О грядущем замедлении темпов роста богатых и бедных стран

На днях я обсудил простую модель роста, из которой следует, что бедные страны обязательно догонят богатые, если растут быстрее. Это, вроде бы, и простая мысль, но из процитированной в посте беседы двух известных экспертов стало ясно, что и ее не лишне будет разжевать.

Комментаторы под тем постом стали возражать, мол, нельзя основываться на постоянстве темпов роста, которые, на самом деле, меняются, на что еще раз отвечу, что тот пост (как и большинство других) писался по принципу «one paper – one idea». Я не ставлю себе задачу в отдельном посте описать жизнь во всех ее красках, а лишь осветить какой-то небольшой аспект, а в том случае этим аспектом был вывод сравнительной динамики из постоянных темпов роста.

С тем же, что рост замедляется, я не только согласен, но и писал об этом подробно, обсуждая перспективы Китая.

Вопреки тому, что говорят некоторые комментаторы, быстрый рост вначале и его постепенное затухание, можно выразить одним уравнением, которое вошло в историю как логистическое уравнение Ферхюльста. Посмотрим, какие прогнозы для США и Китая выйдут, если в это уравнение подставить современные значения дохода и роста. Будет ли в этом случае Китай обгонять США?

Начну с идеи модели, потом пара сценариев и в конце технические детали.

В модели допускается, что анализируемая величина растет тем медленнее, чем она больше, неограниченно приближаясь к своему потолку. Чтобы построить сценарий на основе этой модели, помимо текущих темпов роста и дохода, требуется еще сделать предположение об уровне этого потолка. Скажем, если в США сейчас душевой доход составляет 65 с лишний тыс. долл., и он растет со временем, где тот предел, выше которого эта величина не поднимется, мы не знаем и можем только предполагать.

Согласно данным Всемирного Банка, максимальный душевой доход в 2019 г. был зафиксирован в Монако и составлял 185741 долл. Поскольку эта цифра почти втрое больше, чем в США, ее можно принять в качестве такого верхнего предела для всех экономик мира. Будущая динамика душевого дохода в США и в Китае в этом случае будет выглядеть как на заглавной картинке. Здесь Китай догоняет Америку в 2078 г. (на десять лет позднее, чем при простом экспоненциальном законе, который мы обсуждали в предыдущем посте). Дальше уже Китай показывает более высокий уровень жизни, чем в США, тогда как последние его догоняют, чтобы, наконец, догнать через триста лет, придя к сегодняшнему уровню Монако.

Какие здесь могут быть еще варианты? Если предположить более высокий потолок, Китай быстрее обгонит Америку, а доминировать по уровню жизни будет еще дольше. Если этот потолок опустить – наоборот.

Что еще можно сделать – это предположить, что сами потолки у Америки и Китая разные. Опять же, можно лишь строить догадки об их уровнях, отталкиваясь от того, что нам известно о современном мире. Напр., можно предположить, что Монако задает верхний уровень дохода не для всех, а лишь для «золотого миллиарда», тогда как, скажем, для «азиатских тигров» этот потолок задан кем-то наиболее успешным среди них. Согласно тем же данным, лидером в этой группе является Сингапур с доходом в 65233 долл. Если принять эту цифру в качестве потолка для Китая, оставив прежний верхний предел для Америки, мы получим динамику, визуализированную на картинке ниже.



Теперь уже выходит, что душевой доход в обеих странах почти до конца столетия будет расти примерно одними и теми же темпами, после чего разрыв между ними снова начнет увеличиваться, чтобы постепенно достичь разницы между современными Монако и Сингапуром. По этому сценарию, Китай не догоняет Америку, а лишь какое-то время удерживает дистанцию. Опять же, если потолок для Китая приподнять, прогноз для него становится более благоприятным, и наоборот.

Теперь технические детали. Логистическое уравнение для такой динамики выглядит как dx/dt = xk(1 — x/K), т.е. здесь тоже рост пропорционален размеру, но по мере увеличения размера рост замедляется, приближаясь к верхней границе K.

Решение этого уравнения, x(t) = Kx(0)exp(kt)/[K + x(0){exp(kt)-1}], предполагает так называемую логистическую динамику, при которой вначале рост идет по экспоненте, а после точки перегиба затухает. Тем самым, точка перегиба, где вторая производная этого решения равна нулю, отделяет области ускорения и замедления. На графике мы это видим как переход от выпуклой кривой к вогнутой, после которого кривая уже асимптотически приближается к своей верхней границе.

Что еще достойно внимания – это, что указанный переход от ускорения к замедлению возникает, когда анализируемая величина достигает половины от своей верхней границы. Эта особенность логистического закона полезна для формирования ожиданий относительно характера будущего роста. Напр., если верхнюю границу для «золотого миллиарда» задает Монако, то США еще даже не прошли половину пути и в ближайшие годы должны расти по экспоненциальному закону.

Этой особенностью можно воспользоваться и по-другому, а именно вывести верхнюю границу из ее взаимосвязи с наблюдаемым ростом, а не брать с потолка. Напр., если США до сих пор росли по экспоненциальному закону, то расти им еще долго. Если же их рост в последние десятилетия был затухающим, значит они уже недалеко от своей верхней границы, а уровня Монако они не достигнут никогда.

В заключение отмечу, что логистический закон хорошо описывает рост не только ВВП, но и любой другой величины с очевидным потолком, такой как население страны, размер счета или количество подписчиков.

Мой Телеграм-канал