условиями монотонности, выпуклостью/вогнутостью, небольшим изменением на каждом шаге. А если степень свободы принять константной, то вообще 6ю параметрами, да еще и с граничными условиями.

С фиттингом например через LSE, премиумы, предсказанные — рыночные.

Мне пока это не нужно, я делаю простую линейную 2Д интерполяцию.

Угол страйк (в лог маштабе), радиус премиум, цвет различные волатильности (можно подразумевать различные периоды экспирации), пунктир путы


И и с радиусом в лог маштабе (линии шкалы неверно остались линейными).

( Читать дальше )

Качество фин модел оценить сложно, поскольку мы не знаем что мы должны получить в итоге, как должен выглядеть результат. В отличии от например модели классификации фоток кошек и собак. 



Одно из решений а) создать цель искуственно, где ее параметры точно известны б) разобрать цель, превратив в случайный, зашумленный сигнал, в) используя модель восстановить цель назад и сравнить с исходной.

Мы получаем простой и быстрый тест. Необходимое, но не достаточное условие для проверки модели. Если она не может восстановить цель назад, пробовать ее на реальных данных смысла нет. Это экономит много времени.

На графике искуственая цель,  цены премиумов для различных периодов, волатильностей и страйков, используя распределения близкие к реальным рыночным код. Эта цель затем превращается в случайный сигнал, и восстанавливается.

Я распилил гирю, но она оказалась железной. Определил предсказание будущей цены акций, в форме распределения вероятностей, на основе исторических данных.



Но, как оказалось, распределение вероятности принципиально нельзя установить с приемлемой точностью, не получается определить среднее ожидание, а о шибки в среднем, сильно отражается на опционах. Да еще мои неполные данные добавляют перекоса.



( Читать дальше )