Блог им. bstone

Мю против дельта хеджа

    • 02 февраля 2019, 12:03
    • |
    • bstone
  • Еще
Небольшой батл между любимчиками недавних дискуссий. Как оказалось, это может привести к расшатыванию труб и обрушению карточных домиков из опционных иллюзий. Но тем интереснее.

Итак, пусть V(S,t) — стоимость опциона для заданных параметров (страйк, вола, срок, т.п.). S — цена БА, подчиняется логнормальному процессу:

Мю против дельта хеджа

Если у нас есть позиция с купленным опционом и проданным БА, то функция стоимости нашего портфеля будет такая:

Мю против дельта хеджа

Где «дельта» равна величине нашей шортовой позиции в БА.

Как изменяется стоимость нашего портфеля с течением времени, т.е. между t и t + dt? Вот так:

Мю против дельта хеджа

C dS понятно, см. первую формулу выше. Что насчет dV? Вот тут нам как раз и нужна лемма Ито. Ее фундаментальная заслуга как раз в том, что она позволяет вычислить изменение функции от стохастической переменной S:

Мю против дельта хеджа

Никакого отношения к каким-то дрифтам вида -0.5*sigma^2 она не имеет. Это легко понять, если почитать саму лемму.

Теперь мы можем переписать формулу для изменения стоимости портфеля:

Мю против дельта хеджа

И где тут наше Мю? Да ясно где — оно в dS, см. первую формулу. Т.е. совершенно очевидно, что накапливаемые нашим портфелем прибыль или убытки напрямую зависят от Мю (оно же дрифт) в БА. Это и так интуитивно понятно. Однако, если мы отделим мух от котлет и сгруппируем изменения стоимости портфеля, которые зависят от изменений цены БА, то получим:

Мю против дельта хеджа

И тут все неявное сразу становится явным. Мол, батюшки, да если мы на каждом шаге будем шортить БА на величину, равную дельте опциона

Мю против дельта хеджа

т.е. делать наш любимый дельта хедж, то мы полностью убьем зависимость нашего портфеля от dS:

Мю против дельта хеджа

А вместе с этим мы убьем и любое Мю, которое влияет на dS.

Батл окончен и вывод очевиден. В случае с логнормальным процессом ДЕЛЬТА ХЕДЖ ПОБЕЖДАЕТ ЛЮБОЕ МЮ! 

Все. Можно расходиться. Но результат лучше понять и запомнить :)

★24 | ₽ 1
170 комментариев
А что делать с перерывами торгов на ночь?
avatar
SergeyJu, использовать для отдыха :)
avatar
bstone, отдыха от леммы Ито? 
Вопрос, кстати, серьезный. Ни производные считать, ни дельтахеджировать ночью не получается. Дыра у Вас в рассуждениях зияющая. Может, Вам Новиков поможет? 
avatar
SergeyJu, а что, Дмитрий говорит, что ночью тьма кромешная и ничего не считается? Я такого никогда в его постах не видел. Может не будем фантазировать? :)
avatar
bstone, когда ничего не торгуется, как Вы делаете дельта-хедж? А с открытия планка — и привет семье? 
avatar
SergeyJu, перед закрытием дельта в ноль. Все просто. Планку можно встретить и с лонг гаммой же. Тут уж каждый для себя решает, с какой стороны гаммы ему больше нравится на планки смотреть.
avatar
bstone, я не про образ действий, а про то, что Ваша теория неадекватна практике.
avatar
SergeyJu, результаты практики сильно зависят от рук конкретного практикующего — тут ничего не попишешь. А вот красота теории в том, что она одинаковая для всех.
avatar
bstone, мне не нравится непрерывная теория применительно к существенно прерывистым процессам. И мне не нравится использование, прямо или косвенно,  свойств стационарности там, где я привык видеть нестационарность. 
Не кажется ли Вам, что это напоминает сферического коня в вакууме? 

avatar
SergeyJu, а кому нравится? Но это неплохо работает, и лучше еще ничего не придумали.
avatar
Настоящий больной опционщик придумает свой вью на мю, и свою улыбку и расчет цен.
avatar
юрий савин, да мы всех вылечим :)
avatar

1. Ваше рассуждение существенным образом зависит вида модели для процесса. Если процесс не лог-нормальный (а реальный рынок очевидно не лог-нормальный) — то эти рассуждения разваливаются и мю вполне может выжить.

 

2. Я не хочу делать ДХ. Зачем? Я занял статическую позицию в опционе. Очевидно, ее результат будет зависеть от мю.

 

Мне бы не хотелось произносить громкие слова "битва еще только начинается". Мне бы хотелось понять ключевой вопрос про формулу

CallPx = E[ PayoffAtExpiry ]

Насколько широка область применения ВОТ ЭТОЙ формулы???

avatar
ch5oh, да, очень интересный вопрос. Жаль, Kurbakovsky куда-то пропал. Неожиданно возник здесь, посеял семена сомнений на тему МО и также внезапно исчез. Вот и мучайся теперь…
avatar
Кирилл Браулов, Курбаковский уже без пяти минут Нобелевский лауреат, т.к. по его же словам, ему ничего не стоит посчитать стоимость опциона вообще без всякой там волатильности, всего лишь слегка ослабив (!) требования к процессу в модели БШ. Стоит ли удивляться его исчезновению с СЛ? )))
avatar
ch5oh, 

1. Именно поэтому я постоянно повторял «для логнормального», «в случае с логнормальным» и т.п.

2. Будет зависеть от мю, но в реальных условиях гораздо больше от сигмы, поэтому статические позиции будут арбитражиться как халявный профит и их рыночная стоимость никак от мю зависеть не будет.

Область применения вашей любимой формулы просто ничтожна — это риск-нейтральное броуновское движение.
avatar

bstone, вот давайте на п3 остановимся.

Вы сейчас легким движением руки отметаете фундамент очень много чего.


То есть Вы утверждаете, что "оценивать равновесную цену позиции как матожидание ее выплат — это в принципе неправильно". Я Вас правильно понял?

 

А почему? Это тот случай когда я даже Вам не могу поверить на слово и нужны какие-то убедительные аргументы.


Когда мы рассматриваем лотереи разных видов, то стоимость участия в них всегда оцениваем через МО выплат и это не вызывает никаких проблем или сомнений. К тому же эта формула полностью свободна от предположений о виде процесса. (Кроме требования вычислимости матожидания, но это достаточно слабое ограничение, имхо.)

 

avatar
ch5oh, это правильно, но только при очень строгих ограничениях, которые я отметил.

Я сейчас везу ребенка на занятия и выпаду из дискуссии, поэтому для затравки отвечу вам вопросом на вопрос. А почему вы считаете, что это формула правильная? Кроме лотерей, есть что-нибудь позабористей?
avatar

bstone, вы никак не аргументировали Ваши ограничения. И я с ними не согласен.

 

Почему правильно считать МО — для этого я делал даже отдельный топик с огромной дискуссией под ним. "Почему мы вычисляем именно матожидание?":
https://smart-lab.ru/blog/505349.php

После долгих переговоров мы все сошлись на том, что вычисление МО — это правильно и это дает именно равновесную цену при которой ни покупатели ни продавцы не имеют априорного преимущества.

avatar
ch5oh, чуть позже аргументирую. Сейчас только отмечу, что в той дискуссии я не участвовал, а когда добрался до нее, то написал там ровно то же, что и сейчас.
avatar

bstone, https://smart-lab.ru/blog/505349.php#comment9201969

 

Хорошо. Уравнение Колмогорова — это круто, конечно.

 

Тем не менее, я Ваш комментарий интерпретирую просто как еще один способ получить  формулу БШ.

 

Возвращаясь к формуле OptPx = E[ Payoff ]

Она применяется в рассуждениях про лотереи (а занятие статической позиции в опционе — это частный случай лотереи). Также матожидание играет ключевую роль в трейдинге в целом.


Доводы участников той дискуссии можно резюмировать так:
если опцион стоит дешевле своего истинного МО выплат — его будут покупать. Если опцион стоит дороже истинного МО выплат — его будут продавать. Как найти истинное распределение вероятности на момент экспирации — вопрос отдельный.

 

Таким образом именно цена OptPx = E[ Payoff ] приводит рынок в равновесное положение при котором ни у кого нет особого желания совершать какие-то направленные покупки. То есть это та самая цена, которая полностью устраивает маркет-мейкера: он выполняет свои обязательства, но при этом не получает направленную позицию. Плюс кладет в карман бид-аск спред но случайных сделках публики в противоположные стороны.

 

Таким образом, я рассматриваю эту формулу как фундаментальную и свободную от каких-либо ограничений.

avatar
ch5oh, окей, тогда окончательно рушим ваш фундаментал. Ответ с моб. девайса, не обессудьте. Возьмем процесс dS = mu*S*dt, и пусть mu=1, а начальная цена будет 100 руб. Будем рассматривать годовой (T=1) опцион call со страйком 150. Посчитаем его цену по вашей лишенной предрассудков формуле, под которой еще и весь СЛ подписался, как вы говорите. Очевидно, что E[ CallPay ] = 50. Ну а так как вы хотите еще и заработать, то вы встаете в стакане на покупку по 49, и вам моментально наливают. А вы, видя такой ажиотаж, встаете еще раз, но уже по 48. И снова сразу наливают. «Вот дебилы @#%!» © думаете вы и встаете сразу на 40. И опять наливают в момент. И так повторяется вплоть до бидов на 1. А вот по 0 уже не исполняют, к чему бы? Тут вы, скорее всего, уже начинаете что-то подозревать :) А теперь посмотрим, что происходит на другой стороне. Кто-то видит ваш бид по 1 руб., продает вам 1 кол и тут же покупает 1 контракт БА. На экспирации он отдает вам этот контракт, а себе в карман кладет безрисковый профит, равный 1 руб. Если вам еще не очевидно, что справедливая стоимость этого опциона это 0, а вовсе не 50… ну тогда я не знаю :)
avatar
bstone, 
Возьмем процесс dS = mu*S*dt

т.е. сигма у процесса нулевая? Так это на экспу получится распределение с нулевой дисперсией. Стало быть и стоимость опциона (на любом страйке) будет нулевой. Это если МО считать через интеграл. Как получилось, что E[ CallPay ] = 50?
avatar
Кирилл Браулов, ну и посчитайте через интеграл, если на глаз не очевидно :) У вас другое МО получается?
avatar
bstone, да, действительно, МО не ноль, затупил. Но при таких вводных получается, что справедливая цена фьюча 150р, а не 100р. Контрагент заработал именно на несправедливости цены БА (покупал за 100, то что должно было стоить 150).

Т.е. в этом примере имеем нерискнейтральное распределение: его МО не равно текущей цене БА. Следовательно, считать справедливые цены опционов по нему нельзя. Формула OptPx = E[ Payoff ] пока не опровергнута :)
avatar
Кирилл Браулов, вот именно это я и пытался объяснить коллеге ch5oh. Эта формула работает только для риск-нейтрального броуновского процесса.
avatar
bstone, с риск-нейтральностью понятно, а почему только для броуновского?
avatar
Кирилл Браулов, на этот вопрос, насколько я понял, отвечает теория мартингалов, а я в ней не силен. Скорее всего, все упирается в мартингальность броуновского процесса. Но в целом-то, формула не работает в общем случае, как ни крути.
avatar
bstone, да почему не работает-то??? Вы пишите правильную плотность вероятности на экспиру — тогда и ответы будут адекватные.
avatar
bstone, эта формула работает для любого процесса. Ей чихать на мутную магию «риск-нейтральности».
avatar
ch5oh, и все-таки я настаиваю, что C(K) = MAX(0, S — K), а значит вам придется смириться с несостоятельностью формулы в общем случае :)
avatar
bstone, напишите явный вид S(t)
avatar
Кирилл Браулов, не совсем, контрагент заработал на ДХ. Так же как он это сделал бы и при справедливой цене БА.
avatar
bstone, какой же тут ДХ, если вола нулевая? Да и поза у контрагента направленная: шорт колл 150 + лонг фьюч = шорт пут 150.

Вообще, приведенный процесс — не случайный. Сигма ноль, волатильность нулевая. Траектория цены — абсолютно линейная функция. Никакой случайности нет. По справедливости, в этом примере фьюч сразу должен стоить 150р. Распределение вероятностей на экспу — все 100% над ценой 150р. Дисперсия этого распределения = 0. Следовательно, временная стоимость всех опционов = 0р. И колл 150 страйка стоит 0 (и временная и внутренняя стоимость у него 0).

Т.е. контрагент дважды наварился: продал за 49 то, что стоит 0, еще и фьюч купил за 100, при справедливой цене в 150р. Ну просто жучило! :)
avatar

Кирилл Браулов, блин! =) откуда Вы 150-то берете??? Субботнее умопомрачение?


Напишите пожалуйста в явном виде функцию S(t) для цены БА как функцию времени. А то я никак понять не могу о чем Вы с bstone рассуждаете.
avatar
ch5oh, вах, и правда! В явном виде S(t) не могу, поэтому написал программку. Действительно на экспу БА получился 271.83, а не 150. 

Но в остальном то вроде не ошибся: вола ноль, времянка ноль, стоимость любого опциона = только внутренней стоимости. Т.е. колл на 150 страйке должен стоить 271.83-150=121.83. А фьюч должен сразу взлететь со 100 до 271.83 и там оставаться весь год. Правильно?
avatar
Кирилл Браулов, все верно, не стоило мне писать «на коленке». Но суть не меняется. Просто вместо 50 в исходном примере будет 122.
avatar
bstone, 
справедливая стоимость этого опциона это 0, а вовсе не 50 122

Это если бы фьюч стоил 100. Но справедливая стоимость фьюча (для заданного процесса) должна быть сразу 272 (сами же согласились). А при такой цене фьюча колл150 никак не может стоить 0. 

Получается:
1. покупатель купил за 121р колл150. На экспирации исполнил его, получил лонг фьюча по 150, продал за 272, 122 разницы — 121 уплаченной премии. Итого: +1р прибыли.
2. продавец продал за 121р колл150 и сразу купил фьюч за 272 (а не за 100). На экспирации получил исполнение, продал покупателю купленный заранее фьюч за 150, -122 разницы + 121 премии. Итого: -1р убытка

Так что, суть поменялась: теперь ch5oh в прибыли, а контрагент в убытках :)
avatar
Кирилл Браулов, речь шла про спот, а не фьючерс, и спот стоил на момент покупки кола 100 руб. 
avatar
bstone, если 100% точно известно, что спот на экспу будет стоить 272, неужели фьюч будет стоить 100?

А опцион на что: на спот или на фьюч?
avatar
Кирилл Браулов, пример — облигация. Вы точно знаете, что на экспу она будет стоить 1000. Но прямо сейчас покупаете ее по 990 или даже по 980.
avatar
ch5oh, фьюч и облигация — это ведь разные инструменты. К тому же, с облигациями, насколько понимаю, 100% точного знания цены на экспу нет, какая-то ненулевая вероятность дефолта все-таки присутствует. В нашем же примере есть 100% точное знание цены экспирации.
avatar

Кирилл Браулов, инструмент с детерминированным поведением Вас не смущает, а дефолт по облиге смущает.

 

Пример крайне искуственный и к сожалению пока что он скорее уводит нас от ответа на основной вопрос.

avatar
ch5oh, почему уводит? bstone привел пример, который по его мнению доказывает, что справедливая цена опциона через МО выплат — неправильная. Мы доказываем, что правильная. Если отобьемся — значит будет еще больше уверенности в формуле: OptPx = E[ Payoff ]
avatar

Кирилл Браулов, он никак не аргументирует неправильность МО. А просто предлагает другой способ рассуждений (через ДХ), который по его мнению то ли дает другую цену то ли приводит к противоречиям.

 

Я может быть туплю «после вчерашнего», но пока что не вижу ни противоречий (только арифметические ошибки) ни серьезной атаки на метод МО.

 

Дело в том, что если метод блека-шолза (через ДХ) требует наличие риск-нейтральной вероятности (там это нигде не написано явно насколько помню, но допустим) и теперь bstone  дает пример в явно не риск-нейтральных условиях и получает какие-то противоречия — это просто будет иллюстрацией того, что метод ДХ используют за пределами его области применения.

avatar
ch5oh, риск-нейтральности требует метод «МО выплат», а не БШ. Т.е. БШ более широко применим.
avatar

bstone, здрасьте. =) Я взял распределение на дату экспирации и посчитал МО. Все. Никаких требований РН нет даже близко. Также как требований  безарбитражности, кстати. Нет никаких ограничений на вид СП. Красота.

avatar
ch5oh, ну посчитать-то не проблема. Только результат не правильный. 
avatar

bstone, а чего он «неправильный»? Колл стоит ровно столько, сколько он принесет в момент экспирации.

 

Может, у Вас ДХ разваливается потому что в предложенной модели нарушается требование безарбитражности? Что бы оно не означало на самом деле.

avatar
ch5oh, ну в примере возникает возможность арбитража, которая делает справедливую цену равной нулю, что соответствует цене, рассчитанной по БШ.
avatar

bstone, какую цепочку действий Вы предлагаете, чтобы получить "арбитраж с использованием ДХ"? Напишите, пожалуйста, еще раз компактно. А то мы начали вообще с неправильных чисел, потом на 100 комментах размазали уточнения. Ну и формулу для дельты заодно.

 

Имхо, если мы договорились, что

(1) S(t) = 100*exp(t)

и, следовательно,
(2) CallPx(t) = MAX(0, So*exp(1)-K)

тогда

(3) дельта кола становится ступенчатой функцией и равна 0 для всех колов страйка меньше So*exp(1).

 

Вроде бы, все расписал подробней некуда. Ищем точку несогласия.

avatar
ch5oh, арбитраж там возникает не из-за ДХ, как уже справедливо заметили другие участники обсуждения, и я согласен. Но… пусть не из-а ДХ, но он все-таки возникает. Арбитраж через ДХ легко увидеть для непредельного случая (см. мой коммент про мю=0.3 и сигма=0.2)
avatar
ch5oh, 
через ДХ

По хорошему, тут надо проводить следственный эксперимент. Завести два независимых портфеля: в первом реально купить опцион, во втором виртуально его продать и включить реальный ДХ. И потом сравнить их эквити. Насколько понимаю: БШ, Кирилл Ильинский (его фраза: «стоимость опциона — стоимость его хеджа»), bstone, Дмитрий Новиков (и вообще все кто считает, что опцион можно симулировать голым фьючом) утверждают, что эти эквити будут полностью одинаковыми. А мне кажется, если захватить достаточно большой период времени (чтобы там и гэпы были, и наоборот периоды застоя с временным распадом), то эквити будут достаточно сильно отличаться. Корреляция будет, но не 100%. И финальный PnL может довольно сильно будет отличаться. А если бы не отличался, вот тогда бы можно было утверждать, что метод «через ДХ» имеет право быть. Вот бы кто такой эксперимент замутил…
avatar
Кирилл Браулов, их отличие будет на уровне того насколько сильно Вы испортите гепами непрерывной лог-нормальный процесс.
avatar
ch5oh, думаю, что не только гэпами. Посмотрите распределение приращений на реальном рынке, там отличие не только в хвостах, но и в серединке. В реале гораздо больше маленьких приращений, чем должно быть у нормального. Поэтому, мне кажется, временной распад реального купленного опциона и убыток от ДХ виртуально проданного могут давать разные величины... 
avatar

Кирилл Браулов, с какого перепуга он должен «сразу» скакнуть на 272???

Динамика цены определена моделью процесса.

 

Это вообще не акция, а что-то типа преддефолтной бескупонной облигации: мы ее покупаем за копейки (за 100) и далее она растет по экспоненте к дате погашения. Или специальный ETF (типа FXMM) с детерминированным законом поведения.

avatar
bstone, 122 колл тоже стоит 0 (точнее, 0.17, но пренебрежем этим).
avatar
ch5oh, причем здесь 122-й кол? 122 — это стоимость 150-го кола на момент экспирации БА по цене 272.
avatar

bstone, туше.

 

C(K) = MAX(0, 272-K)

В общем, мы обсуждаем странную предельную модель, которую можно считать, но в которой все числа выглядят очень странно.

 

К сожалению, это только отодвигает нас от ответа на основной вопрос.

avatar
ch5oh, модель нормальная, для наглядности. Вы получите концептуально такой же результат для стандартной модели, если возьмете там mu=0.2 или что угодно, отличное от безрисковой ставки. МО выплат в этих случаях будет давать вам «левые» цены опционов.
avatar

bstone, разумные цены будет давать.

 

Собственно, еще раз повторюсь: если Ваши рассуждения через ДХ начинают разваливаться в этих условиях (что пока что тоже не продемонстрировано), это говорит только о том, что Вы применяете их за пределами их области действия.

 

avatar
ch5oh, мой пример наглядно показывает, что МО выплат дает не верную цену опциона (122), а БШ — верную (0).
avatar

bstone, Вы еще даже дельту не посчитали, а уже делаете выводы.

 

Удобно занимать направленную выигрышную позицию в БА, если про него все известно. Купите 10 фьючерсов, чего мелочиться? И скажите потом, что это выгоднее, чем покупать колл за 122.

avatar
ch5oh, уже посчитал дельту, все нормуль.
avatar
bstone, да шож такое. Как может опцион стоить 0, если на экспу он будет верняк 122?

Еще раз пример. Пусть на рынке только двое участников: A (который считает что справедливая цена колл150=122) и B (считает, что колл150=0). А выставляет бид колл150 на 121р. B радостно ему продает.
На экспирации А исполняет свой опцион, получает лонг фьюча по 150, продает его за 272, 122 разницы — 121 уплаченной премии. Итого: +1р прибыли. B очевидно получает убыток -1р (других участников в рынке нет, а комис не учитываем). Значит 122 была справедливой ценой, а 0 — нет. 

Или в примере я где-то ошибся?
avatar
Кирилл Браулов, ошиблись — в моем примере продавец хеджировался покупкой БА. Он продал опцион за 121 руб. и сразу купил БА за 100 руб. На экспирации он отдал БА покупателю опциона и остался с 21 руб. безрисковой прибыли. Правда теперь у меня получается справедливая цена опциона 100 руб., а не 0 :/
avatar
bstone, во-первых, не +21р прибыли, а +171р. На экспирации он же обязан продать БА по 150р (страйк опциона). Получается купил за 100р, продал за 150р, и премия за опцион 121. Итого: 50+121=171р.

Во вторых, тут надо привлекать третьего участника: C. Который делает сказочный подарок B и продает ему фьюч за 100р, хотя оба знают, что на экспу БА будет 100% стоить 272р. Т.е. в таком примере, участник B остается в прибыли только за счет лоха С, а не за счет «неправильно» посчитавшего справедливую стоимость опциона участника A. Если бы C продал по правильной цене фьюч (по 272), то у B опять же был бы убыток -1р, как и в моем примере.

Все-таки скажите, в моем то примере (когда только два участника) — есть ошибка или нет? Из него ведь четко следует, что 122 правильная цена опциона, а 0 — нет.
avatar
Кирилл Браулов,  согласен, +171 руб. и ни копейкой меньше. Вот почему у меня не получилась нулевая справедливая стоимость. Теперь снова все в порядке :)

Насчет лоха С — это жизненно. Стас Бржозовский любит об этом сигналить, когда и продавец, и покупатель опциона заработали, а С потерял.

Если ваш пример о том, что базовый актив вообще не торгуется, то он правильный, но опционов без БА не бывает.
avatar
bstone, не, такого утверждения не делал. Пусть фьюч тоже торгуется. Только для простоты примера предложил, что у нас есть только два участника, и они совершили одну сделку с опционом. 

Если согласны, что в моем примере ошибок нет, то соглашайтесь уж и что справедливая цена колл150=122! А то топик кипит уже от перегрева и наши с ch5oh комменты скоро в ленту не будут влезать :)
avatar
Кирилл Браулов, не соглашусь, потому что если есть арбитражная возможность, ее надо учитывать. А то получается, что фьюч рублебакса может стоить 1р. при споте 66р. — просто потому, что мы можем себе представить, что на рынке только два участника и они стоят как бараны в стакане по этим ценам :)
avatar
bstone, арбитражность зарыта в условиях задачи. Не надо быть гением трейдинга, чтобы купить фьюч за 100 и через год получить 272. При условии, что безрисковая ставка равна 0.
avatar
ch5oh, тааак, придется-таки жахнуть нахер артиллерией по всему лесному массиву, потому что в трех соснах практически все уже заблудились.

Окей, новая вводная: 

dS = mu*S*dt + sigma*S*dX

mu = 0.5
sigma = 0.2
K = 150
S0 = 100
T = 1

Арбитражность зарыта в этих условиях? 

Монте-карлим процесс с шагом 1/365 и считаем две вещи: реализованный Payoff и PnL продавца, который делал ДХ по 20% воле. Тысяча симулляций.

Распределение БА (здесь и далее частоты):


Распределение Payoff:


E[ S ] = 171.10 руб.
E[ Payoff ] = 22.04 руб.

Покупатель ставил бид на 21 руб. Распределение PnL продавца, продававшего опцион по 21 руб.:


E[ PnL ] = 20.93 руб.

Итого, покупатель кола зарабатывал в среднем 1.04 руб, продавец — 20.93 руб.

Живите теперь с этим :)
avatar

bstone, так ведь разобрались еще на Вашем примере предельном (кстати, в итоге он оказался вполне полезен):

продавец кола когда делал дельта-хедж на самом деле просто занял направленную позицию во фьючерсе и насладился положительным мю.

 

А покупатель кола — он был лишен этого удовольствия. Зато положил в карман гарантированный 1 рубль. Что в условиях неопреденности на величину мю на реальном рынке само по себе приятно.

 

smart-lab.ru/blog/519978.php#comment9392911

avatar

bstone, Вы бы нас еще паритетом попугали: можно заметить, что в оригинальном примере пут страйка 150 стоит 0. То есть   c-p=122


Живите теперь с этим :)

avatar

Кирилл Браулов, обратите внимание: +171 рубль — это ровно прибыль покупателя фьючерса (с поправкой на 1 рубль за глупость). То есть вся прибыль "продавца опционов, который делает ДХ" — это прибыль фьючерса, который вырос со 100 до 272.

 

И это логично. Потому что колл страйка 150 никак не меняется в цене в процессе этого упражнения. А не меняется просто потому, что финальная цена куда прилетит фьюч одна и та же на протяжении всей траектории.

 

Таким образом, мы получаем следующую историю:
А. 150-й колл стоит 122 рубля — потому что ровно на 122 рубля БА будет выше страйка на экспирацию. Это «истинная цена кола». Речь не идет о том, что покупатель опциона что-то заработает. Потому что этот колл вообще не меняется в цене.


Б. Фьючерс на самом деле стоит 272 (недооценен на 172 рубля). Покупатель фьючерса по 100 — молодец и герой.

 

В. Продавец фьючерса — "большой терпила номер 1" и оплачивает банкет покупателя фьючерса.

 

Д. Как бы очень умный продавец опциона продает его по 121 и на самом деле сразу дарит 1 рубль покупателю опциона. Далее, этот гений ДХ «хеджируется БА» (в количестве 1 штука по 100) и наивно радуется итоговой прибыли в размере 171 рубль. То есть фактически он является "маленьким терпилой номер 2" и оплачивает семечки покупателю колов (который купил их по 121 вместо истинной цены 122).

 

Кажется, благодаря коллеге Кирилл Браулов, который предложил подробно расписать роли и финрезы участников рынка, мы поставили все на свое место.

 

При этом метод МО позволяет разобраться в ситуации и вычислить все цены без необходимости привлечения зубодробительных дифуров в частных производных.

 

Да здравствует МО! Да здравствует Оккам!

 

ПС Заодно можно заметить, что пут страйка 150 стоит 0.

Паритет пусть каждый сам посчитает, ужаснется и живет с этим.

avatar

Кирилл Браулов, БА будет «взлетать» постепенно в соответствии со своей динамикой
S(t) = 100*exp(t)


ПС В данном случае t — это не время до экспирации, а прямое календарное время, отсчитанное от текущего момента.

avatar
ch5oh, так и что — прав bstone и колл150 за год до экспы будет стоить 0 при БА=100 и 100% точно известной цене экспирации (272)? Блин, где бы затарится такими опционами :)
avatar
Кирилл Браулов, этот колл будет стоить 272-150=122
avatar
ch5oh, нее-е-т, он будет стоить 0 :)
avatar
bstone, вроде, формула написана в общем виде. Что теперь не так?
avatar
ch5oh, то что формула дает неправильную стоимость опциона.
avatar

bstone, без аргументов у нас разговор как у детей в детском саду: "у меня мама лучше — нет у меня папа лучше". Извините, но не ожидал от Вас скатывания на дошкольный уровень.

 

Цена данного 150-го опциона очевидно 122. И это полностью разумно и соответствует тем деньгам, которые с него можно будет получить в момент экспирации.

avatar
ch5oh, какие вам еще аргументы нужны? Я вам уже несколькими разными способами (ур-я Колмогорова, БШ и арбитраж) все показал. Но вы упрямитесь до сих пор. До дошкольного уровня я был вынужден опуститься в последней попытке донести до вас истинное положение вещей.
avatar

bstone, так. Стоп-машина. Полагаю, надо просто остановить диалог.


Теперь будет мой черед написать пост и показать красоту и силу подхода через МО.

 

До связи! Хорошего воскресенья. =)

avatar

Кирилл Браулов, Вы неправильно цену данного кола посчитали. Распределение — конечно не риск-нейтральное. Ну и что? Ну, сложились такие условия в силу каких-то причин. На рынке стоит кем-то забытый офер 100 при том, что всем очевидно, что БА уже должен стоить 110-150.

 

Таких оферов на каждом гепе по 100 штук сносят.

avatar
Кирилл Браулов, можете отмонтекарлить еще для надежности.
avatar

bstone, процесс детерминированный. Что там еще монтекарлить?

S(t) = 100*exp(t)

avatar

Кирилл Браулов, она очевидно ненулевая. Процесс детерминированный, поэтому мы точно знаем куда добежит БА за время до экспирации.

Если я правильно понимаю,

S(1) = 100*exp(1) = 271.83

Значит, цены колов как функция страйков выглядит очень просто:

C(K) = MAX(0, K-271.83)

Следовательно, указанный уважаемым bstone колл страйка 150 действительно стоит 0.

 

С моей стороны будет очень глупо покупать его по 50 и я не понимаю почему уважаемый bstone, который легко вертит дифуры в частных производных написал, что "E[ CallPay ] = 50"

 

Уверен, это недоразумение, вызванное желанием ответить мне как можно скорее даже в полевых условиях.

 

avatar

bstone, Вы неправильно написали, что матожидание этого кола равно 50.

Я полностью с Вами согласен, что стоимость данного кола равна 0, поэтому ставить биды ни по 50 ни даже по 1 я, конечно, не буду.

 

Формула стоимости колов в общем виде для предложенного процесса:

C(K) = MAX(0, K-271.83)

avatar
ch5oh, признаюсь, что полевые условия внесли-таки свой вклад, как и желание получить круглые числа :) Я «проинтегрировал» одним шагом и получил dS = 1*S*1 = 100, что дает S = 200. Хорошо, что в отличие от меня, вы умеете интегрировать правильно! Но и с вами подсознание сыграло злую шутку — ведь в формуле выплат вы поменяли спот и страйк местами, чтобы получить нулевой результат :)
avatar
bstone, почему? Имхо, все логично: если страйк кола находится ниже будущей цены БА, то все колы стоят 0, потому что они гарантированно истекут вне денег.
avatar
ch5oh, хм, вы точно кол с путом не путаете? :) Имеем 150-й кол, БА экспирировался по 272, что выше страйка, т.е. кол глубоко в деньгах.
avatar
bstone, да, субботнее умопомрачение. =)
avatar
bstone, если это процесс рассматривать, как предельный при сигма —>0 из мира бш, то дельта 150го кола ноль вырисовывается, почему мы хеджим единичкой?
Стас Бржозовский, да, тоже задумался над этим вчера. Видимо потому, что не дураки, чтобы деньги упускать. Надо разобраться. Видимо не зря Талеб ратовал за кол-пут паритет.
avatar
bstone, мозг ты мне взорвал, конечно. Пока, все таки, мне видится в твоем примере не хедж. А продажа за конкретные деньги синтетического пута, «справедливая» цена которому — ноль. Если убрать из допущений возможность рехеджа вообще (например, БА — неторгуемый абстрактный индекс), то еще веселее становится. Понятно, что это уже не бш вовсе
Стас Бржозовский, на том и стоим :)
avatar
bstone, спасибо тебе, конечно) локальную шизофрению ты мне обеспечил) С точки зрения предельного случая бш прав, вроде бы, Антон. С рациональной точки зрения — ты. Еще одно в голову пришло. Можно ту стоимость вычислять не как стоимость рехеджа, и не как МО, а как «рациональную цену». В твоем примере (пусть ставка ноль, кредит бесплатен) рационально не покупать колл, который принесет денег 272-150-цена кола, а покупать ба с целью +172. 
bstone, отсюда тоже нулевая цена кола вылезет. Но как все эти пироги собрать в кучу я совсем пока не знаю
Стас Бржозовский, это, стопэ, сигма->0, значит d1->inf, N(d1)->1, дельта-то у нас единица :)
avatar
bstone, d1 в минус бесконечность уходит. В числителе имеем отрицательный логарифм, в знаменателе положительный ноль. Итог минус бесконечность. Интеграл нулевой
Стас Бржозовский, да, фейспалм.
avatar
bstone, в предельном бш случае цены в голову мою не укладываются. Колл — ноль по бш, пут — 50. Поеду я лучше снег грести
bstone, 
Кроме лотерей, есть что-нибудь позабористей?

А как, например, страховые вычисляют КАСКО с франшизой? Они же это сразу считают. Я как-то мучал своего агента: а сколько будет с франшизой 30тр? Он сразу: 50тр. А с франшизой 50тр? 40тр. А со 100тр? 20тр. (цифры условны, точных не помню). Как он это делал? Быстро на коленке прикидывал? Смотрел — какие цены у конкурентов? Не успел бы. Единственный вариант, имхо, это используя статистику страховых случаев (распределение вероятностей) посчитать матожидание выплат, добавить маржу — вот и готовая цена страховки. Мне кажется, других вариантов нет.
avatar
Кирилл Браулов, см. мой ответ коллеге ch5oh ниже. Там есть над чем подумать. 
avatar

Как насчет: «гэп vs ДХ»? Думается, что тут уже ДХ проиграет.

И поскольку гэп в каком то смысле заложен в мю реального процесса (не сферического в вакууме логнормального, а приближенного к реальности, учитывающего гэпы), то получается, что ДХ проиграет реальному мю. И эпик-фейл Коровина — тому подтверждение.

avatar
Кирилл Браулов, вообще-то жертвы Коровина уверяют, что не было даже попыток управления. Гэпа в апреле, кстати, тоже не было.

Что же касается сказки о логнормальности и ее адептов, не учитывающих не только возможность временного прекращения торгов на несколько дней из-за большой скорости падения, но даже появления периодов с сериями огромных гэпов, то наверно следует рассуждать о свойствах психики, жаждущей веровать.

avatar
старый трейдер, 
Гэпа в апреле, кстати, тоже не было.

Как это не было? А что же это такое было 9 апреля с 4мя планками подряд?
avatar
Кирилл Браулов, не было, до первой планки рынок полз 50 с лишним минут, почти час. Самая большая свечка этого периода, помимо первой  — 870 пунктов, нарисована лишь на  26-я минуте торгов. Вблизи первой планки тоже ерзали долго, можно было обдельтахеджиться от души.
avatar
старый трейдер, ну не знаю… На дневном графике свечку 9 апреля как-то трудно отнести к обычному случайному блужданию:


По моему, это очевидный гэп.
avatar
Кирилл Браулов, так надо интрадей график смотреть за этот день.
avatar
ch5oh, почему — надо? И на каком ТФ? Утверждаете, что гэп на дневных барах нельзя выявить, а только на часовиках? Или на минутках? Может вообще на тиковом графике? Тогда возможно получится, что на уровне HFT вообще нет никаких гэпов — все приращения не больше минимального шага цены.

Мне кажется, что ТФ не важен для выявления гэпа. Правда, под гэпом пониманию не разрыв цены (в одном тике одна цена, а в следующем цена сделки уже отличается сразу на много шагов цены), а мощное движение цены, не вписывающееся в обычное случайное блуждание. То, которое и дает толстые хвосты распределению вероятностей (где окажется цена БА на экспу). Мне кажется, 9 апреля было именно такое движение.
avatar

Кирилл Браулов, у Вас свое и нестандарное понимание термина «геп».


Общепринятое понимание слова «геп» состоит в том, что «разница между последним трейдом вчера и первым трейдом сегодня очень большая».

 

Иногда можно немного расширить это определение и обсуждать не первый трейд за сегодня, а «первую цену за сегодня по которой реально зайти обычному ритейл-клиенту».

 

Тогда гепы надо искать так: на таймфрейме М1 выбрасываете первую свечу каждого дня и смотрите разницу цен между клоузом вчера и ценой в 10:01. Если разница «офигенно большая» — это геп.

Поэтому Вы и не понимаете друг друга со "старым новичком" ( старый трейдер  ), что вкладываете разный смысл в одно и тоже слово.

 

avatar
Кирилл Браулов, мне кажется, что гэп — настолько быстрое изменение цены, что обычный трейдер лишается возможности совершать торговые операции на промежуточных уровнях, по мере изменения ситуации. Речь о реальном времени, в минутах и секундах, не об условном свечном отображении.

9 апреля реальный рынок давал возможность торговать не менее 50-и минут до первой планки, ГО не повышалось, стаканы не пустели, новость медленно расходилась по рынку. Если коровоанохины не предпринимали никаких попыток управления, то можно усматривать в этом признаки умысла.
avatar
старый трейдер, на какой умысел намекаете?
avatar
Кирилл Браулов, что все спланировано: коранохины нагоняют хомячков до упора, брокера на это спокойно смотрят сквозь пальцы, потом при удобном случае всех клиентов режут. При этом к самим «управляющим» вопросов нет, претензий нет, никто их в суд за мошенничество не тащит.
avatar
ch5oh, и сценарий повторятся неоднократено.
avatar
Кирилл Браулов, не намекаю, пишу прямо: умысел не управлять вообще.
avatar
старый трейдер, сомневаюсь что был такой умысел и спецом насадить клиентов на маржинколы. 

Мне кажется, было примерно так: «Главное не бздеть, продаем на всю котлету, я суперпрофи, 20 лет опыта + 1001 способ управления проданным краем… Так, брокер, дай в долг! Не крой позу!!! Видишь дельта то в ноль, а на вегу наплевать, подожди и все успокоится… Ааа, биржа — ты чо по беспределу ГО так повысила!!!.. Ааааааааа, брокер — не смей крыть нас по стакану!!!!!!.......   Так, пасаны, биржа и брокер оказались бяками, тиснули ваши денежки — я ни при чем. Кто остался — переходим на Америку и теперь играем от покупки...»
avatar
Кирилл Браулов, и Мавроди никогда не заявлял, что намерен обмануть. Говорить и писать можно что угодно, включая разглагольствования о способах управления, но если жертвы уверяют, что в реальности ничего не делалось и предыдущие истории закончились аналогично, имеет смысл делать выводы. 
avatar
Кирилл Браулов, откуда инфа про «теперь от покупки»? Он что на Америке теперь прикрытым фиговым листом интрадеем клиентские деньги сливает? :)
avatar
bstone, раз и два.
avatar

Кирилл Браулов, коранохины не делали ДХ, поэтому и вылетели в трубу.


Сейчас не нужно притягивать сложности из реального мира: ночные гепы, выходные, комиссии, ликвидность и пропадание интеренета потому что таджики перерубили кабель.

 

Надо разобраться в краеугольном камне всего опционного мира: нужно ли считать матожидание выплат или надо применять какой-то другой трюк? Коллега bstone предлагает все делать через ДХ. Но это не единственный способ. И нам желательно выяснить какой из способов «более фундаментальный» или «имеет бОльшую область применимости»?

avatar
ch5oh, даже если бы делали — уверен, это бы не спасло. Их ставка была на то, что гэпа не будет, а он случился. Довнести не получилось, брокер не согласился дать в долг и подождать. Все, финиш. 

Нельзя ведь с помощью голого фьюча повторить нелинейный взлет опциона после гэпа. Повторить опцион голым фьючом при небольшом случайном блуждании БА — можно. А гэп — ну никак :)
avatar

Кирилл Браулов, их могло бы (теоретически) спасти, если бы они были крутые скальперы и взяли шорт фьюч "на всё и даже больше".

 

Но бог с ними с трупами.

 

Вы мне свое мнение про МО скажите. Вроде бы, в предыдущем обсуждении у Вас не было сомнений, что надо считать МО и танцевать именно от МО.

avatar
ch5oh, пока так и считаю (что надо через МО). Правда, Курбаковский заставил сомневаться — все-таки авторитет. Жаль он тогда тему не раскрыл.
avatar
Кирилл Браулов, это очень странный аргумент. Во-первых, все, кто заработал на Коровине, торгуя сигму, а не мю, тогда автоматически доказывают, что ДХ побеждает и реальное мю, и гэп. Во-вторых, почему вы считаете, что гэп заложен в мю, а не являет собой толстый хвост реального рыночного распределения?
avatar
bstone, Согласен со всем. Делаю отсюда вывод. Что цена опциона это стоимость его замещения. То есть сколько мы может делать на ДХ столько он и стоит. Не? 
Ну и про гепы. Они нормально отрабатываются. Был у меня как то опцион BAC, купленный. С хеджеми акциями. Перед открытием сессии, я вижу, что на предмартете цена улетела. Отлично, БА не полз, а сразу подорожал. Открывается маркет, и что? Вола просто рухнула на величину гепа. Ну не заработал еще ММ, что бы мне премию платить. Опцион это стоимость ДХ.
Дмитрий Новиков, прочел все коменты и наконец наткнулся на здравую мысль. Если бы было иначе, то закон о единой цене пришлось переписать. Иначе легко создать арбитраж. А это уже неэффективность, которо сейчас уже нет.  
avatar
bstone, заработали же не только покупатели волы, но и покупатели хвостов (мне тогда повезло среди них оказаться), и арбитражеры (были сказочные перекосы улыбки). Пример Коровина показывает, что продав хвосты и попав на гэп уже ни ДХ, ни роллирование (другая ипостась ДХ) — никак не помогут. Следовательно, гэп побеждает ДХ :)

Насчет «гэп заложен в мю» — не утверждаю этого 100%, просто возможный взгляд. В самой первой формуле этого поста можно же мю и сигму рассматривать не константами (как это делают БШ), а новыми случайными процессами. И когда моделируем гэп, то соответствующее приращение цены генерируем через мю. Ну и сигма заодно сразу после гэпа взлетает (чтобы потом плавно снижаться к своему среднему). Во всяком случае, я именно так запрограммировал у себя случайный процесс, который генерил распределение (улыбку) похожее на рыночное. Возможно, был неправ и надо было гэп учитывать отдельными третьим/четвертым слагаемым, а не впихивать его в мю и сигму.
avatar
Кирилл Браулов, скачки надо моделировать отдельным слагаемым. Модель Хестона вспоминается…
avatar
Кирилл Браулов, гэп который от event-риска (строго говоря от unexpected event) ну ни разу не заложен в μ реального процесса.  на лицо как раз тяжелый хвост.

применительно к страховым случаям (ну или к стандартной «банковской книге») есть ориентиры Ожидаемых потерь — от них поправка в ст-ти (страховых) продуктов (и для их оценки не нужна нормальность/логнор).

для всего остального, т.е. unexpected (а именно таким было 9.4.18, 3.3.14 и пр.) есть капитал (у субъектов  кредитного/страхового рынков), в случае К. — ГО
З.ы: Тут как раз надо вспомнить 'нормальность' и сигмы. Ну и понятно, что речь не идет о более-менее систематических гэпах (аналитически отражабельных на μ) 
avatar
flextrader, а как получают ориентиры Ожидаемых потерь? Неужели не учитывают статистику по убыткам? Например, если есть такое распределение (оно, конечно, совсем не обязано быть нормальным/логнормальным):
убыток 0.1*A — вероятность 20%
убыток 0.2*A — вероятность 5%
...
убыток 0.9*А — вероятность 0.1%
убыток 1*А (тотал) — вероятность 0.01%
(A — стоимость авто)

то, мне кажется, по нему вполне можно рассчитать страховую премию с любой франшизой.
avatar
Кирилл Браулов, несколько не так на каждую категорию
убыток 0.1*A
(как минимум по фактору сайза) идентичное дискр. распределение 

академические) подходы в том чтобы сделать сферического коня: лимитировать кол-во контрактов с разными кат клиентов (для которых риски выше — ниже лимит, и обратно). это достаточно нетривиально сделать с достаточно однородными категориями Активы.

для каждой из (относит небольшого числа) категорий Y, будешь иметь распределение, характеризующее (н-р, скорее частоту события) со своими параметрами. а лось по каждой категории произведение =f(Y)*Pa
Pa — ст-ть имущества, как-то так, если грубо )).

сорри, оч. унылый интернет-линк у меня — нормально ниче не поститься( коммент восстановлен из кода страницы

avatar

KLoYH, =) опционщику должно быть стыдно в этом признаваться.

Да и нет здесь дифуров никаких. Школьная алгебра средних классов.

avatar
KLoYH, =) согласен. Но постараюсь возродиться в огне и взлететь как тот феникс.
avatar

KLoYH, ограничение на сумму участия меня больше не устраивает. Один раз попробовали — хватит. Давайте указывать дневной финрез в процентах? Сергей всех умножит на 100 000 стартовых — и будет квази-эквити.

 

Кстати, тогда, наверное, и Стас Бржозовский согласится участвовать как отдельный участник, а не в виде 2-в-1.

 

avatar
хорошее замечание. Формулы писать долго, поэтому попробую объяснить словами. Два стохастических процесса: спот и вола. Если стохастический процесс волы определён как = а*dt + б*dz, то существует такой стохастический процесс (цена базисного актива), где в его «дрейф» уходят а и б через первую и вторую производные по волатильности И коэффициент корреляции. Проще говоря, тренд фьючерса определяется изменением волатильности. К чему это приводит? Это приводит к совершенно другим ценам опционов, и поверхность волатильности теряет свой смысл из-за роста сингулярности.
avatar

bozon, сходу не понял, но звучит прикольно.


А с какого перепуга волатильность имеет фиксированный дрейф??? Понятно, что у Вас все взрывается. Вы либо своливаетесь в состояние с нулевой волой (или даже отрицательной) или уходите в зону бесконечной волатильности.

 

Не, мне эта модель не нравится от слова совсем.

avatar
ch5oh, CIR. Модель не может нравится, её нужно понимать! Дрейф не фиксированный, а это функция.
avatar

bozon, когда пишут   Величина = А*dt + B*dZ  , то коэффициент A обычно означает фиксированную константу. Иначе мы получаем модель неограниченной свободы с неограниченным числом подгоночных параметров.

 

Чтобы Вас правильно поняли, напишите отдельный пост. Расскажите про эту мега-модель, распишите вид функции A. Тогда, может быть, мы с Вами будем говорить на одном языке.

 

Пока что Вы мне напоминаете А. Г. , который называет рынок нормальным процессом на основании того, что вроде как может записать его в виде   N(m(t,F), s(t,F))  где сами функции m, s являются смесью детерминированных функций и случайных процессов различных априорно не указанных видов.

 

С чем я не согласен, потому что предпочитаю называть кошку кошкой.

avatar
ch5oh, Нету все таки МО у опционов. Нетути! Потому что ДХ можно сделать справедливую цену опциона. А где же МО. А МО там где нельзя сделать ДХ справедливую цену. bstone  показал, сохраняю в избранное. ДХ рулит.
Но вот мы продаем дальний пут и покупаем дальний колл, гамма в 0. Откуда тогда бабло. Дельту мы тоже в ноль. Пока гамма в 0 ДХ генерить ни чего не может. Так? Ну за шорт, если это акции, но это в цене опциона. И кто мне скажет, что это не МО?
Дмитрий Новиков, без конкретных чисел (цены пута и кола по БШ там 0 или нет?) не берусь утверждать. Но если 0, то это арбитраж жадности покупцов дальних путов. А если не 0, то это ненулевая вероятность того, что БА доберется до зоны с ненулевой гаммой. Т.е. и там, и там — это не МО.
avatar
bstone, По БШ там естественно 0. Но у БШ лог нормальное распределение. И, кстати, Путы у них должны быть дороже. Просто, на малых волах эту лог нормальность надо добавлять. Через улыбку. Вот не кажется ли вам, что именно в этой коррекции (улыбки) к БШ и зарыто МО? Тогда bozon прав. И МО заложено в стохастику волатильности.
Дмитрий Новиков, стохастика волатильности добавляет новые степени свбоды, и там уже всякое может мерещиться. Это как теория струн, где каждая очередная нестыковка «исправляется» добавлением новых измерений.
avatar
Дмитрий Новиков, так и у bstone лог-нормальное. Только дисперсия нулевая. Плотность распределения вырождается в дельта-функцию.
avatar
Дмитрий Новиков, в условиях БШ эти цены совпадают. Нарушаем предварительные требования БШ — ДХ идет отдыхать. МО продолжает рулить. Ибо это фундамент. Как закон всемирного тяготения.
avatar
ch5oh, вы ведь согласны, что БШ работает для стандартной модели процесса, так? Теперь возьмите mu=0.3, sigma=0.2 и посчитайте какой-нибудь опцион по БШ, а потом через МО выплат. Вам останется только ответить себе на вопрос: «почему результаты разные». Потому что в этом случае к БШ вам уже не придраться :)
avatar

bstone, что значит "возьмите mu=0.3 и подставьте в формулу Блека-Шолза"? В формуле БШ нет параметра мю.

 

avatar
ch5oh, зато оно есть в формуле ценового процесса, на котором построена модель БШ: dS = mu*S*dt + sigma*S*dX. Посчитайте МО выплат опциона для этого процесса и сравните с расчтами по БШ.
avatar

bstone, можно я сыграю в тупого?

Мне как бы пофиг что там лежало в исходных аксиомах и какие буквы использовались. Есть итоговая формула. В ней нет мю. При всем желании я не могу подставить в формулу БШ параметр мю=0.3, если в ней его нет.

avatar
ch5oh, можно и сыграть, конечно, но тогда вам с этим и жить потом :) Лучше еще раз прочитайте сам пост, ведь он как раз о том, почему мю нет в итоговой формуле БШ.
avatar

bstone, прочитал. Вот обратил внимание на последнюю фразу:

> "В случае с логнормальным процессом ДЕЛЬТА ХЕДЖ ПОБЕЖДАЕТ ЛЮБОЕ МЮ! "

А если процесс будет не ЛН???
Что тогда?
Известны ли Вам примеры процессов для которых этот вывод неверен?

 

avatar
ch5oh, если процесс будет не Н или ЛН, то у вас не будет дельта хеджа.
avatar
bstone, а считать все равно как-то надо. Да здравствует МО?
avatar
ch5oh, МО дает ошибочные результаты даже для простейшего случая с ЛН, если там параметры не подобраны специальным образом (мю не равно безрисковой ставке). Кто же в здравом уме будет считать им что-то еще более сложное?
avatar
ch5oh, Ну не совсем совпадают. В условиях логнормального распределения, у нас левый хвост поднимается. Это заметно на больших волах или больших сроках. На 10 летний опцион улыбка может быть даже выпуклой. А вот на малых временах и волах, этого эффекта не заметно. Добавляют улыбку. БШ писал свои формулы для лог нормали у которого МО не совпадет с центром. Соответственно должна быть не стыковка по дальним путам и колам. Правильно. И если это наблюдается, значит, где то там МО и порылось. Не?

Дмитрий Новиков, нет. БШ сначала декларативно уничтожил МО, а потом стал писать формулы. Ну, не умел он толком брать интегралы, что поделать.

 

Или (что более вероятно) — от него это и не требовалось. Все-таки целая отрасль финансов возникла только потому, что много хеджеров начали думать, что они понимают в опционах. А по факту просто сливали деньги селл-сайду. То есть крупным инвест.домам.

 

Я бы на месте голдмана тоже БШ нобелевскую копеечку кинул за такой подгон удачный.

avatar
ch5oh, Согласен, уничтожили. Потом пришли мы и добавили улыбку с МО

Дмитрий Новиков, (устало) давайте не будем притягивать сюда реальный мир, улыбку и слив депо по пьяни?


Мы (коллеги) никак не можем договориться насчет правомерности вычислений через МО, а Вы уже со своей улыбкой лезете.

 

Если Вы согласны с формулой CallPx=E[ Payoff ] — тогда можно легко показать как возникает улыбка. Если не согласны… Ну, не знаю. Я что-то подустал от разговора. Будете так и жить несогласные. =) И верить, что рынок — гаусс.

avatar
ch5oh, лично я доказывать ничего не собираюсь. Про CIR в сети достаточно информации, изучайте сами. Я надеялся, что здесь есть осведомлённые люди, готовые поделиться своими навыками. Но, как обычно бывает, хочешь сделать хорошо — делай сам!) 
avatar
bozon, не стоит так категорично. Мы все тут делимся своим по мере сил. Просто модели со стохастической волатильностью на СЛ, насколько я знаю, никто не использует. Видел буквально один-два поста, но их авторов быстро смыло.
avatar
bozon, CIR — как расшифровывается?
avatar
ch5oh, Cox–Ingersoll–Ross
avatar
KLoYH, если ровнять вегу, то волатильность выше на примерно 10%. Проблема в комиссионных и спредах, которые это всё съедят.
avatar

теги блога bstone

....все тэги



UPDONW