Блог им. AGorchakov
А как из сказанного возникает известная формула Блэка-Шоулза? А очень просто. Функция выплат по опциону колл со страйком S такая
Каким может быть будущее распределение цен? Предположим, что приращение натурального логарифма цены имеет нормальное распределение со средним а и дисперсией сигма в квадрате
Тогда, чтобы взять среднее, нам надо представить функцию выплат, как функцию от приращения логарифма цены. Это просто. Из свойств логарифма (9-й класс средней школы в мое время) мы легко получим
где С — текущая цена
И отсюда сразу получаем функцию выплат, как функцию от приращения логарифма цены и известных текущей цены С и страйка S
Для дальнейших выкладок нам понадобится одно обозначение уже из курса теории вероятностей для нормального распределения, а именно «размер» «хвоста распределения»
Обозначим LN(S)-LN( C ), как s маленькое.
Тогда справедливая цена, умноженная на 1+R, перепишется в виде интеграла
Произведем в нем замену х-а на х (10-й класс средней школы)
И еще одну замену на х
Теперь все готово, чтобы выразить справедливую цену, умноженную на 1+R, через функцию N(х)
Ну вернем назад безрисковую ставку и получим формулу справедливой цены опциона колл, как функцию от а и сигма
А как из нее получить формулу Блэка-Шоулза? Для этого надо сделать несколько дополнительных предположений об 1+R, а и сигма. А именно
Отметим, что вторые две формулы имеют место в случае, когда приращения логарифмов LN(C(t+1))-LN(C(t)), t=0,...,T-1, С(0)=С, представляют из себя последовательность независимых нормально распределенных случайных величин со средним и дисперсией
.
Также отметим, что если приращения логарифмов цен просто независимые случайные величины с указанными постоянными средними и дисперсиями, то из центральной предельной теоремы для T>30 мы получим, что распределение LN(C(T))-LN( C ) близко к нормальному с указанными средним и дисперсией. Так что и в этом случае формула Блэка-Шоулза, хоть и приближенно, но «работает».
А откуда берется равенство среднего LN(C(t+1))-LN(C(t)) величине при дисперсии
?
А очень просто: если имеет место это равенство для среднего нормально распределенной величины LN(C(t+1))-LN(C(t)), то среднее относительного приращения (C(t+1)-С(t))/С(t) равно r, т. е. в среднем цены прирастают на безрисковую ставку.
Но мы получили несколько более широкую формулу справедливой цены для случая нормальности
из которой мы можем получать справедливые цены и при других моделях будущих а и сигма. Мы вообще можем предположить, что эти величины также являются случайными с плотностями g и h, соответственно. И тогда формула справедливой цены опять выразится через интеграл
Но это уже другая история, как и вывод формул для более сложных платежных поручений.
Ну и где тут «безарбитражность» и прочая лабуда с частными производными?
никак.
Что-то даже в институте не припомню таких сложностей)
Ну это не 10 класс точно. Не хватает аксиоматики, а именно откуда он произошел — т.е. понимание уравнения теплопроводности и граничных условий. Ну или стохастические процессы с дискретным временем. А это уже уравнения математической физики и стох процессы, как минимум 3 курс мехмата.
Вы очень просто работаете с распределениями, используете ЦПТ, а по хорошему для этого нужны основы функционального анализа (это 2 курс мехмата), без этого не понять разницу между плотностями и функцией распределения, нужно знать меру Лебега, это опять же функциональный анализ.
А уж вопросы, связанные с переходом от непрерывной трактовки к дискретной — я уж молчу )))
Из курса теорвера (это действительно ВУЗ) только определения математического ожидания и нормального распределения.
ЦПТ — это просто замечание, к выкладкам не имеющее никакого отношения.
Это как в учебниках по квантовой механике, Ландау-Лифшиц — «очевидно, что» и равенство, начинаешь разбираться — 5-6 страниц пропущенных выкладок, которые могут повторить только сдавшие теорминимум. )
solarm дело говорит. Это не 10 класс. Уровень материала — второй курс физтеха, матмеха.
Думаю, что с вероятность 99%, 99% школьников сломаются об эту формулировку:
это не школьный уровень. будьте реалистом.
А так, да, всё получилось по классике:
Но заметьте, что сама формула не требует независимости LN(C(t+1))-LN(C(t)). Тут обратная импликация: если независимы, то имеют место равенства. Но равенства могут быть и без независимости, достаточно нормальности за период с такими средним и дисперсией
По классике безрисковая ставка вылезает, когда в dS/S=mu*dt+sigma*dW мы переходим к мартингальной мере: dS/S=r*dt+sigma*dV, dW=dV-((mu-r)/sigma)*dt. И вот тут то уже и начинаются все бла-бла-бла про риск-нейтральность, безарбитражность и т.д.
Предположение риск-нейтральности, в целом, звучит так себе. А без него у нас получаются другие цены опционов (даже если динамика цены осталась прежней), а значит и другое подразумеваемое риск-нейтральное распределение цены: https://smart-lab.ru/blog/573457.php Вот тут обсуждался вопрос о масштабировании волатильности: smart-lab.ru/blog/566099.php
Я взял арифметическое случайное блуждание и добавил к нему простейший микроструктурный шум (с геометрическим СБ получится всё то же самое). На больших масштабах этот шум почти не влияет на распределение доходностей, т.е. казалось бы, можно им пренебречь при оценивании опционов. А вот на маленьких масштабах получается завышенная волатильность из-за быстрой средневозвратной компоненты.
Если мы реплицируем опцион при помощи базового и безрискового активов — то при достаточно большой гамме мы потенциально имеем возможность обнулять дельту с очень мелким шагом, зарабатывая тем самым на микроструктурном шуме (котируем со спредом 1 price step). И вот у нас уже получилась стоимость репликации по совершенно новой волатильности, хотя распределение доходностей на большом масштабе всё ещё имеет sigma=25%...
Так по какой волатильности в таком случае нужно оценивать опцион?
а) 25% — соответствующая волатильности доходностей большого масштаба;
б) 30% — учитывающая вклад микроструктурного шума, однако завышенная по сравнению с доходностями большого масштаба.
Вопрос выше эквивалентен вот такому вопросу: всегда ли мы можем оценивать опцион по распределению цены на экспирацию, или же мы должны исходить из стоимости его репликации?
А для случая нормальности будущего приращения логарифма цены получена формула в самом общем виде. Дельта в рамках этой формулы — это уже вопрос предположений об а и сигма, как функций от времени. В Б-Ш. все понятно с этим, а в других предположениях — это уже вопрос отдельного изучения.
для «справедливой» цены колла. Отличия могут быть только в параметрах: полученная а может отличаться от Вашего mu*T, а сигма в формуле от sigma*Т1/2. А потом, задавшись вопросом, а какое распределение у LN(C(T))-LN( C )? Вы придете к выводу, что оно нормально со средним а и дисперсией сигма в квадрате из Вашей формулы.
PS. Посмотрел ссылку а масштабировании волатильности и вижу совершенно естественное объяснение результата: соотношение между спредом и средним приращением логарифма цены. Чем меньше масштаб, тем оно больше и тем самым просто получается разная дисперсия суммы двух независимых случайных величин, в котором второе слагаемое просто уменьшается по отношению к первому с ростом масштаба.
Кстати, мои исследования показали, что у минуток RI внутри дня существуют относительно сильные отрицательные корреляции приращений логарифмов цен и потому дисперсии более длинных тайм-фреймов внутри дня, как правило (больше 95% времени), меньше суммы дисперсий минуток, входящих в тайм-фрейм.
А вот на дневках уже отрицательной корреляции не наблюдается, но наблюдается нестационарность дисперсии.
Не тут ли «собака порылась»?
Вы приходите к правильному значению a исходя из предположения о том, что средняя скорость роста акций равна безрисковой ставке, а затем говорите, что a может быть случайной величиной и выписываете ещё одну формулу.
Допускаю, что к правильному значению a=(r-(sigma^2)/2)*T можно прийти из логических соображений, но давайте попробуем поступить иначе.
Мы знаем, что put-call parity — это условие, которое должно выполняться вне зависимости от модели. Мы покупаем колл и продаём пут — получаем синтетический фьючерс. Из акции и синтетического фьючерса можем собрать синтетическую облигацию, ставка по которой не должна отличаться от безрисковой.
Пусть цена на момент экспирации имеет лог-нормальное распределение
Цены опционов колл и пут будем считать как матожидание выплат по этому распределению:
Рассмотрим разность цен коллов и путов, подставим плотности распределения и сосчитаем интегралы:
Перепишем последнее выражение в следующем виде:
Сравним с условием put-call parity:
Отсюда следует необходимое условие для безарбитражности цен опционов:
В ваших обозначениях это эквивалентно a=(r-(sigma^2)/2)*T.
Так может ли a быть случайным, или оно и для смеси распределений с разными sigma будет каким-то конкретным? :)
Нестационарность дисперсии — отдельная сложная тема. Почему спред вносит небольшой вклад в изменения цены на больших масштабах — понятно, почему исчезает автокорреляция, являющаяся следствием колебаний цены на величину спреда, тоже.
Вопрос в другом — влияет ли собираемый/отдаваемый в процессе дельта-хеджирования спред на стоимость опциона? И ответ на него приводит нас либо к необходимости использования диффуров в частных производных (и tree-based методов), либо разрешает работать с распределением цены на момент экспирации.
smart-lab.ru/blog/595389.php#comment10679826
Но «цимус» в том: а оно нам надо? Ведь с точки зрения дельт, гамм и прочих «греков» формулы не изменятся с точностью до констант при а=m*Т и сигма^2=s^2*Т. Зато мы получаем еще одну «степень свободы» в виде m. Правда, «улыбку волатильности» ей не объяснить.
Кстати, аналог колл-пут паритета будет и тут, только ставка диконтирования изменится. Точнее вот что получим
Call-Put=C*exp(a+sigma^2/2-rT)-S*exp(-rT)
Если в правой части Call-Put=… получилось что-то отличное от S-K*exp(-r*T) (ограничимся опционами на акции) — это приводит к отличию доходности синтетической облигации от безрисковой ставки. Берём займ под безрисковую ставку, размещаем его в синтетической облигации. Полученная прибыль свыше безрисковой ставки будет чьим-то убытком.
Осмелюсь даже предположить, что из пут-колл паритета можно прийти к следующему:
1. Если некоторое семейство распределений допускает параметризацию, включающую матожидание в явном виде;
2. Носитель распределений из этого семейства является подмножеством [0;+Inf);
3. И, если для любого конечного матожидания и некоторого рассматриваемого множества всех прочих параметров распределения, цены опционов
существуют и конечны для любого конечного неотрицательного K, то существует не более одного значения матожидания про прочих фиксированных параметрах распределения, не приводящее к нарушению put-call parity.
С лог-нормальным распределением это матожидание легко найти в явном виде, что я и сделал в предыдущем комменте. Для GEV тоже должно быть относительно несложно. Для других распределений — зависит от того, можно ли аналитически сосчитать интегралы, определяющие стоимость опционов. В остальных случаях придётся искать численно.
Займ под безрисковую ставку необязателен для арбитража пут-колл паритета. У меня может быть свободный кэш, который я, по возможности, буду стараться разместить под более высокую ставку при идентичных рисках.
Если короткие ОФЗ предлагают 5.5% доходности, а из коллов, путов и акций я могу собрать синтетическую облигацию, дающую 6% — именно в неё я и полезу со своим свободным кэшем. Абсолютно рациональный подход.
А вот если я считаю, что акции в среднем дают лишь безрисковую ставку — то они мне и не нужны. Я, как рациональный человек, лучше куплю ОФЗ или открою банковский вклад, вместо того чтобы переживать из-за волатильности акций (но на практике буду переживать по другим причинам). Но ведь кто-то покупает акции long-term, значит, либо им нравится рисковать, либо они считают, что доходность акций выше безрисковой ставки?
Если подытожить всё, что я тут накомментировал, то мне кажется, что допущение 3 лучше заменить на отсутствие арбитража. Мы придём к тому же самому условию, но как к следствию рационального поведения некоторых участников торгов.
Ну в долгосроке это считается именно так: доходность акций выше безрисковой ставки. «Премия за риск».
«Безарбитражность» на линейных активах обычно понимают как без риска (просадок) нельзя получить доходность выше безрисковой ставки, а с риском (просадками) — сколько угодно. Поэтому мне и непонятно условие для БА
Возникает естественный вопрос «справедливости» получения 1,01% при средней доходности вложения в БА +20%. Дальше, если на первой итерации актив вырастет на 30%, ещё хуже. При доходности в 1,01%, нам уже будет не хватать денег на покупку актива по цене 130% и для покупки актива для получения гарантированного дохода в 1,01%, нам придётся занимать 28.99% под ставку в 1% и тем самым наш доход уменьшится на 0,2899% и составит не 1,01%, а 0,7201%. И после 3-х итераций роста БА мы посредством опционов лишимся возможности вообще получать положительную ставку на самофинансируемый портфель.
И даже больше можно сказать как только делаем предположение о геометрическом СБ в ценах
smart-lab.ru/blog/595389.php#comment10677625
Ситуацию за рамками предположения о геометрическом СБ в ценах я действительно не могу прокомментировать.
Это блин какая-то 239 физмат школа наверное
10-11класс это, по сути, подготовка абитуриента к первому курсу ВУЗа, а кто учиться не хочет, тот обычно после 9-го сваливал в путягу, а затем водителем на трактор или установщиком пластиковых окон. Кому как повезет.
а тут линейные замены в интеграле…
Мат.информат, физмат и так далее...
В мат.классах любят поковыряться в твоем мозге, как сейчас помню, заставляли вырезать на бумаге и склеивать, ВНИМАНИЕ, додекоусеченный икосододекаэдр
Это была просто шляпа!
это не совсем верно. разница в способностях-талантах не стирается никогда. талантливые пацаны всегда на голову выше остальных и обычно эти таланты приходят из физмат школ.
Если работаешь в 64-битной системе, то получишь 18446744073709551615 (все 64 бита = 1)
KarL$oH, ты же не делишь на нуль. Ты делишь на h. И изучаешь предел выражения f(x+h)/h при h-->0
Но для современных детей, которые во втором классе ещё таблицу умножения нетвёрдо знают — это уже кажется недостижимой магией из другого мира.
Полистайте оглавление https://www.labirint.ru/books/593847/point/gm/?point=gg19&gclid=CjwKCAiA1rPyBRAREiwA1UIy8C5hiYphcwMmhq6jHmRmBRAjRwValEXQdsrtm-E8tHa_sHySgwkoJBoCXsQQAvD_BwE
Но знание их, как отмечено выше, не позволит применить на этом уровне.
И внимание. Сейчас в обычном учебнике есть столь великий своим названием Бином Ньютона. В мое время не было. Также появились элементы теорвера.
Показать, что «какой я умный»? Или, что «деревья раньше были зеленее»? ))
Главное — практический результат!
Кстати, на правах чайника хотел спросить:
1)являются ли синонимами среднее арифметическое и матожидание?
2) насколько правильно рассчитывать матожидание для рядов с распределением отличном от нормального?
1) Нет, среднее арифмитическое — это оценка матожидания при условии, что во всех исходах матожидание одно и то же. Совпадают они только в одном случае: все исходы имеют одинаковую вероятность и иных исходов нет.
2) Матожидание определяется для любого распределения не только для нормального.
Врач-бондиатОр, какая грустная картинка...
К сожалению, она вполне адекватно отражает состояние дел в отечественном образовании...
Самообразование никто не отменял, да и возможностей для этого сейчас на много порядков больше чем при совке.
У нас опционы на фьючерсы, так что можно сразу положить безрисковую ставку 0.
Ну и страйк более привычно обозначать буквой K, но это ерунда, конечно.
А вот последний переход к двойному интегрированию по (a, sigma), уже имеет философские трудности, кмк.
— доходность (дивиденды, q) и безрисковая ставка ® в БШ учтены, читайте учебники;
— r и q сдвигают гиптетическую поверхность волатильности в сторону на экспоненту (-r*t) и (-q*t) соответственно, создавая ценовой разрыв между коллами и путами одного страйка;
— если один из этих параметров <0, цены далёких страйков могут показывать знак "-", что противоречит логике и колл/пут-паритету;
— в случае с торговлей фьючерсом (q=0, r=0) эти параметры неправильно изображают тренды (ставят позицию дельтой против тренда), логично было бы использовать их отрицательные значения (как бы сам себе доходность платишь), но тогда цены на краях отрицательные;
— так что остаётся только «улыбка», причём стационарная (которых кстати правильных целый спектр, т.е. несколько).
А. Г., «неликвидность» этих опционов — лень маркет-мейкеров и преступная халатность мосбиржи.
На том же е-мини или спай ликвидны все опционы, включая «глубоко-в-деньгах».
Основная причина такого плачевного положения на ОФРТС — флуд-контроль, вшитый в протокол сигейт на невероятно низких значениях 30 транзакций в секунду (по дефолту).
Одна из ближайших недельных:
Код: https://pastebin.com/xuU2dfRx
yandex.ru/turbo?text=https%3A%2F%2Fru.wikipedia.org%2Fwiki%2F%25D0%259C%25D0%25BE%25D0%25B4%25D0%25B5%25D0%25BB%25D1%258C_%25D0%2591%25D0%25BB%25D1%258D%25D0%25BA%25D0%25B0_%25E2%2580%2594_%25D0%25A8%25D0%25BE%25D1%2583%25D0%25BB%25D0%25B7%25D0%25B0
C=S*N(d1)-K*exp(-r*T)*N(d2)
P=K*exp(-r*T)*N(-d2)-S*N(-d1)
C-P=S*[N(d1)+N(-d1)]-K*exp(-r*T)*[N(d2)+N(-d2)]
N(x)+N(-x)=1 --> C-P=S-K*exp(-r*T) чтд.
Ой, извините, я почему то считал «колл-пут паритет» равенством без дисконтирования страйка:
С+К=Р+S
en.wikipedia.org/wiki/Put–call_parity
Только что глянул deep ITM опционы на GLD и TLT — спреды минимальные; в плане объёмов на bid/ask — не наблюдаю принципиальных отличий от OTM опционов.
Условие put-call parity должно выполняться вне зависимости от используемой модели, иначе — дарим кому-то деньги.
1. Приращения логарифмов цен распределены по нормальному закону с постоянной дисперсией.
2. Приращения логарифмов цен независимы.
3. Среднее относительного приращения цены равно r -безрисковой ставке.
А для приближенного равенства и того меньше
1. Приращения логарифмов цен независимы с постоянными средним и дисперсией.
2. Среднее приращения логарифма цены равно r-sigma^2/2, дисперсия sigma^2, где r — безрисковая ставка.
1. Модель геометрического броуновского движения и мои пп. 1-2 из первого перечисления — это одно и тоже.
2. П. 3 и выплата дивидендов — суть вещи несовместные. И из п. 3 сразу следует отсутствие дивидендов, т. е. мы имеем более общее условие.
Остальное, как видите, вообще значения не имеет при выполнении п. 3. Это все перечисление достаточных условий для выполнения п. 3. Но не необходимых. А п. 3 является необходимым и достаточным условием выполнений Б-Ш при условии пп. 1 и 2 или, что эквивалентно, геометрического броуновского движения.
но БШ очень грубо гворя считает что из любой точки цена может пойти в верх и вниз с одной вероятностью...
Ну если на примере то рубль стоит 62 и по БШ курс рубля +10% и -10% это события с одинаковой вероятностью...
Вы же не считаете так… или считаете?
А. Г., только смещение приращения не «вверх», а «вниз»? Писал об этом в одном из моих постов. При r == 0
a = -s^2/2
При воле s==30% инвестор имеет (или его имеют?) на величину даунтренда a==(-4.5)%
А. Г., я же в Ваших обозначениях написал откуда отрицательный дрейф (то есть «даунтренд») берется.
А. Г., с этим не спорю. Просто акцентирую внимание, что если уж мы договорились жить в мире приращения логарифмов, то у нас в «том мире» будет отрицательное смещение. Иными словами бесконечный, беспросветный и вечносуществующий даунтренд. Так сказать, привет инвесторам.
вероятность выкинуть орел ( зеленую свечу 0,5) как и решка
второй раз выкинуть орел 0,25...
третий раз подряд еще меньше....
соответенно с зелеными свечами повторение с каждой последющей свечой становится все мало вероятнее
И тут кстати есть обяснение — это закон спроса
Чем выше цена тем ниже спрос… чем выше вырасла цена — тем меньше желающих купить...
БШ — это вообще никак не учитывает
Еще БШ не учитывает цикличность… ( её вообще мало кто учитывает)
Konstantin, а какие аргументы в пользу того, что прошлая информация на рынке имеет хоть какое-то влияние на будущие приращения цен?
Доказательную базу хотя бы 100 событий в год можно набрать?
Konstantin, Может быть, мне трудно понять смысл сказанного Вами из-за большого числа грамматических ошибок. (С мобилы набирали?)
Но пока что звучит так, что Вы плохо понимаете теорвер для задач с независимыми испытаниями.
Я прошу Вас привести экспериментальные аргументы, что на рынке испытания зависимы, а Вы меня отсылаете к известной задаче о монете с независимыми исходами. Про которую также известно, что её часто неправильно интерпретируют.
С уважением.
Практический эксперемент:
DXY (индекс доллара)
Индикатор RSI (14) показывает значение 78,81, т.е. Из последних 14 свечей 78.81 %, были растущие (11 свечей) и всего три красные свечи
По БШ выходит что вероятность растущей свечи и падающей равны ( с поправкой на безрисковую ставку)
Но опыт говорит, что когда происходит перекос 80/20 и более в одну из сторон, то и будующие значения цен имеют не нормальное распределение.
Если взять данные с 2007 года, то максимум в 2008 году было 12 растущих свечей подряд....
В теории я не исключаю и возможность 14 зеленых свечей подряд
Но максимум за доступную историю я нашел в 1997 году RSI 86.99 (13 зеленых свечей подряд) после чего
И в каждом из этих случаев цена начинала двигаться в противоположном направлении...
Грубо говоря если взять все исторические данных и посчитать максимальное количество однотипных свечей подряд и взять это число за 100%, то все остальные серии свечей счиатть как долю от максимального, то можно построить график вероятностей движения в противоположном направлении при приближениях к 0 и к 100
Konstantin, спасибо за развернутый ответ. Это дневки, правильно понимаю?
В данном случае срабатывает ловушка малой выборки как мне кажется.
Давайте вернемся к монете. Начинаем её подбрасывать. Изучаем серии орлов. Допустим, по небольшой выборке в 10 000 испытаний (это примерно 40 торговых лет дня дневок) обнаруживаем, что максимум было 15 орлов подряд. Означает ли это, что в следующий раз после 14-го орла надо делать ставку на решку? Вроде как зная в точности внутреннюю механику системы мы скажем «нет».
А если для нашей выборки просто чудом всё так сложилось, что мы ни разу не видели более длинную серию, хотя согласно теорверу на такой выборке вероятность серии в 20 орлов на самом деле (допустим) 1%?
Вот и на рынке меня терзают смутные сомнения. Ну, взяли мы индикатор RSI. Ну, нашли на истории 5 раз за всю жизнь рынка цепочку из 12 зеленых баров. С точки зрения статистики мы никакую закономерность не обнаружили. Просто занесли в раздел «курьёзные факты» некоторое наблюдение.
https://en.wikipedia.org/wiki/Generalised_hyperbolic_distribution
или
https://en.wikipedia.org/wiki/Normal_variance-mean_mixture
Toddler, было бы чудесно, если бы Вы подписали оси.