Я долго не мог понять зачем нужна Грубая Волатильность, и что в итоге хочет получить Джим Гатерал.
Поскольку он сам же говорил что отдельные смайлы уже хорошо калибруюся простыми существующими моделями, и добавив условие гладкости между ними мы получаем хорошую калибровку всей поверхности. Вопрос — зачем тогда нужна Грубая Волатильность?

Более того, поверхность IV в принципе нельзя идеально откалибровать некой единой моделью с малым числом параметров. Потому что существуют календарные события: дивиденды, публикация отчетности, и даже для индексов — ожидание события пересмотра ставки, политич события, к тому же многие события точно даты неизвесты, только предположения. Для хорошего совпадения IV все эти события пришлось бы учитывать в модели — это сделает ее громоздкой и запутанной, и подход теряет смысл.

Но, судя по всему Джим ищет нечто другое — он ищет не идеального совпадения IV, а модель которая сможет описать эволюцию IV во времени. Какая IV будет завтра.

Т.е. насколько я понял — откалибровать SV модель по сегодняшним и возможно прошлым ценам опционов, затем запустить симуляцию и предсказать какие будут цены опционов завтра, и это называют Динамическая IV. Я так понимаю, пока что простого решения у этой задачи нет.

( Читать дальше )

Задача: найти позиции портфеля (кэш, акция A, европейский пут-опцион P(K, T=6 мес) на акцию A), которые максимизируют E[ln R] через месяц. В течение месяца торговли не будет, т.е. совершается всего одна сделка — портфель формируется сегодня.

Исходные данные: есть SV-модель, откалиброванная на исторических данных (физическая мера P), которая генерирует ансамбль дневных траекторий цены акции на год вперед.

Проблема: если убрать опцион и оставить только портфель (кэш, акция), задача решается легко: для каждой траектории рассчитывается стоимость портфеля через месяц, затем вычисляется E[ln R], после чего находятся оптимальные позиции.

Задача также простая если опцион всегда удерживается до экспирации (например, если опцион был на месяц а не на 6 месяцев), поскольку прибыль по опциону точно известна для каждой траектории как ITM.

Проблема возникает, если через месяц допускается продажа опциона который еще не закончился. Тогда необходимо знать его рыночную цену через месяц, чтобы оценить стоимость портфеля. Рассчитать цену опциона через месяц в физической мере P легко — но рыночная цена опциона другая и определяется риск-нейтральной мерой Q и может отличаться.

( Читать дальше )

Калибровка IV для амер опционов Кока Колы и Интела, сплошная линия — модель, жирные полосы рыночный спред, пунктир среднее спреда.

Метод: Heston with Jumps + BAW. 

КокаКола, IV и Цены 




( Читать дальше )

Например на серебро, уран, интел и т.п. 
У них настолько высокая подразумеваемая волатильность, которая заложена в цену что даже далекие страйки с х2 не попадают в хвост. 
Хвостовые вероятности это <0.5-1.5%, Far OTM на волатильные акции, с учетом подразумеваемой волатильностью — имеют вероятности выше.

Есть предположение (неизвестно насколько верное, но допустим верное) — что хвостовые колы недооценены и имеет смысл их купить в расчете на редкое событие огромного роста цены акции. Но, даже самые далекие страйки x2 на высоко волатильными акции — не попадают в категорию хвостовых опционов, подразумеваемая волатильность настолько огромна что даже будучи формально Far OTM опционами, они не попадают в хвостовые опционы, у хвостовых страйк должен быть еще больше х3, х4, х5 и т.п… И соотв. оценены эти опционы вполне справедливо и покупать их смысла нет.

Подразумевается долгая экспирация — 6мес-3года. Если брать короткую экспирацию 1-3мес, то х2 вполне подходит как хвостовой, и вполне возможно недооценен, но мне интересны именно долгие опционы.

( Читать дальше )

Мысли вслух, наблюдения по амер опционам которыми я занимался последнее время...

Дана SV модель, например SVJ, с параметрами Q(дрифт, волатильность, начальное состояние и т.п.)

Расчитать премиум американског опциона Premium(T, K), сложность в том что амер опцион можно исполнить в любой момент t = 0..T, и нужно найти оптимальное ожидаемое время t которое даст максимум прибыли.

Цена американского опцина это задача оптимальной остановки, нужно найти границу оптимальной остановки, линию B(t) для всех t < Т, которая даст максимум премиума. Ниже этой границы выгоднее оставить опцион на будущее, ниже выгоднее исполнить немедленно. В случае учета состояния (латентной волатильности в момент t), в линию добавляется еще одна переменная и вместно линии нужно найти поверхность B(t, s — латентная волатильность).

Т.е. задача расчета цены амер опциона сводится к задаче оптимизации (поиска границы оптимальной остановки), поиска линии B(t) которая даст максимум премиума.

Метод LSMC очень грубо решает эту задачу, расчитывая отдельно каждую точку этой линии на дискретной решетке времени t = 0.

( Читать дальше )

Мысли вслух, ничего полезного, можете не читать...

Вторую неделю не могу закончить расчет амер опционов, потоянно нахожу новые и новые ошибки и неточности в своих расчетах. Метод LSMC основан на определении границы принятия решения о немедленном исполнении опциона, или оставить его на будущее. Делается регрессия на симуляции цен, и строится эта граница (на картинке ниже).

Сложность в том что найти эту границу сложно. Это функция 2x переменных, цены акции и ее латентной волатильности exercise(price, vol): bool. Из за высоких шумов и неоднородностей данных, если сделать ее напрямую она практически бесполезна. Вторая сложность сделать это быстро.

Сложность в том что

а) если страйк OTM то распределение множества цен попавших в ITM будет очень неравномерно (первая гистограмма на рисунке, размер бинов sqrt т.е. с равномерными там вообще будет падение хвоста в ноль).

б) для Far OTM страйков будет очень мало цен попавших в ITM а в хвосте еще меньше.

с) еще латентное состояние волатильности, у него такое же неравномерное распределение (вторая гистограмма, размер бинов также sqrt). Получается цен попавших в ITM и так мало и они перекошены, а среди них еще так же мало состояний высоких волатильностей и они тоже перекошены.

( Читать дальше )

На картинке цепь амер опционов Интел INTC, рыночные цены bid/ask (пунктирные линии с точками) и цены даваемые откалиброванной моделью, (сплошные линии без точек), цвет линий это периоды экспирации.

Видно что часто калиброванные цены заметно отличается, и даже вообще не попадают в bid/ask (один из таких случаев помечен овалом).



Калибровка — найти параметры SV модели (включая латентный параметр волатильности), которые дают такие же цены опционов как наблюдаемые на рынке в текущий момент времени.

Почему отличается

Мне кажется потому что существуют особые календарные события, даты финотчетности, дивиденды, календарные события индустрии и т.п. Плюс несовершенство модели, но оно мне кажется меньше влияет чем календарные события.

Интерполяция

Одна из задач — интерполяция, убрать шум, разброс, спреды, и получить гладкие и ровные линии цен, для любых страйков и экспираций. Но как видим, модель это делает плохо, погрешности слишком большие.

Решение — делать фиттинг каждой экспирации (линии) отдельно, с наказанием за сильные отличия от общей модели, чем я и займусь на днях. Можно усложнить модель и добавить события, но это сложней и мне кажется хуже.

( Читать дальше )

Расчет цены Амер Опционов можно сделать:

а) Эмпирическая формула: слепо подставив некие параметры в некую формулу подобранную некими экспертами и получив нечто похожее на цену амер опциона. Очень просто, быстро, и боль менее похоже, вполне вариант.

б) Рекомбинантное дерево: бинартное, триарное, элегантное решение, просто, быстро, но алгоритм основнывается на ряде предположений, нужно хорошее понимания этих предположений, когда они выполняются и когда нет, и хорошей настройки алгоритма. Я некоторые вещи не до конца понимаю, поэтому опасаюсь использовать этот метод.

в) Least Squares Monte Carlo: универсальный и понятный, но медленный. Мне нравится больше всего, он тоже требует настройки, но она проще и понятней. На практике вполне быстрый, опционы по 50к симуляциям цены считает почти мгновенно.
 
Пример расчета (цены условны). Для симуляции цен использовалась модель SV-T-with-leverage:



( Читать дальше )

К/Spot используется иногда в вычислениях, но в явном виде почему то используется очень редко, и даже не имеет четкого названия, кроме как некий «нормализованный страйк».

Что странно, нормализованный страйк, он гораздо удобное, скажем «Kол x1.2» — мгновенно видно что это за кол, вместо «Kол 67$». Мне сложно ориентироваться в сырых страйках, и для себя я всегда их пересчитываю в нормализованные.

Конечно есть более сложные формы нормализации, IV, вероятность ITM и т.п. которые могут быть гораздо лучше и удобней, но, таки их сложнее считать и они зависят от модели.

П.С.

Я кстати понял в чем удобство IV, реально лучше чем поверхность премиумов в сыром виде. IV показывает как рыночные цены опцинов отличается от расчета цен через GBM (или другой baseline модели), что часто удобней. Ну и автоматически нормализует эспирации и страйки. И, на ней лучше заметны «холмы» вызванные специальными событиями, как публикация финотчетности, на сырых премиумах это будет монотонный рост вместо холма который заметен хуже.

Улучшил модель. Симуляция КокаКолы и ПепсиКолы, 20 лет дневных цен. Яркие линии симуляция, полупрозрачные реальные исторические цены. На графиках цены, спред (ratio), реализованная волатильность. Зачем это все нужно.





Совпадение по моментам, 

У совместной модели двух акций совпадение с реальностью чуть хуже чем если делать фиттинг каждой акции в отдельности. Ухудшения помечены кружечком
В целом, для моих задач точность достаточная. Я неспешно постараюсь их поправить, но получится или нет непонятно.



( Читать дальше )