Ещё об удобстве логарифмических (непрерывных) процентов

Я уже писал, почему логарифмические проценты очень удобно использовать при проведении различных исследований в инвестициях — Доходность. Как считать? И почему полезен непрерывный процент.

Сегодня я хочу показать еще одно очень удобное применения логарифмического процента при проведении расчетов доходности, номинированных в различных валютах.

Давайте рассмотрим такой пример. Предположим у нас есть два актива, один номинирован в рублях (актив — А), другой в долларах США (актив — В). Пусть за 28 месяцев А вырос с 20 рублей до 60, а В со 100 долларов до 170. Мы легко можем посчитать прирост каждого актива за указанный период:

• А прирос на 200% — ((60/20-1)*100)
• B прирос на 70% — ((170/100-1)*100)

Но чтобы сравнить их между собой, нам нужно посмотреть как за этот же период изменился курс. И пусть для нашей задачи курс изменился с 50 рублей за один доллар до 70. Это значит что он вырос на 40% ((70/50-1)*100).
Теперь, чтобы сравнить эти два актива между собой необходимо перевести все к единой валюте. Нам бы очень хотелось обойтись малой кровью, и чтобы сравнить А и В быстро, было бы удобно просто сложить прирост актива В и изменение курса рубля, то есть 70%+40%=110%. Но реальный прирост актива В в рублях будет другим — 138%. Мы могли бы его получить двумя способами:

• Первый — пересчитать цену на начало и конец периода в рубли, а потом вычислить процент — ((170*70)/(100*50)-1)*100=138%
• Второй — перемножить приросты и вычесть единицу ((1+0,7)*(1+0,4)-1)*100=138%.

При нынешних вычислительных мощностях эти задачи решаются очень быстро и даже при обработке огромного массива данных, мы не увидим большой разницы в скорости операций.

Но куда как более красиво и удобно решить эту задачу через логарифмические (непрерывные) проценты.

Сначала посчитаем прирост логарифмических процентов для актива А, В и курса рубля:

• А = LN(60/20)*100=109,861%
• B = LN(170/100)*100=53,063%
• USDRUB=LN(70/50)*100=33.647%

Одно из преимуществ таких процентов — это возможность складывать их между собой. Теперь, если мы хотим понять насколько вырос актив В в рублях достаточно просто сложить логпроценты полученные для В с логпроцентами USDRUB 53,063%+33,647%=86,71%. Если мы хотим получить прирост в обычных процентах, то можно сделать простое действие — возвести число Эйлера (экспоненту) в степень полученных логарифмических процентов и вычесть единицу:
(exp^0.8671-1)*100=138%

Удобство также заключается в том, что нам становится неважно делить на курс или умножать при переводе B в рубли или A в доллары. Простая логика нам подсказывает, что если рубль упал по отношению к доллару, то значит актив А в долларах прирос существенно меньше, а именно:
109,861%-33.647%=76.214%
А это значит что в простых процентах рост актива А в долларах США составил
(exp^0.76214-1)*100=114%

Даже без перехода к простым процентам, мы уже легко можем оценить какой актив оказался лучше за эти 28 месяцев, складывая или вычитая проценты активов с изменениями курса. И какой окажется больше, тот и был в этом периоде более доходным. В примере актив А оказался более доходным, чем B при пересчете в одну валюту.

Но на этом плюсы использования логарифмических процентов не закончились. 28 месяцев, это 2,333 года. И если бы мы хотели посмотреть на прирост в сложных процентах, которые так удобно использовать для сравнения различных показателей. То нам пришлось бы использовать неудобные вычисления для каждого актива в процентах годовых. Например для актива B в рублях он выглядел следующим образом:
(((1+0,7)*(1+0,4))^(12/28)-1)*100=45.01% годовых
При этом мы все равно не смогли бы складывать и вычитать между собой проценты для активов и изменения курса, в том числе пересчитанные в годовые. А вот с логарифмическими таких проблем нет.
Мы сразу могли бы пересчитать все логарифмические проценты в непрерывные годовые:

• А = LN(60/20)*100*12/28=47.083%
• B = LN(170/100)*100*12/28=22.741%
• USDRUB=LN(70/50)*100*12/28=14.42%

Теперь преобразование в сложные проценты, зная непрерывные, становится элементарным действием. Например, мы хотим посмотреть, какой сложный процент в рублях соответствует сложному для актива В:
(exp^(0.22741+0.1442)-1)*100=45.01%

Оперирование непрерывноначисляемыми процентами очень удобны, хотя поначалу непривычны. Но как только вы освоитесь с ними, переход к простым и сложным, станет мовитоном. Но не смотря на это, мне в моих постах очень часто приходится считать проценты классические, так как большинство людей понимают их лучше из-за частого использования в обиходе.

Несложно догадаться, что использование непрерынвного процента также удобно не только для пересчета курсовых разниц. Таким же образом легко перейти от номинальных процентов к реальным, учитывая инфляцию, например посчитать прирост реального ВВП. Использование логарифмов очень полезно и удобно. Другие полезные свойства можно прочесть в статье, которую я уже упомянул вначале — Доходность. Как считать? И почему полезен непрерывный процент.

Удачных инвестиций и достижений в исследованиях на инвестиционном поприще.