Maximum Profit System для опционов

Через g_*(x) обозначим функцию

Е_*max(x-d,0), где Е_* –среднее по распределению P_* случайной величины d.

Предположим, что безрисковая ставка равна нулю и мы имеем опционы европейского типа с их рыночными ценами C_call(St) и С_put(St), базовый актив с ценой C₀ и отсутствие возможности арбитража. Тогда из известной теоремы о безарбитражном рынке следует, что существует такое распределение (Р_рын) относительного приращения будущей цены базового актива d_T=C_T/C₀-1, C_T  — цена на экспирацию, что Е_рынd_T=0 и для любого страйка имеют место равенства

C_call(St)=C₀·(g_рын(s)- s) и C_put(St)=C₀·g_рын(s),
где s=St/C₀-1.


Распределение P_рын еще называют «риск-нейтральным», потому что если реальное распределение d_T-M
₀d_T (P₀), M₀d_T  — среднее d_T, совпадает с P_рын, то единственной позицией в опционах и базовом активе, имеющей ненулевой средний доход, будет позиция в базовом активе, открытая по направлению знака M₀d_T. Т. е. любая «дельта-нейтральная» позиция на опционах и базовом активе будет иметь средний нулевой доход.

Это следует из двух простых равенств для среднего дохода опционов

Pr_call(St)=C₀·(M₀d_T+g₀(s-M₀d_T)-s) и Pr_put(St)=C₀·g₀(s-M₀d_T),

из которых по неравенству Коши-Буняковского-Шварца следует, что при

D²=(М₀d_T)²+ Σ_s≠0 (М₀d_T+g₀(s-M₀d_T)-g_рын(s))² + (g₀(s-M₀d_T)-g_рын(s))²>0

максимальный средний доход с точностью до множителя получается у позиции в опционах с s≠0 с «объемами» (необязательно целыми и положительными)

V_call(St)=V·(М₀d_T+ g₀(s-M₀d_T)- g_рын(s))/D и V_put(St)=V·(g₀(s-M₀d_T)-g_рын(s))/D

плюс позиция базовом активе с «объемом» V·М₀d_T/D, где V – некоторое положительное число, и равен V·C₀·D.

Знак V_*(St) и М₀d_T означает направление позиции: если он равен +1, мы покупаем такой «объем», в противном случае – продаем «объем», равный модулю этой величины.

Сделаем несколько важных замечаний.

Замечание 1. При D=0 сформировать позицию в опционах и базовом активе со средним доходом больше нуля невозможно.

Замечание 2. Используя «синтетические опционы», позицию, полностью эквивалентную данной, можно сформировать только в опционах «вне денег» и базовом активе или только в опционах put и базовом активе. 

Замечание 3. Если в качестве «риска» взять среднее некоторого «левого хвоста» распределения дохода позиции, умноженное на -1, то отношение «средний доход», деленный на «риск», не зависит от V.

Построенную позицию в опционах и базовом активе мы обозначим, как Poz(C₀,T). 

Так как позиция с максимальным средним доходом, сформированная в нулевой момент времени, может уже не являться таковой в следующий момент времени, то для максимизации будущего среднего дохода мы должны перестроить позицию с Poz(C₀,T) на Poz(C₁,T-1). Поэтому, если пренебречь издержками на перестроение позиции, получаем, что максимальным по среднему доходу является алгоритм:

Poz(C₀,T)→Poz(C₁,T-1)→…→Poz(C_T-1,1)→ экспирация.

Возьмем позицию в опционах put и базовом активе, эквивалентную Poz(C₀,T), и заметим, что при  

Σ_s≠0 (g₀(s-М₀d_T)-g_рын(s))²=0

отсутствует позиция в опционах, т. е. V_put(St)=0, для всех St, а данный алгоритм является ни чем иным, как алгоритмом с максимальным средним доходом для базового актива.  

Таким образом, опционы являются инструментом, позволяющим получать дополнительную среднюю прибыль по сравнению со стратегией на базовом активе в случае, когда

Σ_s≠0(g₀(s-М₀d_T)-g_рын(s))²>0

и не более того.

 Оригинал здесь