В теме опционов часто поднимается вопрос о причинах появления «ухмылки волатильности» в опционах на фондовые индексы. Или, проще говоря, почему опционы пут  «вне денег», на страйке лежащем на n% от текущей цены дороже опционов колл «вне денег», лежащих на том же «расстоянии» от текущей цены.

Даже цитируются «умные» книги о том, что спрос на путы больше из-за наличия хэджеров.

На самом деле все проще и иначе.

Вот общее определение «справедливой» цены произвольного платежного поручения

Итак, пара общих определений.
Платежное поручение — это обязательство продавца выплатить некоторую сумму покупателю, зависящую от цены базового актива в будущий момент времени Т — С(Т).
Платежной функцией платежного поручения называется функция выплат f(C(T)).

Тогда справедливой ценой платежного поручения можно считать среднее f(C(T)) по распределению будущей цены С(Т) (чаще всего неизвестному точно), деленную на 1+R, где R- безрисковая ставка до момента времени Т.

( Читать дальше )

А все гораздо проще. Пусть наш начальный капитал N, тогда после формирования позиции «продаем колл, покупаем пут» у нас на счете будет

N+C-S*(1+R)^-1

из которых С мы должны отдать на покупку актива, остается

N-S*(1+R)^-1.

Если эта величина отрицательна, то мы должны на нее прокредитоваться под безрисковую ставку, если положительна, то разместить под безрисковую ставку. Что мы имеем? Мы имеем либо кредит, либо депозит плюс позиция, которая гарантировано нам даст выплату в размере S на экспирацию. Почему верно последнее? Очень просто. Если цены упадут, то проданный колл «сгорит», а купленный пут мы реализуем и получим S, если цены вырастут, то купленный пут нам не нужен, а по проданному коллу мы продадим актив за S. Получается, что кредит нам принесет только убыток и потому он бессмысленен и конструкция имеет смысл только при N>S*(1+R)^-1. Последнее неравенство можно спокойно заменить на равенство, так как задействовать капитал под эту конструкцию больше S*(1+R)

( Читать дальше )

В обсуждении прошлого топика совместно с коллегами мы пришли к выводу, что необходимым и достаточным условием безарбитражности в опционах европейского типа является колл-пут паритет

Call-Put=C-S*(1+R)^-1

где

Call – цена опциона колл со страйком S;

Put – цена опциона пут со страйком S;

С – текущая цена базового актива (БА, предполагается, что в активе нет купонов и дивидендов);

Собственно, рассуждения в рамках безарбитражности приводят нас к условию, что среднее относительного приращения цены БА до экспирации  равно R.

А что получается при колл-пут паритете, когда то же самое среднее в 20 и более раз больше R?

Сразу сделаем предположение, как у Блэка-Шоулза, что мы всегда можем занять любую сумму под ставку R.

Рассмотрим для простоты актив, который на любую будущую экспирацию имеет два равновероятных исхода: +30% и -10%, а R положим равным 1%.

Для простоты также будем считать, что 0.99*1.01=1, т. е. все в расчетах будем округлять до 0,1%.

( Читать дальше )

Последнее время на смарт-лабе снова набирает популярность тема опционов. Попробуем понять почему.

Вот тут давно описана моя система продажи путового месячного «края» и приведены ее тесты с 2008 по 2013:

www.howtotrade.ru/nw/index.php?p=1380184332

Вскоре после той публикации эта система начала торговаться в реале на объеме в почти 1000 контрактов в сумме (на фирме 960 контрактов). 3 марта 2014 торговля этой системы была закрыта. Почему? Ссылку на это дам в конце (я уже об этом тут писал), потому что это будет хорошим резюме к нижеизложенному. 

Собственно расчет вариационной маржи для 960 контрактов я продолжил и после прекращения торговли. Эдакий out-of-sample. И что получается? А вот что по дням экспирации (мы помним, что продаваемые опционы месячные)



График в рублях, потому что я не знаю к чему отнести накопленную вармаржу. Ну до сентября 2015-го выглядит не очень красиво, я бы такое не торговал, но с 15 сентября 2015-го очень даже симпатично

( Читать дальше )

Достал «из-под сукна» свою опционную систему, которая была снята с торговли после известных событий 3 марта 2014-го.  Напомню картинку из нее



Так вот, и в пятницу 28.02.2014 (Страйк=120000) и в пятницу  06.04.2018 (Страйк=110000) система была в непокрытой продаже пута. НО! Если 3 марта рынок открылся и проскочил две (!) планки и вторая была ниже Страйка проданного опциона, то 9 апреля рынок открылся гораздо выше Страйк*, который был под первой планкой и по этой цене прекрасно бы открылся шорт, если б хватало денег под  ГО (а у меня бы его точно хватило, так как пут я тогда продавал исходя из соотношения Страйк*число контрактов~депозит и сейчас бы не изменил этому правилу, а на трендовых системах на том же депозите могли быть только шорты). И что? А то, что на вчерашний вечерний клиринг  эта система была бы в плюсе к 06.04 и только сегодня бы ушла в небольшой минус из-за роста на вчерашней вечерке и сегодня утром (и еще неизвестно, что будет к вечеру). А потому вывод: в этот раз непокрытые проданные путы «на краях» без плеча (т. е. когда Страйк*число контрактов~депозит) вообще не несли в себе  рисков, а риск был в повышении ГО и нехватке средств из-за огромных плечей.

Вот так мы «реагируем» на штаты. Мой виртуально(!) проданный февральский пут на 115 продолжает «наливаться прибылью», не то что со 120-м мартовским 2014-го. А ведь продавались (нынешний исключительно виртуально) на примерно одинаковом «расстоянии» от страйка после предыдущей месячной экспирации. Эх, где волатильность…

Через g_*(x) обозначим функцию

Е_*max(x-d,0), где Е_* –среднее по распределению P_* случайной величины d.

Предположим, что безрисковая ставка равна нулю и мы имеем опционы европейского типа с их рыночными ценами C_call(St) и С_put(St), базовый актив с ценой C₀ и отсутствие возможности арбитража. Тогда из известной теоремы о безарбитражном рынке следует, что существует такое распределение (Р_рын) относительного приращения будущей цены базового актива d_T=C_T/C₀-1, C_T  — цена на экспирацию, что Е_рынd_T=0 и для любого страйка имеют место равенства

C_call(St)=C₀·(g_рын(s)- s) и C_put(St)=C₀·g_рын(s),
где s=St/C₀-1.


Распределение P_рын еще называют «риск-нейтральным», потому что если реальное распределение d_T-M

( Читать дальше )

Вчера анализировал 10-ти и 21-ти дневные относительные приращения S&P500 и пришел в выводу, что если их центрировать и предположить, что распределение абсолютно непрерывно, то плотность имеет… разрыв в нуле с вероятностью 0,99. 

Даже не представляю каким стационарным процессом можно получить такое распределение. Может кто-то встречал такие модели ценообразования? В мою то нестационарную модель можно всунуть что угодно, но ее предикативная ценность из-за этого для опционов невелика.

С уважением

P. S. После замечания  SergeyJu, высказанного в приватной беседе, правильное утверждение звучит так:

 Если предположить, что распределение центрированных относительных приращений S&P500 и фьючерса на индекср РТС за 10 и 21 день абсолютно непрерывны, то с вероятностью 0,99 их плотности имеют хотя бы один разрыв.

Второй абзац все равно верен и в рамках этого утверждения. 

Расширенная и дополненная. Кому интересно, смотрите, качайте

 yadi.sk/d/D7oN5i68E8qCu

Все вопросы по записи выступления — это к организаторам.

С уважением 

Вот такие получились промежуточные выводы: 

— построение торговых стратегий с использованием опционов на абсолютно эффективном рынке невозможно; 
— использование опционов позволяет строить торговые стратегии для сильно- и слабо- эффективного рынка, не являющегося абсолютно эффективным, т. е. получать доход в условиях, когда стратегии на базовом активе неэффективны; 
— опционы являются исчерпывающим инструментом для стратегий из предыдущего пункта; 
— наличие паритета опционов call и put на неэффективном рынке позволяет перенести торговые стратегии с базового актива на опционы при условии аналогичной ликвидности;
— смещение  паритета опционов call и put на одну и ту же величину для всех страйков делает невозможным перенос стратегий с базового актива; 
— справедливые цены опционов однозначно определяются справедливыми ценами опционов «вне денег» вне зависимости от эффективности рынка.

Профессионалам наверное это покажется банальным.

А вот вид «улыбки волатильности» для опционов на фьючерс на индекс РТС и индекс S&P 500 в условиях абсолютной эффективности рынка за  10 и 21 день до экспирации (вид аналогичен, а абсолютные значения разные, потому значений на  оси ординат нет):

( Читать дальше )