Моделируем инвестиционный портфель методом Монте Карло

Когда строишь портфель, всегда интересно посмотреть, какие у него получаются показатели. Самой известной методикой, несомненно, можно считать — подход Марковица. Она прекрасна описана во многих учебниках, и по ней существует масса программ, которые позволяют легко посчитать параметры портфеля. Большинство текущих робоэдвайзеров построены именно на этом подходе. Остается только вопрос, какие активы «подпихнуть» машине, и какие ограничения выставить при оптимизации.

Основной проблемой при работе с Марковцем является нестабильность во времени показателей волатильности, ожидаемой доходности и корреляций. Всегда встает вопрос, сколько необходимо взять значений для расчетов, за какой период и т.п. Модель очень чувствительна к этим вводным, и результаты могут быть очень различны.

Если посмотреть на pic.1, где по оси Х отложена волатильность, а по оси Y — ожидаемая доходность, то каждая точка будет соответствовать одному году для индексов MCFTR, RGBITR и портфеля МСFTR/RGBITR c распределением 50/50. На нем очень хорошо виден разборс значений от года к году. Математическая статистика нас учит тому, что необходимо брать как можно больше значений, и тем самым мы получим более точные оценки ожидаемой доходности, и волатильности. Но все это может неплохо работать на очень длительных горизонтах. По-моему опыту – в лучшем случае лет 15, а так около 25. Но что, если наш горизонт короче?


Самым простым в этом случае подходом будет использование метода Монте Карло. Для его построения можно взять наблюдаемые ожидаемые доходности, например по годам, и составить из них случайный набор. Например, у нас есть следующие данные (pic.2), где мы видим ожидаемые доходности за каждый год – EXPRET.

Теперь можно случайным образом из столбца EXPRET извлечь, например, 5 значений и на базе них построить поведения нашего портфеля за пять лет. Повторяя эту операцию N раз, мы получим возможные N поведений нашего портфеля на горизонте в 5 лет. Чтобы провести вероятностные оценки, нам только останется посчитать интересующие нас перцентили. Визуально картинка моделирования будет выглядеть как показано на pic.3, где бирюзовым нанесены смоделированные кривые поведения портфеля, а разноцветными линиями перцентили.

 
Значение же прироста капитала по перцентилям будут выглядеть как показано на pic.4. Так на горизонте в 5 лет 5-й перцентиль показывает, что портфель может уменьшиться в 0.77 раза, самым вероятным может быть рост в 1.82, а если нам повезет, то и в 3.1 раза, что соответствует 95 перцентилю.

Интересно показать, как мог бы вести себя портфель, на всем историческом промежутке наблюдаемых величин. В этом случае, как бы не перемешивались значения (предполагается что одно значение дважды не встречается), то конечный прирост всегда будет одинаковым. Но вот путь к нему, может быть совершенно разным. Смотри pic.5 Синим толстым показано как портфель вел себя на истории, бирюзовым все возможные варианты, тонкими разноцветными – перцентили.

Подобное моделирование дает отличное представление о рисках портфеля и вероятностей различных исходов. Модель легко можно усложнить, если добавить к EXPRET волатильность – VOLAT и сначала получать случайную ожидаемую доходность, а потому уже ее перемешивать между собой.

Лично мне такой подход очень помогает как при работе с собственным портфелем, так и для демонстрации клиентам. Они начинают лучше понимать реальные возможности и риски.