Догонит ли бедная страна богатую, если растет быстрее?

Удивительно, но этот простой вопрос может вводить в замешательство даже финансовых мэтров. На прикрепленном видео, начиная с 29:45 Андрей Мовчан говорит следующее:

«Если Китай с ВВП на душу населения в 10 тыс. растет на 6% в год, он прибавляет 600 дол. на человека. Если Америка с ВВП на душу населения в 64 тыс. доллара растет на 2%, она прибавляет 1300 долларов на человека. Китай, таким образом, никогда не догонит Америку по ВВП на душу населения, как бы он ни старался.»

Сергей Гуриев ему ответил: «мы не соглашаемся в базовой арифметике», и сказал правильные вещи насчет того, что при разных темпах роста разрыв в доходе будет сокращаться, но не раскрыл детали того, почему разрыв будет сокращаться и даже будет достигнуто равенство доходов, несмотря на то что в абсолютном выражении быстро растущая бедная страна растет медленнее богатой.

Внесем ясность в эту «базовую арифметику».

Если мы исходим из постоянства темпов роста какой-либо величины, то ее динамика описывается простейшим уравнением dx/dt = xk, суть которого в том, что рост пропорционален размеру. Отсюда и вытекает, что китайские 6% в год – это меньше американских 2%.

Решение этого уравнения – x(t) = x(0)exp(kt), где x(t) и x(0) суть значения анализируемой величины в моменты времени t и начальный момент, соответственно.

Это решение позволяет легко вычислить момент, когда, при условии сохранения текущих темпов роста, бедная страна догонит богатую. Для этого лишь надо знать начальные значения дохода и темпы роста в двух странах. Если мы возьмем для примера Китай и Америку, а в качестве точки отсчета примем 2019 г., то, как следует из данных Мирового Банка, ВВП этих двух стран будет описываться как

GDPusa(year) = 21.43*exp(0.022*t),
GDPchi(year) = 14.28*exp(0.059*t),

где 21.43 и 14.28 – это ВВП Америки и Китая в трлн. долларов, а 0.022 и 0.059 – их темпы роста. Если продолжить тенденцию, выраженную этими уравнениями, то Китай догонит Америку, причем довольно скоро – к 2030 г. Их сравнительная динамика иллюстрируется на графике.



Как мы здесь видим, несмотря на разный старт, преимущество в скорости позволяет Китаю догнать и перегнать Америку. И то, что в абсолютном выражении он растет медленнее, не имеет значения, поскольку благодаря более высоким темпам относительного роста эта абсолютная цифра прироста растет, и растет быстрее аналогичной цифры для Америки.

Хорошо, но ведь нас интересует рост не столько общего, сколько душевого ВВП, а у Китая огромное население. Как быть с этим? Нужно сделать две вещи: в качестве начальных значений дохода подставить в уравнение душевые, а не валовые ВВП, а темпы роста скорректировать на темп населения. Поскольку население растет по тому же экспоненциальному закону, итоговое решение для отношения ВВП к населению будет выглядеть как y(t) = y(0)exp([k-n]t), где у – душевой доход, k – темп роста ВВП, а n – темп роста населения. Воспользовавшись теми же данными, получаем следующие выражения для темпов роста душевого ВВП для США и Китая:

GDP_p_usa(year) = 65.3*exp([0.022-0.005]*t),
GDP_p_chi(year) = 10.2*exp([0.059-0.004]*t).

Здесь 65.3 и 10.2 – это душевой доход США и Китая в тыс. долл., а 0.005 и 0.004 – темпы роста их населения, соответственно.

Из-за большого населения Китаю потребуется больше времени, чтобы устранить разрыв и в душевом доходе, хотя у него имеется небольшое преимущество за счет того, что его население растет медленнее, чем в США. Ниже ожидаемая динамика роста душевого ВВП двух стран при сохранении тех же темпов роста двух величин.



Как мы видим, по душевому ВВП Китай тоже догоняет Америку, но значительно позднее, лишь в 2068 г.

Кстати, поскольку в Америке быстрее растет население, то при сохранении этой тенденции у нее тоже есть возможность кое в чем догнать Китай, а именно стать такой же большой. Из аналогичного расчета для этих стран по росту населения следует, что по этому показателю Америка сравняется с Китаем в 3468 г., когда население в обеих странах будет достигать ок. 460 млрд. человек.

Выводы:
1. Если меньшая величина растет быстрее большей, то рано или поздно первая догонит последнюю, как бы ни были они не равны в начале – это относится к доходам, населению и любым другим общественно-значимым величинам с предположительно постоянными темпами роста;
2. Это относится и к темпам роста капитала: 100 руб., лежащие на счете с доходностью 5%, догонят 1 млн. руб. с доходностью 4%, это лишь вопрос времени;
3. Но можно и обойтись без понимания этих вещей, если нанять толковых сотрудников, как показывает пример известного управляющего фондами.

Мой Телеграм-канал