Блог им. AGorchakov

Блэк-Шоулз на уровне 10 класса средней школы

    • 19 февраля 2020, 17:06
    • |
    • А. Г.
      Проверенный аккаунт
  • Еще
Не знаю, как сейчас, а в мое время простейшие свойства интегралов и производных проходили в 10 классе средней школы. Не верите? Ну найдите учебник по алгебре для 10 класса второй половины 70-х.

Нет, конечно интегралов будет недостаточно. Надо немножко знать теорию вероятностей, а именно что представляет из себя среднее (математическое ожидание) произвольной функции по некоторому распределению аргумента. Ещё из теории вероятностей нам потребуется определение нормального распределения, которое конечно в школе тоже не проходят. 

Итак, пара общих определений.
Платежное поручение — это обязательство продавца выплатить некоторую сумму покупателю, зависящую от  цены базового актива в будущий момент времени Т — С(Т).
Платежной функцией платежного поручения называется функция выплат f(C(T)).

Тогда справедливой ценой платежного поручения можно считать среднее f(C(T)) по распределению будущей цены С(Т) (чаще всего неизвестному точно), деленную на 1+R, где R- безрисковая ставка до момента времени Т.

Что такое справедливая цена в приведенном определении? Она означает, что если сделка будет проведена по этой цене, то средний выигрыш покупателя будет равен безрисковой ставке, а средний проигрыш продавца — той же безрисковой ставке. Почему возникает безрисковая ставка при «справедливости»? Это очень просто: покупатель платежного поручения вместо покупки может разместить средства под безрисковую ставку, а продавец платежного поручения, получив средства от продажи, также может разместить эти средства под безрисковую ставку и, соответственно, в среднем ничего не проиграть.

А как из сказанного возникает известная формула Блэка-Шоулза? А очень просто. Функция выплат по опциону колл со страйком S такая

Блэк-Шоулз на уровне 10 класса средней школы
Каким может быть будущее распределение цен? Предположим, что приращение натурального логарифма цены имеет нормальное распределение со средним а и дисперсией сигма в квадрате

Блэк-Шоулз на уровне 10 класса средней школы
Тогда, чтобы взять среднее, нам надо представить функцию выплат, как функцию от приращения логарифма цены. Это просто. Из свойств логарифма (9-й класс средней школы в мое время) мы легко получим

Блэк-Шоулз на уровне 10 класса средней школы

где С — текущая цена

И отсюда сразу получаем функцию выплат, как функцию от приращения логарифма цены и известных текущей цены С и страйка S

Блэк-Шоулз на уровне 10 класса средней школы


Для дальнейших выкладок нам понадобится одно обозначение уже из курса теории вероятностей для нормального распределения, а именно «размер» «хвоста распределения»

Блэк-Шоулз на уровне 10 класса средней школы

Обозначим LN(S)-LN( C ), как s маленькое.

Тогда справедливая цена, умноженная на 1+R, перепишется в виде интеграла

Блэк-Шоулз на уровне 10 класса средней школы

Произведем в нем замену х-а на х (10-й класс средней школы) 

Блэк-Шоулз на уровне 10 класса средней школы
 
И еще одну замену Блэк-Шоулз на уровне 10 класса средней школы на х


Блэк-Шоулз на уровне 10 класса средней школы


Теперь все готово, чтобы выразить справедливую цену, умноженную на 1+R, через функцию N(х)


Блэк-Шоулз на уровне 10 класса средней школы 

Ну вернем назад безрисковую ставку и получим формулу справедливой цены опциона колл, как функцию от а и сигма

Блэк-Шоулз на уровне 10 класса средней школы

А как из нее получить формулу Блэка-Шоулза? Для этого надо сделать несколько дополнительных предположений об 1+R, а и сигма. А именно

Блэк-Шоулз на уровне 10 класса средней школы
Отметим, что вторые две формулы имеют место в случае, когда приращения логарифмов LN(C(t+1))-LN(C(t)), t=0,...,T-1, С(0)=С, представляют из себя последовательность независимых нормально распределенных случайных величин со средним Блэк-Шоулз на уровне 10 класса средней школы и дисперсией Блэк-Шоулз на уровне 10 класса средней школы

Также отметим, что если приращения логарифмов цен просто независимые случайные величины с указанными постоянными средними и дисперсиями, то из центральной предельной теоремы для T>30 мы получим, что  распределение LN(C(T))-LN( C ) близко к нормальному с указанными средним и дисперсией. Так что и в этом случае формула Блэка-Шоулза, хоть и приближенно, но «работает».

А откуда берется равенство среднего LN(C(t+1))-LN(C(t)) величине Блэк-Шоулз на уровне 10 класса средней школы при дисперсии Блэк-Шоулз на уровне 10 класса средней школы?

А очень просто: если имеет место это равенство для среднего нормально распределенной величины LN(C(t+1))-LN(C(t)), то среднее относительного приращения (C(t+1)-С(t))/С(t) равно r, т. е. в среднем цены прирастают на безрисковую ставку.

Но мы получили несколько более широкую формулу справедливой цены для случая нормальности

Блэк-Шоулз на уровне 10 класса средней школы

 из которой мы можем получать справедливые цены и при других моделях будущих а и сигма. Мы вообще можем предположить, что эти величины также являются случайными с плотностями g и h, соответственно. И тогда формула справедливой цены опять выразится через интеграл

Блэк-Шоулз на уровне 10 класса средней школы
Но это уже другая история, как и вывод формул для более сложных платежных поручений.

Ну и где тут «безарбитражность» и прочая лабуда с частными производными?

★43
147 комментариев
И как же объясняется «несколько дополнительных предположений»? :)
avatar
bstone, кроме этого
Также отметим, что если приращения логарифмов цен просто независимые случайные величины с указанными постоянными средними и дисперсиями, то из центральной предельной теоремы для T>30 мы получим, что  распределение LN(C(T))-LN( C ) близко к нормальному с указанными средним и дисперсией. Так что и в этом случае формула Блэка-Шоулза, хоть и приближенно, но «работает».
никак.
avatar
Ничего не понял, но очень интересно.
avatar
на уровне 10 класса

Что-то даже в институте не припомню таких сложностей)

Ну это не 10 класс точно. Не хватает аксиоматики, а именно откуда он произошел — т.е. понимание уравнения теплопроводности и граничных условий. Ну или стохастические процессы с дискретным временем. А это уже уравнения математической физики и стох процессы, как минимум 3 курс мехмата.
Вы очень просто работаете с распределениями, используете ЦПТ, а по хорошему для этого нужны основы функционального анализа (это 2 курс мехмата), без этого не понять разницу между плотностями и функцией распределения, нужно знать меру Лебега, это опять же функциональный анализ.
А уж вопросы, связанные с переходом от непрерывной трактовки к дискретной — я уж молчу )))

avatar
solarm, свойства логарифма и пара линейных замен в интеграле — разве это не 10 класс средней школы? В мое время это был 10 класс. Никаких процессов в выкладках нет вообще.

Из курса теорвера (это действительно ВУЗ) только определения математического ожидания и нормального распределения.

ЦПТ — это просто замечание, к выкладкам не имеющее никакого отношения.
avatar
А. Г., линейные замены — в школьной программе этого нет. Вы написали просто, это правда — но повторить школьник этого не сможет, просто потому что базы нет.
Это как в учебниках по квантовой механике, Ландау-Лифшиц — «очевидно, что» и равенство, начинаешь разбираться — 5-6 страниц пропущенных выкладок, которые могут повторить только сдавшие теорминимум. )
avatar
solarm, сейчас может и нет, а в мое время были и именно в курсе алгебры за 10 класс.
avatar
А. Г.,
solarm дело говорит. Это не 10 класс. Уровень материала — второй курс физтеха, матмеха.
avatar
Kapeks, приходится повторяться: интегралы и линейные замены переменных в них — это было в учебнике по алгебре для 10 класса в мое время (вторая половина 70-х). Логарифмы вообще 9-й класс.
avatar
А. Г., да, в моей школе они тоже были, но это не отменяет мой первый камент. ваши выкладки не подойдут для школьников.

Думаю, что с вероятность 99%, 99% школьников  сломаются об эту формулировку:
Предположим, что приращение натурального логарифма цены имеет нормальное распределение

это не школьный уровень. будьте реалистом.
avatar
Kapeks,  ну я сделал замечание, что определения математического ожидания и нормального распределения все-таки понадобятся. Но все выкладки в их рамках на уровне 10 класса. 
avatar
solarm, есть, конечно, в школьной программе. Линейная замена переменных в интеграле — самое банальное, что можно придумать.
avatar
А. Г., у меня это был 11 класс школы 1180 (1580 сейчас она )
avatar
Sergio Fedosoni, а потом в бауманку пошел?
avatar
KarL$oH, ага…
avatar
Безарбитражность вы закопали в «a=r*T-T*(sigma^2)/2» и «ln(C(T)/C)~N(a;sigma^2)». Почему матожидание log-return должно быть именно таким?)

А так, да, всё получилось по классике:

avatar
Eugene Logunov, я ответил именно на вопрос «почему» в тексте:
 А очень просто: если имеет место это равенство для среднего нормально распределенной величины LN(C(t+1))-LN(C(t)), то среднее относительного приращения (C(t+1)-С(t))/С(t) равно r, т. е. в среднем цены прирастают на безрисковую ставку.

Но заметьте, что сама формула не требует независимости LN(C(t+1))-LN(C(t)). Тут обратная импликация: если независимы, то имеют место равенства. Но равенства могут быть и без независимости, достаточно нормальности за период с такими средним и дисперсией
avatar
А. Г., 
я ответил именно на вопрос «почему» в тексте:
Простое предположение о том, что цены растут на безрисковую ставку, выглядит странно. А как же CAPM, которая говорит, что за дополнительный риск (sigma>0) мы можем ожидать дополнительный доход?

По классике безрисковая ставка вылезает, когда в dS/S=mu*dt+sigma*dW мы переходим к мартингальной мере: dS/S=r*dt+sigma*dV, dW=dV-((mu-r)/sigma)*dt. И вот тут то уже и начинаются все бла-бла-бла про риск-нейтральность, безарбитражность и т.д.

Предположение риск-нейтральности, в целом, звучит так себе. А без него у нас получаются другие цены опционов (даже если динамика цены осталась прежней), а значит и другое подразумеваемое риск-нейтральное распределение цены: https://smart-lab.ru/blog/573457.php
Но заметьте, что сама формула не требует независимости LN(C(t+1))-LN(C(t)).
Вот тут обсуждался вопрос о масштабировании волатильности: smart-lab.ru/blog/566099.php

Я взял арифметическое случайное блуждание и добавил к нему простейший микроструктурный шум (с геометрическим СБ получится всё то же самое). На больших масштабах этот шум почти не влияет на распределение доходностей, т.е. казалось бы, можно им пренебречь при оценивании опционов. А вот на маленьких масштабах получается завышенная волатильность из-за быстрой средневозвратной компоненты.

Если мы реплицируем опцион при помощи базового и безрискового активов — то при достаточно большой гамме мы потенциально имеем возможность обнулять дельту с очень мелким шагом, зарабатывая тем самым на микроструктурном шуме (котируем со спредом 1 price step). И вот у нас уже получилась стоимость репликации по совершенно новой волатильности, хотя распределение доходностей на большом масштабе всё ещё имеет sigma=25%...

Так по какой волатильности в таком случае нужно оценивать опцион?
а) 25% — соответствующая волатильности доходностей большого масштаба;
б) 30% — учитывающая вклад микроструктурного шума, однако завышенная по сравнению с доходностями большого масштаба.

Вопрос выше эквивалентен вот такому вопросу: всегда ли мы можем оценивать опцион по распределению цены на экспирацию, или же мы должны исходить из стоимости его репликации?
avatar
Eugene Logunov, «в среднем» на безрисковую ставку.

А для случая нормальности будущего приращения логарифма цены получена формула в самом общем виде. Дельта в рамках этой формулы — это уже вопрос предположений об а и сигма, как функций от времени. В Б-Ш. все понятно с этим, а в других предположениях — это уже вопрос отдельного изучения.
avatar
А. Г., А дивиденты?
Дмитрий Новиков, они «скрыты» в а.
avatar
А. Г., Если дивиденты выплачиваются. Как это отражено в формуле БШ? Я это имел в виду.
Дмитрий Новиков, в БШ не отражено, но в моей формуле можно отразить.
avatar
А. Г., А можно как то к рисковой ставке прибавить или отнять. А?
Дмитрий Новиков, насчет безрисковой ставки, не знаю, а к а точно можно прибавить.
avatar
А. Г., Ну если к а прибавить, тогда не получится формула БШ.
Дмитрий Новиков, не получится и что? Чем общая формула хуже?
avatar
Дмитрий Новиков, дивиденДы 
avatar
ЮЛИЯ, он еще потом пару раз через Т написал, вообще, видимо, не в курсе ни разу как это слово пишется-)
avatar
Eugene Logunov, А где моя премия за риск? А где дивиденты?
Eugene Logunov, и еще. Как только Вы предположили dS/S=mu*dt+sigma*dW, где W — геометрическое СБ, то через тернии репликаций, безарбитражности, уравнений в частных производных  и другого «бла-бла-бла» Вы все равно придете к формуле вида 



для «справедливой» цены колла. Отличия могут быть  только в параметрах: полученная а может отличаться от Вашего mu*T, а сигма в формуле от sigma*Т1/2. А потом, задавшись вопросом, а какое распределение у LN(C(T))-LN( C )? Вы придете к выводу, что оно нормально со средним а и дисперсией сигма в квадрате из Вашей формулы.

PS. Посмотрел ссылку а масштабировании волатильности и вижу совершенно естественное объяснение результата: соотношение между спредом и средним приращением логарифма цены. Чем меньше масштаб, тем оно больше и тем самым просто получается разная дисперсия суммы двух независимых случайных величин, в котором второе слагаемое просто уменьшается по отношению к первому с ростом масштаба.

Кстати, мои исследования показали, что у минуток RI внутри дня существуют относительно сильные отрицательные корреляции приращений логарифмов цен и потому дисперсии более длинных тайм-фреймов внутри дня, как правило (больше 95% времени), меньше суммы дисперсий минуток, входящих в тайм-фрейм.

А вот на дневках уже отрицательной корреляции не наблюдается, но наблюдается нестационарность дисперсии.

Не тут ли «собака порылась»?
avatar
А. Г., Я не спорю с формулой C_сп(a, sigma), которую вы получили :)

Вы приходите к правильному значению a исходя из предположения о том, что средняя скорость роста акций равна безрисковой ставке, а затем говорите, что a может быть случайной величиной и выписываете ещё одну формулу.

Допускаю, что к правильному значению a=(r-(sigma^2)/2)*T можно прийти из логических соображений, но давайте попробуем поступить иначе.

Мы знаем, что put-call parity — это условие, которое должно выполняться вне зависимости от модели. Мы покупаем колл и продаём пут — получаем синтетический фьючерс. Из акции и синтетического фьючерса можем собрать синтетическую облигацию, ставка по которой не должна отличаться от безрисковой.

Пусть цена на момент экспирации имеет лог-нормальное распределение  с плотностью

 .

Цены опционов колл и пут будем считать как матожидание выплат по этому распределению:



Рассмотрим разность цен коллов и путов, подставим плотности распределения и сосчитаем интегралы:


Перепишем последнее выражение в следующем виде:
.

Сравним с условием put-call parity:
.
Отсюда следует необходимое условие для безарбитражности цен опционов: .

В ваших обозначениях это эквивалентно a=(r-(sigma^2)/2)*T.

Так может ли a быть случайным, или оно и для смеси распределений с разными sigma будет каким-то конкретным? :)
А вот на дневках уже отрицательной корреляции не наблюдается, но наблюдается нестационарность дисперсии.
Нестационарность дисперсии — отдельная сложная тема. Почему спред вносит небольшой вклад в изменения цены на больших масштабах — понятно, почему исчезает автокорреляция, являющаяся следствием колебаний цены на величину спреда, тоже.

Вопрос в другом — влияет ли собираемый/отдаваемый в процессе дельта-хеджирования спред на стоимость опциона? И ответ на него приводит нас либо к необходимости использования диффуров в частных производных (и tree-based методов), либо разрешает работать с распределением цены на момент экспирации.
avatar
Eugene Logunov, про r-sigma^2/2 я де-факто уже ответил

smart-lab.ru/blog/595389.php#comment10679826

Но «цимус» в том: а оно нам надо? Ведь с точки зрения дельт, гамм  и прочих «греков»  формулы не изменятся с точностью до констант при а=m*Т и сигма^2=s^2*Т. Зато мы получаем еще одну «степень свободы» в виде m. Правда, «улыбку волатильности» ей не объяснить.

Кстати, аналог колл-пут паритета будет и тут, только ставка диконтирования изменится. Точнее вот что получим

Call-Put=C*exp(a+sigma^2/2-rT)-S*exp(-rT)
avatar
А. Г., 
Call-Put=C*exp(a+sigma^2/2-rT)-S*exp(-rT)
Правило паритета либо выполняется, либо нет. Допускаю отличия в дисконтировании (1/(1+R) вместо exp(-r*T)).

Если в правой части Call-Put=… получилось что-то отличное от S-K*exp(-r*T) (ограничимся опционами на акции) — это приводит к отличию доходности синтетической облигации от безрисковой ставки. Берём займ под безрисковую ставку, размещаем его в синтетической облигации. Полученная прибыль свыше безрисковой ставки будет чьим-то убытком.

Осмелюсь даже предположить, что из пут-колл паритета можно прийти к следующему:
1. Если некоторое семейство распределений допускает параметризацию, включающую матожидание в явном виде;
2. Носитель распределений из этого семейства является подмножеством [0;+Inf);
3. И, если для любого конечного матожидания и некоторого рассматриваемого множества всех прочих параметров распределения, цены опционов



существуют и конечны для любого конечного неотрицательного K, то существует не более одного значения матожидания про прочих фиксированных параметрах распределения, не приводящее к нарушению put-call parity.

С лог-нормальным распределением это матожидание легко найти в явном виде, что я и сделал в предыдущем комменте. Для GEV тоже должно быть относительно несложно. Для других распределений — зависит от того, можно ли аналитически сосчитать интегралы, определяющие стоимость опционов. В остальных случаях придётся искать численно.
avatar
Eugene Logunov, в том то и дело, что на практике займов под безрисковую ставку не существует, а доходность синтетической облигации фьючерс против базового актива действительно примерно равна безрисковой ставке.
avatar
А. Г., Разумеется, реальный мир сложнее. Спреды, комиссии, изменяющиеся ставки, небесплатный займ акций, невозможность зашортить отдельные бумаги в какие-то моменты, разные ставки по займу и размещению капитала, отсутствие непрерывной торговли (большая проблема для репликации опционов!). Продолжать можно долго.

Займ под безрисковую ставку необязателен для арбитража пут-колл паритета. У меня может быть свободный кэш, который я, по возможности, буду стараться разместить под более высокую ставку при идентичных рисках.

Если короткие ОФЗ предлагают 5.5% доходности, а из коллов, путов и акций я могу собрать синтетическую облигацию, дающую 6% — именно в неё я и полезу со своим свободным кэшем. Абсолютно рациональный подход.

А вот если я считаю, что акции в среднем дают лишь безрисковую ставку — то они мне и не нужны. Я, как рациональный человек, лучше куплю ОФЗ или открою банковский вклад, вместо того чтобы переживать из-за волатильности акций (но на практике буду переживать по другим причинам). Но ведь кто-то покупает акции long-term, значит, либо им нравится рисковать, либо они считают, что доходность акций выше безрисковой ставки?

Если подытожить всё, что я тут накомментировал, то мне кажется, что допущение 3 лучше заменить на отсутствие арбитража. Мы придём к тому же самому условию, но как к следствию рационального поведения некоторых участников торгов.
avatar
Eugene Logunov, 
Но ведь кто-то покупает акции long-term, значит, либо им нравится рисковать, либо они считают, что доходность акций выше безрисковой ставки?

Ну в долгосроке это считается именно так: доходность акций выше безрисковой ставки. «Премия за риск».

«Безарбитражность» на линейных активах обычно понимают как без риска (просадок) нельзя получить доходность выше безрисковой ставки, а с риском (просадками) — сколько угодно. Поэтому мне и непонятно условие для БА 

среднее относительного приращения (C(t+1)-С(t))/С(t) равно r,
avatar
Eugene Logunov, интересно получается. У нас есть БА, который с вероятностью 1/2 может упасть 10%, а с вероятностью 1/2 вырасти на 30%. И есть два опциона на него со страйками +30% и — 10% и е^-rt=0,99.  Тогда, если выполнено равенство колл-пут паритета, мы можем получить без риска +1,01% на капитал, равный текущей цене актива.

Возникает естественный вопрос «справедливости» получения 1,01% при средней доходности вложения в БА +20%. Дальше, если на первой итерации актив вырастет на 30%, ещё хуже. При доходности в 1,01%, нам уже будет не хватать денег на покупку актива по цене 130% и для покупки актива для получения гарантированного дохода в 1,01%, нам придётся занимать 28.99% под ставку в 1% и тем самым наш доход уменьшится на 0,2899% и составит не 1,01%, а 0,7201%. И после 3-х итераций роста БА мы посредством опционов лишимся возможности вообще получать положительную ставку на самофинансируемый портфель.
avatar
Eugene Logunov, вот я говорю, легко смотреть на итоговую формулу БШ, сказать, мол, а давайте сделаем «несколько дополнительных предположений», чтобы подогнать результат, а потом вопрошать, мол, ну и где тут все? :)
avatar
bstone, БШ изначально делали предположение о нормальности приращения логарифма цены. Тут в этом смысле нет никаких отличий, а показано, что дальнейший ход их мыслей с репликацией, безарбитражностью и т. п. вещами был не более, чем «наведению тени на плетень».
avatar
А. Г., категорически не согласен. Из одной нормальности ничего не следует, но тут уже подробно объяснили в других комментариях.
avatar
bstone, ну в топике же четко прописано, что сама формула БШ целиком и полностью следует из нормальности приращений логарифмов цен и предположения о средних относительных приращений цен (равны r).

И даже больше можно сказать как только делаем предположение о геометрическом СБ в ценах

smart-lab.ru/blog/595389.php#comment10677625

Ситуацию за рамками предположения о геометрическом СБ в ценах  я действительно не могу прокомментировать.
avatar
Ооо… Есть, что покурить! Сохранил в избранное — люблю такие топики, просто и наглядно
avatar
Интегралы в 10 классе?
Это блин какая-то 239 физмат школа наверное
Тимофей Мартынов, обычный 18 интернат, ничего особенного
avatar
Тимофей Мартынов, не, в обычной школе 10-11 класс тоже интегралы и пределы (lim) всегда захватывал.

10-11класс это, по сути, подготовка абитуриента к первому курсу ВУЗа, а кто учиться не хочет, тот обычно после 9-го сваливал в путягу, а затем водителем на трактор или установщиком пластиковых окон. Кому как повезет.
avatar
KarL$oH, при условии хороших учителей. Я, когда заканчивал среднюю школы, 2/3 класса не умело даже нарисовать график y=x.
а тут линейные замены в интеграле…
avatar
solarm, знаешь, чем обычные классы отличается от математических?

Мат.информат, физмат и так далее...

В мат.классах любят поковыряться в твоем мозге, как сейчас помню, заставляли вырезать на бумаге и склеивать, ВНИМАНИЕ, додекоусеченный икосододекаэдр

Это была просто шляпа!
avatar
KarL$oH, мне рассказывали мои одногруппники по физтеху. ) вся разница между обычной школой и физматом стирается к 3 курсу, а после 4 курса те, кто были из обычных школ сильно опережают тех, кто учился в физматах.  Это видно по выпускникам 57, СУНЦ, 2 школы и прочих.

avatar
solarm,
вся разница между обычной школой и физматом стирается к 3 курсу

это не совсем верно. разница в способностях-талантах не стирается никогда. талантливые пацаны всегда на голову выше остальных и обычно эти таланты приходят из физмат школ.
avatar
KarL$oH, пределы это не обычная уже программа, либо ты старше меня лет на 10 =)) Пределы перевели в первый курс мат анализа универа
avatar
Андрей К, не может быть, без них производную не дашь никак!
avatar
bstone, производные легко решались в конце школы. А вот углубленные производные с пределами, это да, уже в универе, во втором полугодии
avatar
bstone, вводили разностями без определения предела.
avatar
Андрей К, мы ж с тобой ровесники. Тебе, если не ошибаюсь, около 35? Программа в то время у всех одинаковая была. Пределы были. Но у меня мат.информат класс был, по мне судить вообще не нужно, но я знаю, что было у других, в обычных классах.
avatar
KarL$oH, я от пределов начал кипеть только на первом курсе. До этого их не знал. До меня сначала не доходило, как это разделить на 0 и получить бесконечность. Я уже тогда был программистом и четко знал, что на ноль комп не делит =))
avatar
Андрей К, пределы это вообще чушь какая-то. Я и в текущем своем возрасте не понимаю как можно поделить на ноль и получить бесконечность. Что такое бесконечность вообще? С учетом того, что наша жизнь конечна
avatar
KarL$oH, 
как можно поделить на ноль и получить бесконечность. Что такое бесконечность вообще?
ну вот, если в электронике поделить на ноль, то получим максимально допустимое число в рамках разрядности.

Если работаешь в 64-битной системе, то получишь 18446744073709551615 (все 64 бита = 1)

avatar

KarL$oH, ты же не делишь на нуль. Ты делишь на h. И изучаешь предел выражения f(x+h)/h   при h-->0

 

 

avatar
Андрей К, я заканчивал в 97, пределов уже не было тогда. Точнее были, но как-бы неявно, ибо без него интеграл не определить
avatar
Тимофей Мартынов, нет, интегралы и линейные замены в них были в обычном учебнике алгебры за 10 класс в мое время (тогда была десятилетка). Логарифмы проходили в 9-м. Дополнительно мы изучали уже всякие «теоремы о среднем» (я же заканчивал вторую физ-мат школу).
avatar
Тимофей Мартынов, В обычных средних школах без математического уклона дают основы матанализа в рамках алгебры. Производные, первообразные, определенные интегралы, условия экстремумов. 9-11 класс.
avatar
Тимофей Мартынов, самая обычная физмат школа. Типа 30-ки, Академической гимназии, 45 интерната...

Но для современных детей, которые во втором классе ещё таблицу умножения нетвёрдо знают — это уже кажется недостижимой магией из другого мира. 
avatar
Тимофей Мартынов, определенные интегралы в школе точно есть. В обычном классе. В мое время учебник назывался Алгебра и начала Анализа.

Полистайте оглавление https://www.labirint.ru/books/593847/point/gm/?point=gg19&gclid=CjwKCAiA1rPyBRAREiwA1UIy8C5hiYphcwMmhq6jHmRmBRAjRwValEXQdsrtm-E8tHa_sHySgwkoJBoCXsQQAvD_BwE

Но знание их, как отмечено выше, не позволит применить на этом уровне.

И внимание. Сейчас в обычном учебнике есть столь великий своим названием Бином Ньютона. В мое время не было. Также появились элементы теорвера.
avatar
UnembossedName,  бином Ньютона и в 70-е был — это же просто разложение на слагаемые выражения (а+b) ^n. А вот элементы теорвера я по школе не помню, несмотпя на то, что заканчивал физ-мат школу. Пределы в рамках «основ математического анализа»  были, но это было за рамками учебника по алгебре и началам анализа. Интеграл в последнем определялся как бесконечная сумма. А вот техника линейных замен переменных в них читалась именно в школе, как и значения интегралов от простейших функций: полиномиальной, логарифмической и показательной.
avatar
Тимофей Мартынов, Тоже проходил в 10 классе обычной средней школе в обычном посёлке с населением в 10 000 человек.
avatar
Я опять ничего не понял. Видимо, Блэк и Шоулз не для меня 
avatar
Kot_Begemot, будем вместе разбираться с греками потом, всему свое время
avatar
KarL$oH, хорошо, но я пока думаю, что смогу и без них обойтись
avatar
Чтобы продавать голые опционы это знать не обязательно. =)))
avatar
Value, надо добавлять «Доказано Коровиным!» :)
avatar
К чему вся эта математическая лабуда здесь? 
Показать, что «какой я умный»? Или, что «деревья раньше были зеленее»? ))
Главное — практический результат!
avatar
XAT, практический результат только один: опцион дороже справедливой цены — продай, дешевле — купи. Вопрос только в том, как считать справедливую цену. Один из примеров — данный топик.
avatar
По поводу того, кто что проходил в школе, вспомнилась одна картинка из инета...


Кстати, на правах чайника хотел спросить:
1)являются ли синонимами среднее арифметическое и матожидание?
2) насколько правильно рассчитывать матожидание для рядов с распределением отличном от нормального?

avatar
Врач-бондиатОр, 

1) Нет, среднее арифмитическое — это оценка матожидания при условии, что во всех исходах матожидание одно и то же. Совпадают они только в одном случае: все исходы имеют одинаковую вероятность и иных исходов нет.
2) Матожидание определяется для любого распределения не только для нормального.
avatar
А. Г., а если вероятность исходов разная, то чаще всего и бывает, то тогда как быть?
avatar
Врач-бондиатОр, важно, чтобы МО каждого исхода совпадали, остальное на важно. А как быть, когда МО разные, никто не знает. 
avatar
Врач-бондиатОр, и в догонку вопрос. чем отличается формулы для «полной» выборки и «кусочка». зачем нужно отнимать единицу от количества наблюдений?
avatar

Врач-бондиатОр, какая грустная картинка...

К сожалению, она вполне адекватно отражает состояние дел в отечественном образовании...

avatar
ch5oh, ну что теперь поделать?
Самообразование никто не отменял, да и возможностей для этого сейчас на много порядков больше чем при совке.
avatar

У нас опционы на фьючерсы, так что можно сразу положить безрисковую ставку 0.

Ну и страйк более привычно обозначать буквой K, но это ерунда, конечно.

 

А вот последний переход к двойному интегрированию по (a, sigma), уже имеет философские трудности, кмк.

avatar
ch5oh,  этот переход ведёт к такой же формуле, только вместо N(x) появится аналогичная функция для обобщенного гиперболического распределения. Оно, правда, уже не 2, а 4-х параметрическое и вопрос правильного выбора параметров «зависает в воздухе». В работах немецких финансовых аналитиков первой половины 90-х активно исследовалась эта тема, правда дальше выбора параметров по методу МНК на выборочном распределении приращений логарифмов цен они не продвинулись. 
avatar
А. Г., не понимаю, причем тут обобщенное гиперболическое? Вы привели выражение для Cсп, а потом разрешили параметрам иметь вероятностную (стохастическую?) природу. И вот тут надо очень четко объяснять, какой именно смысл вкладывается в этот двойной интеграл.
avatar
ch5oh, обобщенное гиперболическое распределение — это «смесь» нормальных. Последний интеграл именно этим и является. 
avatar
Для тех, кто не владеет материалом:
— доходность (дивиденды, q) и безрисковая ставка ® в БШ учтены, читайте учебники;
— r и q сдвигают гиптетическую поверхность волатильности в сторону на экспоненту (-r*t) и (-q*t) соответственно, создавая ценовой разрыв между коллами и путами одного страйка;
— если один из этих параметров <0, цены далёких страйков могут показывать знак "-", что противоречит логике и колл/пут-паритету;
— в случае с торговлей фьючерсом (q=0, r=0) эти параметры неправильно изображают тренды (ставят позицию дельтой против тренда), логично было бы использовать их отрицательные значения (как бы сам себе доходность платишь), но тогда цены на краях отрицательные;
— так что остаётся только «улыбка», причём стационарная (которых кстати правильных целый спектр, т.е. несколько).
avatar
bozon, с минусом я, конечно же, ошибся. Тем не менее r и q не решают «улыбку» волатильности а создают дополнительные трудности в расчётах.
avatar
bozon, «улыбку волатильности» можно объяснить в рамках последней формулы в моем топике. Но об этом как-нибудь в следующий раз. 
avatar
bozon, в условиях ненулевого a «колл-пут паритет» несправедлив в рамках данного мной определения. И рынок, похоже, это «знает», делая опционы сильно «в деньгах» практическим неликвидом. А «у денег» там за счёт волатильности особо на нем не поработаешь. 
avatar

А. Г., «неликвидность» этих опционов — лень маркет-мейкеров и преступная халатность мосбиржи.

На том же е-мини или спай ликвидны все опционы, включая «глубоко-в-деньгах».

 

Основная причина такого плачевного положения на ОФРТС — флуд-контроль, вшитый в протокол сигейт на невероятно низких значениях 30 транзакций в секунду (по дефолту).

avatar
ch5oh,  на SPY — тоже «лень маркет-мейкеров» за пределами 2-х сигм? Нет там ликвидности в таких опционах «в деньгах". 
avatar
А. Г., Квартальная серия:

Одна из ближайших недельных:


avatar
Eugene Logunov,  чего то я не наблюдаю в Вашей картинке колл-пут паритета. Но bozon писал о другом: при r>0 его нет и в формуле Б-Ш. И он прав. Хотя в опционах на фьючерсы по логике r должно быть равно нулю из-за контанго фьючерса к БА. 
avatar
А. Г., 
Но bozon писал о другом: при r>0 его нет и в формуле Б-Ш.
...



Код: https://pastebin.com/xuU2dfRx
avatar
Eugene Logunov,  ничего не понял. Причём здесь код и программа с каким-то разбросом, если речь о точных формулах


yandex.ru/turbo?text=https%3A%2F%2Fru.wikipedia.org%2Fwiki%2F%25D0%259C%25D0%25BE%25D0%25B4%25D0%25B5%25D0%25BB%25D1%258C_%25D0%2591%25D0%25BB%25D1%258D%25D0%25BA%25D0%25B0_%25E2%2580%2594_%25D0%25A8%25D0%25BE%25D1%2583%25D0%25BB%25D0%25B7%25D0%25B0
avatar
А. Г., Сосчитаны цены опционов по Б.-Ш. для некоторого набора параметров при r>0. Дальше сосчитана арбитражная раздвижка для put-call parity. По модулю она не превышает 2.273737*10^-13. Арбитража нет.

C=S*N(d1)-K*exp(-r*T)*N(d2)
P=K*exp(-r*T)*N(-d2)-S*N(-d1)

C-P=S*[N(d1)+N(-d1)]-K*exp(-r*T)*[N(d2)+N(-d2)]

N(x)+N(-x)=1 --> C-P=S-K*exp(-r*T) чтд.
avatar
Eugene Logunov,  ну так S-K*exp(-r*T) при постоянном r не нуль и разная величина для разных К (у меня это S). И даже по Вашей таблице видно, что раздвижка на порядки больше посчитанной.

Ой, извините, я почему то считал «колл-пут паритет» равенством без дисконтирования страйка:

С+К=Р+S
avatar
А. Г., Правая часть и не должна быть равна нулю. Выражение «C-P=S-K*exp(-r*T)» — это и есть то, что называется условием put-call parity для европейских опционов.

en.wikipedia.org/wiki/Put–call_parity
avatar
А. Г., а где Вы наблюдаете отсутствие заявок у опционов «в-деньгах»? Я когда последний раз смотрел е-мини — там можно было что угодно купить/продать.
avatar
ch5oh, конечно можно, вопрос нужно ли. Вон только вверху картинка от Евгения. Там видно, что сделок давно нет. 
avatar
А. Г., «давно нет сделок» — это вообще другой вопрос. Главное, что сами заявки есть и если бы мне приспичило купить — я бы купил.
avatar
А. Г., 
И рынок, похоже, это «знает», делая опционы сильно «в деньгах» практическим неликвидом.
Видимо, это свойство конкретного рынка)
Только что глянул deep ITM опционы на GLD и TLT — спреды минимальные; в плане объёмов на bid/ask — не наблюдаю принципиальных отличий от OTM опционов.
в условиях ненулевого a «колл-пут паритет» несправедлив в рамках данного мной определения.
Условие put-call parity должно выполняться вне зависимости от используемой модели, иначе — дарим кому-то деньги.
avatar
Eugene Logunov, посмотрите недельные со страйком, лежащим на 10%+ от текущей цены (это и есть примерно 2 сигмы). 
avatar
А. Г., неликвид отчасти обусловлен дельтой этих опционов близкой к 1 (спред шире ставить надо). Потом определённо в торговле участвуют трейдеры с прицелом на дивиденды, которые обязательно используют эти опционы при случае, но их мало (иначе объёмы торгов на опционах уже давно бы побили все мыслимые рекорды).
avatar
bozon, 
— так что остаётся только «улыбка», причём стационарная (которых кстати правильных целый спектр, т.е. несколько).
Не пробовали построить ортогональный базис в пространстве безарбитражных улыбок/поверхностей?))
— если один из этих параметров <0, цены далёких страйков могут показывать знак "-", что противоречит логике и колл/пут-паритету;
Это ещё что! А как вам положительная тэта в deep ITM путах при r>0?
avatar
Eugene Logunov, не пробывал, некогда случайно блуждать:)) Вообще меня сейчас больше интересуют мм-стратегии на IV и почти без арбитража.
avatar
bozon, В учебниках написано. Условие БШ. В течении всей жизни опционов дивиденды по акции не выплачиваются. С дивидендами это уже не БШ
Дмитрий Новиков, неправильные у Вас учебники.
avatar
bozon, из семи допущений модели БШ это идёт под номером два. Википедия в помощь. Я же специально провоцировал. 
Дмитрий Новиков, как видите из топика, для справедливости Б-Ш надо всего три допущения:

1. Приращения логарифмов цен распределены по нормальному закону с постоянной дисперсией.
2. Приращения логарифмов цен независимы.
3. Среднее относительного приращения цены равно r -безрисковой ставке.

А для приближенного равенства и того меньше

1. Приращения логарифмов цен независимы с постоянными средним и дисперсией.
2. Среднее приращения логарифма цены равно r-sigma^2/2, дисперсия sigma^2, где r — безрисковая ставка.
avatar
А. Г., семь допущений.
  • Торговля ценными бумагами (базовым активом) ведется непрерывно, и поведение их цены подчиняется модели геометрического броуновского движения с известными параметрами (в частности, эти параметры являются постоянными в течение всего срока действия опциона).
  • По базисному активу опциона дивиденды не выплачиваются в течение всего срока действия опциона.
  • Нет транзакционных затрат, связанных с покупкой или продажей акции или опциона.
  • Краткосрочная безрисковая процентная ставка известна и является постоянной в течение всего срока действия опциона.
  • Любой покупатель ценной бумаги может получать ссуды по краткосрочной безрисковой ставке для оплаты любой части её цены.
  • Короткая продажа разрешается без ограничений, и при этом продавец получит немедленно всю наличную сумму за проданную без покрытия ценную бумагу по сегодняшней цене.
  • Не существует возможности арбитража.
Дмитрий Новиков, 

1. Модель геометрического броуновского движения и мои пп. 1-2 из первого перечисления — это одно и тоже.
2. П. 3 и выплата дивидендов — суть вещи несовместные. И из п. 3 сразу следует отсутствие дивидендов, т. е. мы имеем более общее условие.
Остальное, как видите, вообще значения не имеет при выполнении п. 3. Это все перечисление достаточных условий для выполнения п. 3. Но не необходимых. А п. 3 является необходимым и достаточным условием выполнений Б-Ш при условии пп. 1 и 2 или, что эквивалентно, геометрического броуновского движения.
avatar
Дмитрий Новиков, Зная безрисковую ставку вы можете найти эквивалентный платёж для любого момента времени, так что это не проблема.
avatar
Eugene Logunov, Я то могу. И через КРР это сделать. Но на рынке прайс по БШ считается. А там дивы не предусмотрены. Просто, досрочное погашение.
Вы сами верите в нормальность распределения цены в любой момент времени?
Konstantin,  в том смысле, как изложено в  абзаце перед последней формулой — верю и использую. Правда не в опционах.
avatar
А. Г., а в обычном смысле, что цена в 80% времени находится в пределах двух стандартных отклонений от средней цены?
Konstantin, Вы о том, что у нормального распределения со средним временем нуль эта доля равна почти 98%? Ну если дисперсия случайна и имеет свое распределение, то смесь уже будет не нормально распределенной, а обобщенным гиперболическим распределением.
avatar
А. Г., просто насколько я понимаю формула БШ предполагает что цена может с равной долей вероятности пойти в любую сторону, но по факту это же не так….есть моменты на рынке, когда например цена снижаясь к примеру 10 дней подряд имеет вероятность дальнейшего снижения ( красной свечи) меньше чем вероятность зеленой свечи… и если на одиннадцатый день появилась опять красная свееча то вероятность зеленой свечи возрастает...
 но БШ  очень грубо гворя считает что из любой точки  цена может пойти  в верх и вниз с одной вероятностью...
Ну если на примере то рубль стоит 62 и по БШ курс рубля +10% и -10% это события с одинаковой вероятностью...
Вы же не считаете так… или считаете?
Konstantin, не в любую. Там в условиях есть среднее смещение вверх на безрисковую ставку в относительных приращениях (это отмечено в тексте). А насчет вероятностей цветов свечи, то это надо проверять на истории. Оттого, что мы найдем 3-4 случая 10 подряд снижения и во всех на 11-й день был рост — это ни о чем не говорит. Вот если б это было 30+ раз — это была бы статистика.
avatar

А. Г., только смещение приращения не «вверх», а «вниз»? Писал об этом в одном из моих постов. При  r == 0

a = -s^2/2

При воле   s==30%   инвестор имеет (или его имеют?) на величину даунтренда  a==(-4.5)%

avatar
ch5oh, нет, у относительных то приращений среднее равно r, которое вроде как отрицательным быть не может. Это у приращений логарифмов, если r<сигма^2/2 смещение отрицательно.
avatar

А. Г., я же в Ваших обозначениях написал откуда отрицательный дрейф (то есть «даунтренд») берется.

avatar
ch5oh, так это просто свойство логарифма: если у относительного приращения цены дрейф нулевой, то у приращения логарифма он отрицательный.
avatar

А. Г., с этим не спорю. Просто акцентирую внимание, что если уж мы договорились жить в мире приращения логарифмов, то у нас в «том мире» будет отрицательное смещение. Иными словами бесконечный, беспросветный и вечносуществующий даунтренд. Так сказать, привет инвесторам.

avatar
А. Г., Это да, но тут теор вер  вмешивается
 вероятность выкинуть орел ( зеленую свечу 0,5) как и решка
второй раз выкинуть орел 0,25...
 третий раз подряд еще меньше....
соответенно с зелеными свечами повторение с каждой последющей свечой становится все мало вероятнее
И тут кстати есть обяснение — это закон спроса
Чем выше цена тем ниже спрос… чем выше вырасла цена — тем меньше желающих купить...
БШ — это вообще никак не учитывает
Еще БШ не учитывает цикличность… ( её вообще мало кто учитывает)
Konstantin, Вы, наверное путаете вероятность одного испытания с вероятностью m-граммы. Если выпал «орел», то на следующем испытании вероятность «орла» тоже 0,5. Это вероятность двух «орлов» 0,25. 
avatar
А. Г., я о том и говорю БШ не учитывает того что было до текущего момента… грубо говоря как цена оказалась на текущем уровне

Konstantin, Вы многого хотите от Б-Ш.
avatar

Konstantin, а какие аргументы в пользу того, что прошлая информация на рынке имеет хоть какое-то влияние на будущие приращения цен?

Доказательную базу хотя бы 100 событий в год можно набрать?

avatar
ch5oh, теорвер. Вероятность выкинуть что первый раз решко меньше чем на сто первый раз после ста пешек выпадет орел

Konstantin, Может быть, мне трудно понять смысл сказанного Вами из-за большого числа грамматических ошибок. (С мобилы набирали?)

Но пока что звучит так, что Вы плохо понимаете теорвер для задач с независимыми испытаниями.

 

Я прошу Вас привести экспериментальные аргументы, что на рынке испытания зависимы, а Вы меня отсылаете к известной задаче о монете с независимыми исходами. Про которую также известно, что её часто неправильно интерпретируют.

 

С уважением.

avatar
ch5oh, Скажу так.
Практический эксперемент:
DXY (индекс доллара)
Индикатор RSI (14) показывает значение 78,81, т.е. Из последних 14 свечей 78.81 %, были растущие (11 свечей) и всего три красные свечи
По БШ выходит что вероятность растущей свечи и падающей равны ( с поправкой на безрисковую ставку)
Но опыт говорит, что когда происходит перекос  80/20 и более в одну из сторон, то и будующие значения цен имеют не нормальное распределение. 
Если взять данные с 2007 года, то максимум в 2008 году было 12 растущих свечей подряд.... 
В теории я не исключаю и возможность 14 зеленых свечей подряд
Но максимум за доступную историю я нашел в 1997 году RSI 86.99 (13 зеленых свечей подряд) после чего 
И в каждом из этих случаев цена начинала двигаться в противоположном направлении...
Грубо говоря если взять все исторические данных и посчитать максимальное количество однотипных свечей подряд и взять это число за 100%, то все остальные серии свечей счиатть как долю от максимального, то можно построить график вероятностей движения в противоположном направлении при приближениях к 0 и к 100

Konstantin, спасибо за развернутый ответ. Это дневки, правильно понимаю?

В данном случае срабатывает ловушка малой выборки как мне кажется.

 

Давайте вернемся к монете. Начинаем её подбрасывать. Изучаем серии орлов. Допустим, по небольшой выборке в 10 000 испытаний (это примерно 40 торговых лет дня дневок) обнаруживаем, что максимум было 15 орлов подряд. Означает ли это, что в следующий раз после 14-го орла надо делать ставку на решку? Вроде как зная в точности внутреннюю механику системы мы скажем «нет».

 

А если для нашей выборки просто чудом всё так сложилось, что мы ни разу не видели более длинную серию, хотя согласно теорверу на такой выборке вероятность серии в 20 орлов на самом деле (допустим) 1%?

 

Вот и на рынке меня терзают смутные сомнения. Ну, взяли мы индикатор RSI. Ну, нашли на истории 5 раз за всю жизнь рынка цепочку из 12 зеленых баров. С точки зрения статистики мы никакую закономерность не обнаружили. Просто занесли в раздел «курьёзные факты» некоторое наблюдение.

avatar
А. Г., Есть простой индикатора RSI (он считает количество свечей за период)… возьмите USDRUB и гляньте RSI  больше 80 ( 12 зеленых свечей из 14) уже гооворит о том что вероятность появления красной свечи много больше чем еще одной зеленой, но БШ это никак не учитывает и поэжтому например продажа коллов при RSI выше 80 оправдана, ежели продажа колллов при RSI ниже 30 
Konstantin, В основе уравнения БШ лежит Геометрическое броуновское движение. Это условие номер один. А там все это учтено. Вы с графика все свечи снимите и сложите их кучей. Слева красные, от большей к меньшей, справа зеленые. У вас получится колокол распределения. И какая свеча за какой идет уже не важно
Konstantin, точно говорит? Или нам в старом учебнике 80-летней давности об этом написали?
avatar
Konstantin, уважаемый А. Г. использует изящный эвфемизм «нестационарная нормальность». То есть в каждый момент времени параметры нормального распределения разные. И в итоге оно совсем не похоже на нормальное распределение. Но главное, что можно продолжать цепляться за слово «нормальное».
avatar
ch5oh, По моим ощущениям это даже не смесь нормальных, а просто одно нормальное с эволюцией сигмы во времени. При попытке усложнения Оккама немым укором указывает на тщетность попыток. Калибровка к реальности других моделей становится вещью в себе, разновидностью забавного интеллектуального упражнения.
avatar
wrmngr, если сигма случайна, то мы уже имеем не нормальное, а обобщенное гиперболическое распределение

https://en.wikipedia.org/wiki/Generalised_hyperbolic_distribution

или

https://en.wikipedia.org/wiki/Normal_variance-mean_mixture

avatar
А. Г., это ещё один довольно длинный и интересный разговор: является ли сигма случайной величиной (с каким распределением?) или её можно считать гладкой функцией времени, которую мы не можем наблюдать достоверно в силу разных объективных причин.
avatar
ch5oh, очень интересный вопрос, на который, ИМХО, нет единственно верного ответа. По крайней мере по гисторамме приращений логарифма цены ответ на него найти нельзя, надо смотреть в разрезе времени.
avatar
А. Г., да, наверное так правильнее. Но мне привычнее рассматривать ценовой процесс именно как последовательность логнормальных приращений со сменой режимов по сигме по простой причине — локальный режим важнее для принятия конкретных решений в моменте независимо от общего выборочного распределения, которое проявится при сборе данных за продолжительное время
avatar

Toddler, было бы чудесно, если бы Вы подписали оси.

avatar

теги блога А. Г.

....все тэги



UPDONW