Блог им. AVBacherov

Диверсификация с позиций Теории Вероятностей

Большинство начинающих инвесторов теряют деньги, потому что не диверсифицируют свой портфель. Они покупают акции и/или облигации, потому что их эмитенты у них на слуху, а оценка возможности банкротства/дефолта сводится к эмпирическому: «ну это же Сбербанк, ему не дадут обанкротиться».

Те же кто уже что-то прочел или обжегся хотя бы раз знают, что диверсификация вещь критически важная, но зачастую не знают какой уровень необходим для их портфелей. Иными словами, они пытаются найти ответы на вопрос подобный такому: «10 эмитентов – это нормально или нет? А может стоит брать 50? И на сколько лучше 50, чем 10?»

Ответ на этот вопрос не так прост, как кажется. Большинство апологетов пассивного инвестирования считают, что диверсификация должна быть очень большой и в том числе поэтому рекомендуют покупать индексные фонды на широкий рынок. Даже старик Баффет, выступая перед выпускниками MBA во Флориде в 2007 году говорил, что если человек не является профессиональным инвестором, то он должен следовать именно этой стратегии и скорее всего это будет лучшим вариантом для 99% людей. Но если он разбирается в бизнесе компаний, акции которых приобретает, то ему хватит и 5.

Не надо быть семь пядей во лбу, чтобы эмпирически понять эти идеи и осознать их. Но куда как интересней посмотреть на эти рассуждения с точки зрения теории вероятности.

Сначала небольшой ликбез. Решение задачи размера диверсификации можно сравнить с решением задачи по лотерейным билетам. Задача это звучит примерно так: пусть мы купили n-лотерейных билетов, вероятность выигрыша каждого билета — p. Какова вероятность того, что m билетов из всех купленных нами будут выигрышными?

Такая задача решается при помощи формулы Бернулли:
Формула Берунлли
Например, пусть мы купили 5 билетов, вероятность выигрыша каждого из них составляет 10%, и мы стараемся ответить на вопрос – какова вероятность того, что 3 из этих билетов выигрышные?
Бернулли выигрышные билеты

Как видно из решения этой простой задачки вероятность выигрыша 3-х билетов составляет 0.81%

Эту же формулу можно использовать для ответа на вопрос об уровне диверсификации. Сформулируем задачу следующим образом. Мы купили акции 5 различных эмитентов, вероятность банкротства любого из них пусть составляет 50%(может обанкротится, а может нет 😊). Какова вероятность того, что три из них обанкротятся?

Бернулли банкротства

Подставив все данные в формулу Бернулли мы получим, что вероятность такого события составляет 31,25%. А если мы пока не рассматриваем ожидаемые доходности, волатильности наших акций и вложили одинаковое количество денег в каждый актив, то это значит, что потерять 60% капитала мы можем с вероятностью 31,25%. Но чтобы решение было полным, нам нужно посчитать вероятности и других событий, а именно: что не обанкротится ни одна из 5 компаний, 1 из 5, 2 из 5, 4 из 5 и все 5. Тогда мы получим полное поле возможных решений. Сегодня при нынешних вычислительных мощностях и программах такие задачи решаются на раз два, и для любого объема выборки, не то, что для нашего портфеля из 5 бумаг.

Диверсификация с позиций Теории Вероятностей
Теперь же, когда нам известны все вероятности для всех возможных комбинаций мы можем легко посчитать математическое ожидание. Сделать это просто – достаточно взять каждую из вероятностей и умножить на потенциальный результат. Например, если обанкротятся все 5 компаний, то мы потерям весь вложенный капитал, то есть 100%, если только 4 – то потери составят 80% и т.п.

Диверсификация с позиций Теории Вероятностей

Как и ожидалось, в нашем случае математическое ожидание (МО) будет равно вероятности банкротства отдельно взятой компании. А как нас учит теория вероятности, что игра стоит свечи только тогда, когда МО больше 0. И чем больше, тем лучше для нас! Если же мы хотели бы посмотреть случай, когда МО равно нулю, то мы должны были требовать от каждой акции входящий в наш портфель доходность в 50% (в идеале, конечно, больше).

Даже на эмпирическом уровне понятно, что это через чур завышенные ожидания. Таким потенциалом роста с фундаментальной точки зрения могут обладать единичные компании, но они вряд ли будут представлены на бирже.

Интересно посмотреть, как выгляди уровень диверсификации в зависимости о вероятности банкротства одной компании, который мы принимаем одинаковым для все акций входящих в портфель.

Диверсификация с позиций Теории Вероятностей

Так, например, вероятность потерять 100% капитала для случая с вероятностью банкротства каждой в 95%, стремится к нулю при примерно 500 эмитентах. А при вероятности банкротства одного равному 50%, будет вполне достаточно около 15. Но беда в том, что вероятность не потерять совсем убывает с такой же скоростью.

Преимущество в том, что в жизни и на рынке, мы не встречаемся с такими апокалиптическими сценариями. Если усреднить вероятность банкротства по всем компаниям, которые торгуются на бирже, то скорее всего мы столкнемся с показателем что-то на уровне 5%, а как максимум 10%. То есть нам достаточно будет ожидать получение доходности на уровне 5% (10%) на каждый актив, чтобы МО стало равным 0. А это уже вполне разумная цель.

И кажется вот он Грааль. Даже при вероятности банкротства в 10% каждой компании, вероятность ничего не потерять составляет почти 60%. А если мы ожидаемая доходность каждого актива составит 10%, то мы еще и заработаем. И получается старик Баффет был прав?!

Диверсификация с позиций Теории Вероятностей

Не всё так радужно! Давайте посмотрим на следующий график.

Диверсификация с позиций Теории Вероятностей

С одной стороны получается, что вероятность, того что ни одна компания не обанкротится падает с ростом числа эмитентов в нашем портфеле! С другой стороны, чем больше в нашем портфеле акций, тем меньше и пиковые значения вероятности, и тем «дальше они уходят вправо». То есть, при портфеле из 100 акций пик вероятности приходится примерно на 10 эмитентов, если их 500, то уже на 70. При этом каждый такой пик ниже предыдущего варианта. Чтобы понять суть этого, давайте построим как выглядит наш капитал, в зависимости от количества банкротств в нашем портфеле, если мы считаем, что ожидаемая доходность каждого актива составит 10%.
Диверсификация с позиций Теории Вероятностей

Из графика прекрасно видно, при банкротстве хотя бы одной компании в портфеле из 5 акций, наш портфель отрицательным по доходности, и это несмотря на то, что вероятность «ничего не потерять» составляла 60%.  Для портфеля из 15 бумаг — отрицательный результат будет уже при банкротстве 2-х. Существенно лучше ситуация в портфеле из 100 бумаг, там должно быть 10 банкротов, а для 500 мы уйдем в минус только если одновременно обанкротится 48!!!

Поэтому высокая диверсификация в реальности спасает нас от ошибок инвестирования. Конечно, инвестиции гораздо сложнее, и вероятности банкротства для разных компаний разные. Более того, в представленной моделе нет волатильности, как меры риска, которая добавляет существенные корректировки. Но подобное рассмотрение предмета, дает начинающему инвестору прекрасный ответ на вопрос, который был сформулирован в самом начале. А именно — чем Выше будет ваше диверсификация, тем меньше шансов получить негативный результат от инвестиций.

И да! Баффет в реальности был прав, говоря: «если человек не является профессиональным инвестором, то он должен следовать стратегии инвестиций в индексы широкого рынка. Но если он разбирается в бизнесе компаний, акции которых приобретает, то ему хватит и 5». Знания о бизнесе компании и его понимание, существенно понижает риск инвестиций, а активное отслеживание позволяет инвестору предпринять необходимые действия, чтобы избежать потерь. Но большинство людей не являются профессионалами, а значит разумнее идти более диверсифицированным путем – покупать фонд на широкий рынок.

★13
21 комментарий
вероятность банкротства любого из них пусть составляет 50%(может обанкротится, а может нет 😊). Какова вероятность того, что три из них обанкротятся?

А что если вы купили облигации безнадёжного эмитента, у него огромные долги и он обанкротится в 9 случаях из 10? Более того, не все эмитенты достаточно прозрачные, а некоторые вовсе рисуют отчётность и тогда вы вообще не можете объективно оценить вероятность их банкротства.
avatar

Diamond,

1. Там есть интересный график, как выглядит вероятность потерять все 100% капитала для разных вероятностей банкроства каждой.

2. Кроме того в тексте есть прямая оговорка: «Конечно, инвестиции гораздо сложнее, и вероятности банкротства для разных компаний разные. Более того, в представленной моделе нет волатильности, как меры риска, которая добавляет существенные корректировки.»

Но Вы кое что забыли, что кроме вероятностей есть еще корреляция между активами. и нынешний падеж энергетиков в UK наглядный тому пример. так что без учета этого фактора диверсификация не имеет смысла. вот смысл иметь десять разных энергетиков из 13(?) обанкротившихся)
avatar
Евгений Давыдов, почему же забыл. Я не ставил задачи перед собой объять  необъятное, поэтому сделал такую оговорку: «Конечно, инвестиции гораздо сложнее, и вероятности банкротства для разных компаний разные. Более того, в представленной моделе нет волатильности, как меры риска, которая добавляет существенные корректировки.» Если Вам в моделе удастся учесть разные вероятности, волатильность, корреляции и дефолты я с удовольствием посмотрю на нее. Решение такой задачи в аналитическом виде потянет как минимум на кандидатскую, а то и на докторскую по экономике.
Алексей Бачеров, Я Вас право же не понимаю: Вы потратили пару часов своей жизни и написали, что существует Центральная предельная теорема. А я просто говорю, что некоторые современные философы и мыслители(Талеб) говорят о том, что она не работает на финансовых рынках. Например если какой-нибудь муджахед припаркуется на 747 в лахта центр, то Ваши(абсолютно не коррелированные активы) внезапно приобретут эту самую корреляцию. и событие, которое по Вашим расчетам происходит раз в триллион лет внезапно произойдет и с Вашим портфелем. 
avatar
Евгений Давыдов, вы думаете, что выбитые окна в лахте обвалят рынки по всему миру? )) 
avatar
Евгений Давыдов, любая модель имеет ограничения в её применении. Мне было интересно показать идею диверсификации с данной позиции. Какова будет корреляция между отдельными классами активов, да ещё и при страновой диверсификации это не такой простой и однозначный вопрос. К тому же, я уже Вам написал, что если у Вас есть соображения, как построить модель, учитывающую больше факторов и различных вероятностей, то лично я с интересом с ней ознакомлюсь. Если нет, и Вы просто концептуально считаете, что подобный (количественный/вероятностный) подход не работает, то это другой спор, точно не в рамках и целей данного поста.
Евгений Давыдов, 
тоже размышлял об этом. 
пришел к выводу, что фондовый рынок — это искусственно созданная система, где правила могут меняться, в отличии от фундаментальных наук вроде математики, соответственно подогнать под такую модель можно много теорий, но все они будут работать ограниченное количество времени, а значит любой грааль найденный в какой-то момент времени останется таковым пока нашедший не напишет о нем на смарт-лабе. После публикации можно начинать искать новый, потому что правила ФР тут же изменятся, подтянутся все, от хомяков до маркет мейкеров и тайного мирового правительства, что нам зимой и продемонстрировал реддит и RoaringKitty.

avatar
А если инвестировать в несколько индексов, то тогда риски будут еще ниже.
Знать бы только, что они не зафлетят.
avatar
Интересная интерпретация. Еще интереснее было бы рассматривать не банкротства, а изменение цен.
Владимиров Владимир, изменения цен, волатильность и влияние корреляции были подробно описаны Гарри Марковицем в 1952 году в работе «Portfolio Selection», результаты которой вылились в то, что сейчас называют Современной портфельной теорией. Её основы изложены в любом университетском учебнике по инвестициям. Да и в интернете найти легко.
Вы забыли рассчитать еще несколько вероятностей развитий событий, вероятность что начнется мировая война, что тогда будет с компаниями, вероятность что метеорит ударит в землю и уничтожит все живое и вероятность что на голову может упасть тот самый метеорит, еще пожалуй можно добавить развод и раздел имущества ну и пожалуй можно с этими всеми данными начинать инвестировать.Если не сложно приведите и эти расчеты.
Трейд, зачем? И как расчёт этих вероятностей учесть в том, что я написал в своём посте? Если у Вас есть идеи, изложите в своём блоге. Я с удовольствием прочту.
Алексей Бачеров, На мой взгляд думать о таких вещах соизмеримо с вопросами которые я озвучил, наверно не стоит вкладываться в компании если есть догадки что они могут обанкротиться это раз. Второе с такими мыслями на фондовый рынок пожалуй лучше не приходить. Третье теоретически мир постоянно меняется и не исключено что каждая компания которая сейчас есть перестанет существовать в будущем, прогнозируешь это или не прогнозируешь это просто может случиться. Могут даже государства менять свои границы и появляться новые. Более того вещи которыми вы пользуетесь изнашиваются и ломаются иногда внепланово и если об этом всем думать то лучше наверно не жить? Это же можно с ума сойти и будешь чувствовать себя в постоянной тревоге и опасности, мир будет казаться хрупким. А можно жить и сталкиваться со всем этим и решать вопросы по мере поступления. Более того может такое получиться что к тому моменту как компания обанкротится вы уже сделаете х5 или х100 и у вас будут совершенно другие дела и интересы. Выходит посчитав риски вы даже не начали, а другие просто прожили этот период как он ни был) 
тут рассматривается банкротство… это надо делать если инвестор хочет банально сохранить деньги...

а для роста капитала инвестору надо рассматривать противоположное событие — вероятность развития и роста компании...
именно на росте компании инвесторы делают деньги
а без роста уныло болтаются вместе с рынком

и чтож мы видим? на той же америке в сипи 500… т.е из 500 крупнейших компаний только 5 растут и двигают индекс… т.е шанс на рост 5/500

мысль в том, что если инвестор решил сохранить капитал то нужна диверсификация но доходность будет =рыночной… а если инвестор решил превзойти рынок, то диверсификация не поможет никак...  
avatar
Класс! Спасибо автору за полезный труд. То, что применял имперически, наконец то обрело реальный вид и математическое подтверждение. Отрадно осознавать, что находишься на верном пути.
avatar
По моему ликбез сразу чуток некорректен. Во-первых упор на банкротство, хотя в основном диверсификация для уменьшения риска убытков, где банкроство лишь частный случай. Почему это важно? Потому что вы начинаете с билетов, где выигрыш одного из них — независимое событие.  Но доходность/убыток отдельно взятых эмитентов как правило очень даже взаимозависимы, как по общерыночным причинам, так и по причинам перетоков денег из одних в другие. 
avatar
Как я понимаю, в вашем расчете вероятности банкроства компаний не коррелирует. Я прав? В реальности, же мы знакомы с понятием «волна банкротств», когда системный сбой приводит к цепному банкротству компаний. Да и в целом компаний одной страны скоррелированы очень сильно.
avatar
Alexander Clever, да, в представленной мной моделе, банкротство компаний являются независимыми событиям. Жизнь, конечно, сложнее. Цель поста — ещё одним способом донести до читателей важность диверсификации. Да и к тому же не настолько уж сама модель некорректна. Можно заменить акции, на некие группы из акций, которые будут сформированы по какому-нибудь критерию, а банкротство групп уже можно будет рассматривать как независимые события.

теги блога Алексей Бачеров

....все тэги



UPDONW
Новый дизайн