Блог им. AGorchakov

«Безарбитражность» - «афера века»

    • 21 февраля 2020, 11:05
    • |
    • А. Г.
  • Еще

В обсуждении прошлого топика совместно с коллегами мы пришли к выводу, что необходимым и достаточным условием безарбитражности в опционах европейского типа является колл-пут паритет

Call-Put=C-S*(1+R)-1

где

Call – цена опциона колл со страйком S;

Put – цена опциона пут со страйком S;

С – текущая цена базового актива (БА, предполагается, что в активе нет купонов и дивидендов);

Собственно, рассуждения в рамках безарбитражности приводят нас к условию, что среднее относительного приращения цены БА до экспирации  равно R.

А что получается при колл-пут паритете, когда то же самое среднее в 20 и более раз больше R?

Сразу сделаем предположение, как у Блэка-Шоулза, что мы всегда можем занять любую сумму под ставку R.

Рассмотрим для простоты актив, который на любую будущую экспирацию имеет два равновероятных исхода: +30% и -10%, а R положим равным 1%.

Для простоты также будем считать, что 0.99*1.01=1, т. е. все в расчетах будем округлять до 0,1%.

Соответственно при С=100 мы будем иметь два страйка S – 90 и 130.

И давайте посмотрим, что мы получим, если три экспирации подряд у нас наблюдается +30% при начальной цене 100уе и у нас есть капитал 100уе и нет средств для довносов (самофинансируемый портфель).

Колл-пут паритет даст нам гарантировано безрисковую ставку на позицию:

продаем колл, покупаем пут, покупаем БА

  1. Если мы сформируем позицию на 130 страйке, то на первую экспирацию у нас будет 1 БА по цене 130уе и 29уе кредита.
  2. Если мы сформируем позицию на 90 страйке, то мы на первую экспирацию получим 101уе денег.

Что дальше? Дальше мы имеем опять два опциона со страйками 169 и 117.

В первом случае у нас есть варианты выбора: получить деньги или заплатить?

Если выберем получить, то ко второй экспирации получим на счете 102ye

Если выберем заплатить, то получим 1БА по цене 169уе и 67уе кредита

Во втором случае у нас вариантов нет: под покупку БА нам надо взять в кредит 29уе, которые к экспирации составят 29.3уе и мы попадем в п.1 на следующую экспирацию.

Как видите, при любых вариантах, чтобы поддерживать позицию, мы вынуждены кредитоваться, причем кредитование растет очень быстро и за три итерации +30%,+30%,+30% размер будущего кредита в любом случае превзойдет размер капитала, т. е. дальнейшее кредитование под безрисковую ставку будет уже «работать» в минус по счету. Т. е. получив три раза по 1% в лучшем случае, мы вынуждены будем «закрыть лавочку».

А какова средняя частота появления  триграммы +30%,+30%,+30% на N экспирациях? Очень просто: она равна (N-3)/8.

Может есть другие позиции, отличные от «продаем колл, покупаем пут, покупаем БА», которые позволяют при С=100уе и 100уе на счете получать +1% доходности на каждую экспирацию при трех экспирациях +30%,+30%,+30% без кредитования и довносов? Ну это уже вопрос к опционщикам, использующим «безарбитражность», как аксиому.

PS. Ой,  все гораздо проще. Если выполнен колл-пут паритет и мой капитал<S*(1+R)-1, то позиция «продаем колл, покупаем пут, покупаем БА» при условии необходимости полной оплаты стоимости БА, принесет мне только гарантированный убыток. Пусть мой начальный капитал С(0) при цене БА С(0)  и теперь легко сосчитать какая серия суммарно положительных экспираций приведет к выполнению вышеуказанного неравенства, при том, что за одну экспирацию моя доходность не больше R.

★14
Там же при паритете ГО копейки. Не совсем понял, для чего столько кредитоваться.
avatar

Андрей К

Андрей К, ГО тут вообще нет в расчетах. Считается, что ГО под позицию продаем колл, покупаем пут, покупаем БА — нуль.
avatar

А. Г.

А. Г., так кредитование (или плечо) и обеспечивается через го. Иными словами условный инвестор со счётом x уе. может купить  (x/цена)*плечо единиц торгуемого актива при использовании страховки из купленных путов/проданных коллов под актив. Плечо 10 умножает дивиденды (или процентную ставку валюты) в 10 раз. Причём здесь альтернативы инвестированию, всё же должно быть на счёте.
avatar

bozon

bozon, нет тут никакого ГО, БА мы покупаем и под его покупку берем кредит, если не хватает денег на счете на цену актива.
avatar

А. Г.

А. Г., интересно, где же это раздают деньги под покупку ценных бумаг? Какое-то опционное проп-инвестирование?
avatar

bozon

bozon, да все раздают, другое дело, что ставка совсем не R. Но в Б-Ш предполагается, что она именно R и в этом смысле я действую в рамках аксиоматики безарбитражности. Если она больше R, то будет еще хуже.
avatar

А. Г.

bozon, к примеру фьючерс на индекс ртс, номинированный в $. Торгуя рублями, моя позиция постоянно конвертивуется из баксов в рубли. Фактически, торгая Ri, мы торгуем Si + мамба. Более чем наглядная демонстрация влияния разницы процентных ставок на вариационную маржу позиции.
avatar

bozon

Если синтетическая позиция нулевая, то зачем вообще кредитоваться-то? Не надо кредитоваться!
avatar

Vanger

Vanger, она ненулевая на 1 шаге, а гарантированный 1%. Альтернатива: +30% или -10% с равными вероятностями.
avatar

А. Г.

А. Г., да на любом шаге call+put-S — это тождественный ноль. Какие это может вызывать вопросы?
avatar

Vanger

Vanger, вообще то я выписал формулу колл-пут паритета в самом начале топика. 
avatar

А. Г.

А. Г., Вы сейчас тянете нас в разговор, который мы где-то полгода-год назад вели с bstone 


Он тоже предложил дико вырожденный сценарий и упорно отказывался понять кто кому и каким именно образом платит за возникновение очевидной арбитражной возможности.

avatar

ch5oh

ch5oh, это не «вырожденный сценарий», а просто сценарий в рамках ситуации, когда среднее(!) относительного приращения цены БА в 20 и более раз больше «безрисковой ставки». Такого не может быть? Ну в 20 раз не знаю, а средняя доходность SPY+Div с 1993-го в 4+ раз больше средней доходности бондов до года.
avatar

А. Г.

А. Г., нет, это всё же «вырожденный случай».


Все знают, что актив растет на +30% с вероятностью 0.5 и падает на (-10)% с вероятностью 0.5??? Фантастика. Рынок моментально загонит цены этого актива в такие выси, что после этого он уже физически не сможет вырасти ещё на +30%.

 

А за нарушение паритета будут платить продавцы Базового Актива, которые как умалишенные шортят ракету.

avatar

ch5oh

ch5oh, 
Все знают, что актив растет на +30% с вероятностью 0.5 и падает на (-10)% с вероятностью 0.5???
 Да это просто для наглядности. Просто расчет для нормального распределения с такими же  средним и дисперсией будет  слишком «наворочен» с тем же итоговым результатом. А снижение среднего до 4% (как у SPY+Div)  просто снизит скорость нарастания кредита.
avatar

А. Г.

ch5oh, только не надо коверкать факты. Я не отказывался понять — я отказался от дальнейших попыток разжевать очевидное тем, кто упорно отказывался понять :)
avatar

bstone

bstone, да-да. Я именно так и написал. Мы с коллегами Вам всё разжевали и несколькими способами объяснили, но Вы продолжали (и продолжаете) стоять на своей позиции. =) Это и называется «отказывается понять».

 

С уважением,

avatar

ch5oh

ch5oh, 
кто кому и каким именно образом платит за возникновение очевидной арбитражной возможности.
и на чем порешали? как по мне, так платит тот, кто одну из ног перекосил.
avatar

Андрей К

Андрей К, что как бы логично. =)
avatar

ch5oh

«Безарбитражность» — не «афера», а «здравый смысл».

avatar

ch5oh

ch5oh, какой в ней «здравый смысл» в конкретно рассмотренной ситуации?
avatar

А. Г.

А. Г., «здравый смысл» — существует всегда и должен соблюдаться везде.

А конкретно по Вашей ситуации Вы или в обозначениях запутались или в трактовках. Простите великодушно, но я по нестандартной системе обозначения опционных характеристик не стал следить за ходом вычислений.

 

Тем более, что один раз уже «нарушение колл-пут паритета» разбиралось детально.

 

С уважением,

avatar

ch5oh

ch5oh, тут нет никакого нарушения колл-пут паритета, все рассчитано в рамках строгого ему соответствия. «Нарушение» исключительно в ином: среднее относительного приращения БА в 20 раз больше безрисковой ставки.
avatar

А. Г.

Если мы сформируем позицию на 130 страйке, то на первую экспирацию у нас будет 1 БА по цене 130уе и 29уе кредита.

Но вы забываете, что купленный otm put станет atm и уменьшит кредит на туже сумму. И соответственно в другом случае.
avatar

noHurry

noHurry, стоп, проданный колл+купленный актив — это проданный пут. Так что на экспирацию позиция «схлопнется» в любом случае и разница только в том, что у нас будет после «схлопывания»:
— начальная сумма+1% денег;
или
— (БА — кредит) по новой оценке тоже составляющий тначальная сумма +1%.
avatar

А. Г.

А. Г., вам платят (или вы платите, если строите бокс в кредит) ставку на сумму денег, которую вы инвестируете, а это в первом случае стоимость БА минус проданный колл. На экспирацию на страйке 130 колл сдулся, но на эту же самую сумму увеличился БА. Вы не учитываете кредит/дебит по опционами.
avatar

noHurry

noHurry, сумма денег, которую мы заплатим или получим за позицию в опционах  при ее открытии четко прописана в первом равенстве

C-S*(1+R)-1

А про то, что будет на экспирацию, я уже описал выше.
avatar

А. Г.

А. Г., а за «Call-Put», что никто не платит? К примеру я продал опцион, у меня образуется кредит на счете, брокер платит мне ставку на сумму кредита, конечно с дисконтом, но платит. 
avatar

noHurry

noHurry, ну это же модельный пример, издержки и ГО обнуляются. С ними будет только хуже.
avatar

А. Г.

А. Г., ГО обнуляется на самом деле, а то что вы называете издержками и есть PnL позиции. Если вы открываете бокс на свои, то вам платят, но вы теряете ставку, т.к. деньги ушли со счета, а если делаете в кредит, то вам опять же платят в боксе, но эту же сумму плюс ещё немножко заберёт брокер за предоставленный кредит. Это всегда игра с нулевой суммой, разумеется минус комиссия. 
avatar

noHurry

noHurry, здесь и комиссии нулевые и мы всегда закрыв позиции после первой экспирации будем иметь 101уе на счете. К этому не стоит придираться, тут нет «черной кошки».  Она только в вопросе в конце.
avatar

А. Г.

А. Г., мой ответ на вопрос в конце — открывайте бокс всегда на одном и том же страйке, тогда сумма кредита будет поддерживаться постоянной за счёт проданного кола, который будет так же расти как и БА. 
avatar

noHurry

noHurry, не покупая БА, Вы не сможете сделать безрисковую позицию, а, как ни крути, на покупку одного БА при +30% в любом случае «своих» денег не хватает уже после первой экспирации.
avatar

А. Г.

А. Г., ну и что, вы кредитуетесь на недостающую сумму у брокера и тут же возвращаете эту же сумму через продажу кола, на счете останется одна и также сумма — дебит на сумму покупки БА по цене страйка, но не цене БА. 
avatar

noHurry

Как то все запутано. Берём +пут — кол. Получается короткий фьючерс. Именно фьючерс, потому что завита в формуле ставка. Теперь покупаем БА именно Акции за свои деньги. За ваши деньги вам будут платить. Вы можете взять чужие деньги. Тогда то что вам будут платить, вы будете отдавать. 
Дмитрий Новиков, ставка учтена в правой части равенства колл-пут паритета.
avatar

А. Г.

А. Г., у Вас странное понимание поддержания позиции. В Вашем примере показано увеличение кредитования при наращивании позиции.
avatar

Мятежный дух

Мятежный дух, а как иначе, если актив стоит 130, а у Вас на счете 101?
avatar

А. Г.

А. Г., продать БА, отдать кредит. Перейдёте в начальное состояние.
avatar

Мятежный дух

Мятежный дух, ну так на счете будет 101уе, а БА уже стоит 130. Для новой позиции снова нужен кредит. Речь то не о том, что мы можем остановиться, а о том, что мы будем вынуждены (!) остановиться при встрече с последовательностью +30%,+30%,+30%, в лучшем случае имея на счете 103 уе капитала, если перед встречей наш капитал был 100уе.
avatar

А. Г.

А. Г., не важно, сколько стоит БА. Когда Вы вернётесь к начальной ситуации, будет возможность проделать ту же процедуру заново. Скорректируйте объём на множитель (100/130). Ваше утверждение выглядит так, что имея 100 рублей Вы хотите открываться сначала на 100, потом на 130, потом на 169 и т.д.

Понятно, есть ограничения снизу при очень маленьком объёме средств. Но это не интересная ветка.

avatar

Мятежный дух

Мятежный дух, ну так у Вас изначально 100 и Вы гарантированно получаете 1% на первой итерации.

А условие самофинансируемости изначально. Оно же, кстати, фигурирует и в определении безарбитражности. Тут ничего «нового».
avatar

А. Г.

А. Г., Возьмите опционный калькулятор на акции и опционы. Например в IB и простойте там позицию. На разных страйках. И вы все увидите.
Дмитрий Новиков, да все проще оказалось: см. PS.
avatar

А. Г.

А. Г., возможно вы не понимаете, что в нормальных опционах вам деньги выплачивают сразу. Вы продали колл глубоко в деньгах, вам сразу зачислили  его стоимость. И у вас уже 130 рублей на покупку БА
Дмитрий Новиков, и тут деньги сразу в размере, указанном в правой части равенства. Но там в зависимости от соотношения C, S и R может быть как положительная сумма (нам платят), так и отрицательная (мы платим). Но на экспирацию после закрытия всех позиций и возврата кредита (если он был), получим +1%. В этом моменте не стоит искать «черную кошку». Где она может быть? Ну этот вопрос задан в самом конце.
avatar

А. Г.

В любом случае вводим на доску опционов спреды пошире и можно ьыть уверенным с биржи никто ниче не унесет)))
avatar

Всечернейший

 Безарбитражность как аксиома используется в формуле БШ. Но на практике арбитраж в опционах есть. Для этого к БШ добавляется смайл. И становится не очевидным. Правильно ли опцион оценивает волатильность. Арбитраж у нас как раз в волатильности.
Дмитрий Новиков, 
Правильно ли опцион оценивает волатильность. Арбитраж у нас как раз в волатильности.
Не путайте чистый арбитраж (собрали синтетическую облигацию по put-call parity) и статистический (покупаем-продаём исходя из некоторого прогноза).

Разница примерно такая:
1. Из корзины с красным и синим шаром кто-то вытаскивает шары, а мы за этим наблюдаем и заключаем пари со всеми желающими. И вот кто-то хочет поставить на такой исход: из корзины будет вытащена половинка анти-красного анти-шара. Наши действия?
2. Мы заметили, что из корзины вытаскивают только красный шар диаметром 10 см. Но нам также удалось подсмотреть, что в корзине есть и синий шар диаметром 5 мм. Нам предлагают ответить на ставку, что из корзины не будет вытащен синий шар за ближайшие 100 испытаний. Наши действия?
avatar

Eugene Logunov

Eugene Logunov, Согласен. 
что необходимым и достаточным условием безарбитражности в опционах европейского типа является колл-пут паритет
Это необходимое, но не достаточное условие. Если плотность распределения некорректна (принимает отрицательные значения) — то цены могут удовлетворять put-call parity, но не являться безарбитражными.

Про put-call parity Талеб хорошо пишет, чем оно так хорошо: https://www.fooledbyrandomness.com/OptionPricing.pdf

«Proof that under simple assumptions, such as constraints of Put-Call Parity, the probability measure for the valuation of a European option has the mean of the risk-neutral one, under any general probability distribution, bypassing the Black-Scholes-Merton dynamic hedging argument, and without the requirement of complete markets...»

«There have been a couple of predecessors to the present thesis that Put-Call parity is sufficient constraint to enforce risk-neutrality...»

«This paper uses a completely distribution-free, expectation-based approach and proves the risk-neutral argument without dynamic hedging, and without any distributional assumption, with solely two constraints: „horizontal“, i.e. Put-Call Parity, and „vertical“, i.e. the different valuations across strike prices deliver a probability measure (Dupire, 1994), which is shown to be unique.»
avatar

Eugene Logunov

Eugene Logunov, ну мы вроде договорились, что этот случай «Если плотность распределения некорректна (принимает отрицательные значения) »  не рассматриваем, потому что это относится только к выборочному распределению, а в теории исключено.

А суть поста не в самом паритете, а в том, что  в условиях, когда среднее относительного приращения цены в 20 и более раз больше R, он с высокой вероятностью приведет к вынужденной остановке получения безрисковой ставки для самофинансируемого портфеля через небольшое чмсло  экспираций.
avatar

А. Г.

А. Г., можно вообще предельно упростить эту историю. Если актив стоит 100, а средств всего 50 — то арбитраж невозможен потому что денег нет. Соответственно никаких вам put/call parity.
avatar

Daemon_Hell

Daemon_Hell, ну арбитраж всегда невозможен. Речь о получении безрисковой ставки в будущем.
avatar

А. Г.

А. Г., арбитраж как раз таки возможен.
Пусть безрисковая ставка 0, для простоты берем опционы на фьючерсы и ГО под закрытый бокс = 0.
Берем базовый актив = 100, стоимость кола со страйком 100 — 0.5
Для существования арбитража пут должен стоить менее 0.5
И совершенно не важно каким будет базовый актив на экспирацию.
avatar

Daemon_Hell

Daemon_Hell, арбитраж — это получение доходности выше безрисковой ставки без риска. При колл-пут паритете он невозможен. А все мои рассуждения в рамках колл-пут паритета.
avatar

А. Г.

Самофинансируемый портфель — никогда про такой не слышал.
Это не тот вариант, когда под залог акций/облигаций можно сделки на фортс делать?
avatar

Врач-бондиатОр

Врач-бондиатОр, это просто портфель без вводов-выводов.
avatar

А. Г.

А. Г., тоже верно. У вас случайно нет каких-нибудь наработок по акциям или фьючерсам, чтобы с народом поделиться? )
Математика опционов для многих слишком сложна…
avatar

Врач-бондиатОр

Врач-бондиатОр, увы. Математика, которая лежит в основе моих систем на акциях и фьючерсах сложнее той, что я написал в последних двух топиках. 
avatar

А. Г.


....все тэги
2010-2020
UPDONW