Интересная и легко читающаяся презентация от извесного (но которого я не знал) Рамы Конта, Наблюдаяемые и Измеряемые Стат Особенности Цен Акций

rama.cont.perso.math.cnrs.fr/pdf/empirical.pdf

Четкие ясные изложение, красивые понятные графики, интересные наблюдения.

Вобщем походу это интересный товарищ, который четко и по делу изясняется, и стоит посмотреть что еще он написал.

Для лог доходности акций r = log S_T/S_0 степень хвоста не зависит от периода, прибыль за день, месяц или год.

Это видно математически Pr(X>x) ~ Cx^-a — степень a сохраняется при агрегировании (суммировании), меняется лишь константа.

И на графиках log log правого хвоста > 0.97 квантили, цвет дециль волатильности (множественные линии одного цвета — когорты чтобы избежать overlapping bias). Наклон на всех периодах одинаковый.

Много методов: Hill, EVT GPT, регрессия. И все с точностью километр. На графике — 30 симуляций: 30 сэмплов StudentT(df=4) 20к, для каждого сэмпла определяется df различным эстиматором (цвет линии), ось х — значение трешхолда эстиматора. 


Правильный результат — постоянная линия с y=4. Единственный нормальный результат (красные линии) это MLE полного распределения, но это именно что эстиматор полного распределение, а не Tail Estimator. Среди хвостовых эстиматоров ни одного хорошего.

EVT GPT на который я больше всего расчитывал (синии линии), вообще ничего не измеряет (но возможно я допустил ошибку и неверно его считаю, по идее он должен быть самый точный).

Подробней www.reddit.com/r/nassimtaleb/comments/1mdwqjw/huge_errors_in_heavy_tail_estimators_hill_evt_gpt/
Код gist.github.com/al6x/11e66ab92c525f2ef2c1510e6ac7a3f7

Получается неверный результат если есть ассиметричность, настоящее значение 4, но он неверно определяет как 3 для левого и 5 дле правого хвоста. Или, скорей дело не в Hill а само распределение искажает хвосты? Никто не сталкивался? код



На графике две линии должны стабилизироваться на отметке 4, а они показывают 3 и 5.

Сравнение реальных рыночных цен опционов с независимыми ценами рассчитанными моделью на исторических данных.

КомпанияNewmont (средне волатильная цикличная ресурсная компания)


Овалами выделены премиумы для двух опционов: «кол страйк 1.25 експир 1г» и «пут страйк 1/1.25 экспир 1г» столбец '365' рыночный премиум столбец 'е' премиум расчитаный моделью, столбец 'p' — вероятность попадания опциона в деньги (все значения относительны, если принять текущую цену за 1).

В целом мне кажется неплохое совпадение, и, еще наблюдение — этим ценам соответствует распределение (implied volatility, только не в риск нейтральной а в реально мере) показанное на графике ниже — обратите внимание распределение асимметрично и с тяжелыми хвостами (это подтверждают и исторические данные и рыночные цены опционов).

График показывает CDF (красный, для негативных) SurvivalFn( синий для позитивных) в лог лог маштабе, х прибыль/убыток, y вероятность.

К сожалению… бытующее мнение что далекие ОТМ опционы (tail risk) недооценены (Н. Талеб упоминал об этом) я этого не вижу. Явно видно что в цены даже далеких опционов уже заложена ненормальность и tail risk, и рынок корректно установил на них цены.

( Читать дальше )

Простейший вопрос — какая исторически средняя ожидаемая цена у акций через год? Ответить на который очень сложно.



На графиках зависимость риск премиума годовой цены от волатильности акции. Риск премиум: mean[S_365/S_0/R_RF] (ожидаемая цена акции, если текущую цену принять за 1 за вычетом (делением) безрисковой ставки). 

Первый график все периоды безрисковой ставки вместе. Вторая линия, каждый период безрисковой ставки отдельно (в заголовке % ставки указан).

Мысли:

Среднее невозможно посчитать напрямую, даже имея сотни акций с историей 55 лет, если считать напрямую — ошибка получается просто огромной, давая совершенно бесполезный результат с абсурдной точностью +-100-300%. Ни регрессии ни простые mean(returns) не работают.

Особенно, если нужно посмотреть зависимость ожидаемой цены акции от некоего параметра (например волатильности акции) и у нас сразу становится в разы меньше данных и точность еще хуже.

Что еще хуже, есть разного рода перекосы в данных, например 2й график нижний ряд период 2-5% безрисковой ставки, исторически попал на кризиси, и получилась заниженная и не имеющая смысла цена. Что с ней делать и что даст регрессия? Понятно бессмысленный результат.

( Читать дальше )

Распределение логарифмов ожидаемой годовой прибыли.


Упростил расчеты, выкинув кучу лишнего. Черточки на линии — 95% и 99% интервал, серый нормальное N(0,1) для сравнения.

Модель: предсказание будущей цены как распределения вероятностей. Входные данные текущая волатильность (EWMA) и текущая безрисковая ставка. Прогноз — распределение вероятностей для лог прибыли через год, в виде гауссовского микса.

Данные: 250 акций с 1970г каждая.

Регрессия на исторических данных по Мах Likelihood дала Нормальный Микс изображенный на рисунке.

Точность… я не знаю как точно ее оценить, вероятно не высокая, плюс минус километр, но походу это максимум что можно вытащить из исторических данных и текущей цены. (возможно EGARCH и т.п. дадут лучше, но едва ли сильно лучше).

Проблемы:

— Осталась старая проблема, модель завышает (арифметическое) среднее ожидание прибыли для волатильных акций, поэтому она принудительно упрощена и ожидание цены всех ацкий сделано одинаковым. Я думаю из за перекоса (ошибка выжившего и недостаточный обьем) в данных.

( Читать дальше )

Исторические цены дают грубый прогноз будущей цены. Но, их можно использовать как prior — можно их менять, чтобы получить более точный прогноз. Например добавить вероятность банротства.

Распрееленеие лог доходов акции, PDF[log return]. Красная линия изменения после добавленния 0.5% падения до х0.2 (плавно размазаное по распределению).



Или, уточнить возможный рост, на базе финансовой отчетности.

По сути получается похоже на байесовский prior/posterior.

У каждой своя проблема:

— PDF показывает плотность а не вероятности, нужно закрашивать полутонами площадь графика чтоб показать вероятности что не всегда удобно.
— PMF не стабильна при изменении шага дискретизации (см картинку ниже).
— CDF/SurvF на лог маштабе половину перекашивает.

Что использовать, для наглядности, чтоб показывало реальные вероятности, в том числе в лог маштабе? Как вариант комбинацию CDF: х<0, SurvF: х>0 (или можно выбрать моду/дреднее вместо 0).





Пример проблемы с PMF, PMF очень удобна и интуитивно понятна, но, имеет неприятную проблему, графики ниже одно и то же распределение, с разным шагом дискретизации, если его показать не точками а линией то вообще непонятно что это одно и то же.



( Читать дальше )

Цена AMD во времени в лог пространстве (log returns). С вероятностями в момент времени t (черные точки) и условными вероятностями переходов (синие линии).

Если посмотреть на черные точки детальней то это будет распределение имеющее форму



( Читать дальше )