Лучшие: GenHyperbolic, SkewT, Mixture of Skew Normal

Цель: описание log returns акций, conditioned после нормализации, периоды 1д-3года.

Сложности: тяжелые но не степенные хвосты, перекос, асимметрия возможна как в центре так и тяжести хвостов. Нужна аналитическая форма для pdf, cdf, quantile, и очень желательна также для E[e^r] и ее инверсия.

GenHyperbolic пожалуй лучшая, хотя я очень долгое время ее игнорировал и не использовал (благодарность А. Г. за давнюю подсказку). Имеет как перекос так и разной степени хвосты. Хвосты не степенные, но именно такие как нужно — хвосты и не должны быть степенными, они лишь похожи на степенные, а затем угасают. Причем почти идеально повторяют степенные хвосты, например SkewT нужные на коротких интервалах 1д, а также позволяет сделать хвосты менее тяжелыми что нужно для долгих интервалов например 1год, чего SkewT сделать не может.

SkewT также отличный вариант, и перекос и тяжелые хвосты. Но, тяжесть хвостов одинакова (хотя возможно несколько возможно сделать перекосом). И настоящие степенные хвосты, что с одной стороны хорошо, с другой плохо E[e^r] бесконечна. Это решается добавлением верхней границы, например отсечением по 99.9-99.99% квантилю, но вычисления отсутствуют в аналитической форме, и требуют численного интеграла, что иногда требуется и отсутствие формулы усложняет ее использование.

Mixture of Skew Normal — бомбическая штука могущая что угодно. Но чтобы получилось не что угодно а то что нужно — требуется тщательно составить ограничения и сделать так чтобы микстура параметризовалась не десятком параметров, а малым числом которые нужны, что сложно, требует много времени и едва ли оправдано, скорей всего GenHyperbolic/SkewT будет достаточно. Все формулы доступны в аналитической форме.