Я распилил гирю, но она оказалась железной. Определил предсказание будущей цены акций, в форме распределения вероятностей, на основе исторических данных.



Но, как оказалось, распределение вероятности принципиально нельзя установить с приемлемой точностью, не получается определить среднее ожидание, а о шибки в среднем, сильно отражается на опционах. Да еще мои неполные данные добавляют перекоса.



( Читать дальше )

Статистика убытков, 250 акций с 1972г. Для периодов 30, 60, 91, 182, 365, 730 дней. Ось y, каждая точка это максимальное падение акции Smin/S0 (drawdown depth) за этот период (перевернутое для удобства, так что падение акции до х0.5 показано как рост до х2, т.е. S0/Smin). Ось х текущая волатильность акции, квантиль.


Тонкая гориз линия — уровень 0.85. Цвет точки, как сильно акция продолжила падать дальше на диапазоне [period, 2*period], т.е. цвет это отношение Smin_2periods/Smin_period, чем краснее точка тем сильнее дальше продолжилось падение, если точка синяя — падения дальше не было.

В течении недели буду медитировать над разными графиками, и опубликую еще серию. Задача — понять как происходит падение акций, какие закономерности и оптимальные параметры страховки пут опционами.

Оптимальные: страйк К, период, как производить ролловер, в какой момент продавать, и в случае падения перепокупаться дальше либо закрывать позиции. Эти параметры можно определить бактестингом. Но мне хотелось бы сначала увидеть детально что происходит.

( Читать дальше )

Опцион похож на функцию распределения CDF (или SurvivalFn). CDF(х>К) показывает какая площадь куска распределения >K.  А опцион  C(K) показывает какое у этого куска среднее (центр масс) значение (если сдвинуть координаты, чтоб ноль оказался в К).

По сути функция премиума опциона, это одна из форм описания распределения вероятностей, наряду с PDF и CDF, совершенно им равнозначная. 



Это евро опцион, как нарисовать американский опцион непонятно.

Implied Volatility поверхность, это одна из форм, причем довольно странная, представления распределения вероятностей.

Все три эти вещи совершенно идентичны и равнозначны. На графике показано преобразование поверхности премиумов в риск нейтральное распределение вероятностей. А VI это что то вроде QQ plot, где вместо явного распределения показывается его отклонение от нормального (и получается отклонения от прямой линии на концах,  «улыбка»).



Есть еще четвертое представление, физическое распределение вероятностей, связанное с риск нейтральным распределением вероятности через pricing kernel.

Итого, чтобы полностью представить цену акции, нужно знать 2 функции а) риск нейтральное распределение (или его аналоги IV или премиумы) и pricing kernel либо б) физическое распределение и pricing kernel.

Проблема что чтобы увидеть pricing kernel нужно иметь не только исторические цены акции за десятки лет, но и исторические цены опционов за десятки лет (несколько кризисов чтоб попадало). Поэтому, установить pricing kernel точно не можем (фонды имеющие истор данные опционов могут).

( Читать дальше )

На удивление неплохое, таблица премиумов Интела, строчки страйки, столбцы експирации. Столбец с цифрой '60/91/182/365' рыночные цены премиумов, столбцы 'е' премиумы предсказанные моделью через реальные вероятности ожидаемой цены Интела. В процентах реальные вероятности попадания опциона в деньги.


График ниже CDF/SurvivalFn реальные вероятности для log returns интела через год.

Выделено красными овалами хорошее совпадение на периоде 365д и хуже на 60д (видимо модель недотягивает хвосты на коротких интервалах, судя по всему на коротких интервалах хвосты тяжелее чем парето, нужно будет поправить модель).

Наблюдения:

Ожидания рынка мало отличаются от простой проекции исторических вероятностей в будущее. Иногда видно отклонения от исторической модели, как например цены уранодобытчиков отличаются, рынок ожидает их рост больше чем «в среднем», иногда наоборот ожидания меньше. Но в целом такое впечатление что рынок слабо представляет что будет с ценой. Что в принципе совпадает с тем как формируются цены опционов, через обеспечение ликвидности чем через реальные ожидания.

( Читать дальше )

Для log returns 1y на примере Интела.

И генерализованное гиперболическое



( Читать дальше )

Столбец 365 текущие цены опционов Интела, столбец 'е' что случится с ценами, если предположить вероятность 10% роста х5 в течении года. Опционы увеличатся в цене десятикратно. Строчки таблицы страйки. Все цифры нормализованы если принять текущую цену акции за 1.


Уточнение — это цены не в случае реализации движения х5, а только лишь вероятности такого движения, что такое движение возможно, если же оно осуществится, цены опционов вообще улетят в космос х100.

Можно прикинуть как зарабатывают инсайдеры и сенаторы зная такие моменты о компаниях…

Далекие от текущей цены колл опционы (со страйками x1.5 и выше) очень сложно расчитать. Для этого нужно с высокой точностью знать кусок распределения [K..inf). Что очень сложно, малейшая ошибка в этом регионе, из за лог нормальности увеличивается по экспоненте.

Есть другой способ их расчета, через put call parity. И для этого нам достаточно знать нижний кусок распределения (-inf..K]. Где наоборот ошибки подавляются лог нормальностью и уменьшаются по экспоненте.

Делается расчет пута для K, и затем через формулу C(K,T) = S_0 + P(K,T) — Ke^{-rT} получаем цену кола на К.

P.S. 

Что то у меня нет интуитивного понимания, как мы можем забить на кусок распределения [K..inf) и заменить его (-inf..K]. Через put call parity мы получаем безарбитражную цену кола, но ведь она может отличаться от цены мат ожидания кола…

Интел, одна из двух компаний в мире имеющая физические мощности для производства CPU в коматозе (все остальные AMD, NVDA и т.п. это проектные бюро, не имеющие физических мощностей и заказывающие производство у TSMC).



А как его купиш опционы супер дорогие. Колл опцион на 2 года со страйком х1.5 стоит 13% от цены акции… И акцию целиком покупать тоже вариант так себе, Интел может годами сидеть в яме и деньги будут заморожены, а может и вниз пойти.

Вобщем… облом

Сравнение реальных рыночных цен опционов с независимыми ценами рассчитанными моделью на исторических данных.

КомпанияNewmont (средне волатильная цикличная ресурсная компания)


Овалами выделены премиумы для двух опционов: «кол страйк 1.25 експир 1г» и «пут страйк 1/1.25 экспир 1г» столбец '365' рыночный премиум столбец 'е' премиум расчитаный моделью, столбец 'p' — вероятность попадания опциона в деньги (все значения относительны, если принять текущую цену за 1).

В целом мне кажется неплохое совпадение, и, еще наблюдение — этим ценам соответствует распределение (implied volatility, только не в риск нейтральной а в реально мере) показанное на графике ниже — обратите внимание распределение асимметрично и с тяжелыми хвостами (это подтверждают и исторические данные и рыночные цены опционов).

График показывает CDF (красный, для негативных) SurvivalFn( синий для позитивных) в лог лог маштабе, х прибыль/убыток, y вероятность.

К сожалению… бытующее мнение что далекие ОТМ опционы (tail risk) недооценены (Н. Талеб упоминал об этом) я этого не вижу. Явно видно что в цены даже далеких опционов уже заложена ненормальность и tail risk, и рынок корректно установил на них цены.

( Читать дальше )