Расчет цены амер опциона LSMC #опционы

Мысли вслух, наблюдения по амер опционам которыми я занимался последнее время...

Дана SV модель, например SVJ, с параметрами Q(дрифт, волатильность, начальное состояние и т.п.)

Расчитать премиум американског опциона Premium(T, K), сложность в том что амер опцион можно исполнить в любой момент t = 0..T, и нужно найти оптимальное ожидаемое время t которое даст максимум прибыли.

Цена американского опцина это задача оптимальной остановки, нужно найти границу оптимальной остановки, линию B(t) для всех t < Т, которая даст максимум премиума. Ниже этой границы выгоднее оставить опцион на будущее, ниже выгоднее исполнить немедленно. В случае учета состояния (латентной волатильности в момент t), в линию добавляется еще одна переменная и вместно линии нужно найти поверхность B(t, s — латентная волатильность).

Т.е. задача расчета цены амер опциона сводится к задаче оптимизации (поиска границы оптимальной остановки), поиска линии B(t) которая даст максимум премиума.

Метод LSMC очень грубо решает эту задачу, расчитывая отдельно каждую точку этой линии на дискретной решетке времени t = 0. .T. При этом каждая точка линии расчитывается независимо, без учета что линия должна быть плавной, и получается очень шумно и очень примерно. Поэтому метод LSMC требует огромный размер сэмпла цен >100к, потому что эти 100к исполюзуются очень неэффективно, что еще ухудшается тем что данные неравномерные и ненормальные и оценка этой линии получается шумной и приближенной. Если же еще учитывать дополнительный параметр состояния B(t, k, s — латентная волатильность) то сэмпл еще быстрее дегенерирует и шумы еще больше. Увеличить размер сэмпла >100к нереально, люди вроде как используют до 1м, но это судя по всему чисто теория. Проблема в том что хотя 1м цен для 1 раза посчитается за неск минут, но вот обратная задача фиттинга IV поверхности, требует как минимум неск десятков таких расчетов, в идеале нескольких сотен, и это уже будут часы.

В идеале, чтобы эффективно использовать сэмпл, задачу поиска границы B нужно решать совместным фиттингом для всех страйков и времен t = 0..T, тогда вместо отдельных точек, будут учитываться соседние точки, и поверхность B(t, k) получится гладкой и точной. Но а) это медленно б) требует подходящей формулы для B(t, k), которую нужно тратить время, смотреть что подходит что нет, в) Такая сложная поверхность наверняка даст оверфиттинг, и нужно очень долго и сложно разбираться что там получается, как настроить гиперпараметры и т.п. Т.е. это тоже на практике слишком медленно и сложно.

Итого

Что работает на практике.

а) упростить, отказаться от учета скрытого состояния s — латентной волатильности, ищем только B(t) вместо B(t, s). Xорошая новость — сотояние на премиум влияет слабо.

б) упростить, отказаться от точной оценки границы B(t) и оценить ее очень грубо самыми простыми и быстрыми способами, принять что будут большие шумы и неточности. Хорошая новость — если граница плохо определена, она слабо влияет на премиум, и поэтому несмотря на шумы и неточность в итоге ошибка премиума получается не большая.

в) хорошая новость, ошибка расчета цены амер опциона на финальную цену влияет слабо, тоесть, ошибка допустима, и даже большая ошибка допустима. Это было неожиданно. В реальной физической мере разница между американским и европейским опционом может быть значительной, и ошибка расчета имеет значение. Амерканский премиум очень сильно зависит от дрифта — ожидаемой прибыли акции E[StockPrice_T], чем выше он тем больше разница между американским и европейским опционом, и тем значительней ошибка расчета. Для физической меры E[StockPrice_T] может достигать 20% для высоко волатильных акций как Интел, и влияние ошибки может быть значительным. Но, для безарбитражной, риск нейтральной меры ситуация другая, у нее E[StockPrice_T] фиксирован и он низкий, порядка 5% годовых. В итоге, из за малого дрифта, разница между премиумом американского и европейского опциона, в риск нейтральной мере, получается небольшая. И, ошибка расчета американского опциона — даже если сама ошибка большая, ее итоговый вклад оказывается незначительным, из за мизерной разницы в премиуме американского и европейского опрционов.

Наблюдение: это сильное отличие цены амер опциона от евро опциона в физической и риск нейтральной мере было неожиданным, я этого не знал, нужно будет обдумать...

Вывод — забить на точность, и использовать любой метод дающий боль менее реалистичную оценку для американских опционов. В том числе вообще отказавшись от симуляций и используя некие эмпирические формулы которые как то там меняют цену евро опциона чтоб сделать ее чуть ближе к американскому (я их не использовал, но судя по всему должно боль менее работать).

Калибровка IV:

Для евро опциона это задача поиска параметров Q для SV модели.

Для амер опциона задча поиска параметров Q плюс параметров поверхностей (они разные для разных экспираций) B(t, k, T) дающих максимум цены.