Блог им. KiboR

Как сделать приблизительный расчет стоимости опциона? Блэк-Шоулз vs Кокс-Росс-Рубинштейн.

    • 16 ноября 2019, 18:32
    • |
    • KarL$oH
  • Еще
На смарлабе появился отличный автор - Eugene Logunov .

Если новичок, который только-только пришел на биржу и пробует на вкус различные инструменты, откроет почитать, например, вот этот его топик про опционы, то через несколько минут прочтения плюнет, закроет и больше к теме опционов не вернется НИКОГДА!

А такого не должно быть. Не нужно ничего усложнять. Чтобы прибыльно торговать опционами совершенно нет никакой необходимости строить поверхностные улыбки волатильности.

Опционами торговали еще в древности, инструмент очень полезный и незаменимый в хозяйстве (особенно покрытые продажи опционов).
В XII в. в Амстердаме использовали опционы на селедку, а в XVII в. — на тюльпаны.

Напомню, формула Б-Ш для опционов появилась в 1973-ом.

Так как определяли цены на опционы в «доформульные» времена?

Попробую привести метод, позволявший приблизительно подсчитать премию, основываясь на персональном прогнозе трейдера. Самое главное, что необходимо знать про опционы, так это то, что опционы в первую очередь это вероятность.

Предположим, что сейчас цена Газпрома равна 100 (несколько лет назад действительно были очень близкие цены) и вы маркет-мейкера просите продать вам опцион-call 120 со сроком экспирации один месяц. Как ему понять какую цену заложить на этот опцион?

ММ начинает с оценки вероятности нахождения цены на каждом уровне цен через месяц.

Если он продает опцион-call на уровень 120, то его риск для всех значений, которые будут выше этого уровня — больше нуля. Вычленив их, он найдет свой риск продажи от этого опциона.

Это цена будет равна 3,875.

Как сделать приблизительный расчет стоимости опциона? Блэк-Шоулз vs Кокс-Росс-Рубинштейн.


Замечу также, что при оценке используется гипотеза о нормальном распределении ценового ряда (на бирже нормального распределения не бывает, точнее не так — оно бывает, но встречается редко, поэтому к этой модели необходимо относиться с определенной долей скептицизма). Этот принцип оценки цены заложен в уравнение Кокса-Рубинштейна (1976) и лежит в основе расчета цен опционов американского стиля.

Также особо необходимо обратить внимание на тот факт, что модели, лежащие в основе ценообразования опционов, предполагают равную вероятность изменения цен в обоих направлениях, т.е. игнорируется прогнозы участников рынка о направлении движения базового актива (так называемая искривленная улыбка волатильности, которая на практике встречается сплошь и рядом).

А что если опцион истекает через два-три месяца, а не через месяц? Тогда разброс цен увеличится, а внутренние значения станут более вероятными, например, вероятность попадания цены в интервал от 120 до 130 станет 0,12 и тем самым повысится премия долгосрочного опциона.

Мы видим, что примерно в одно и то же время появились 2 разные мат.модели для подсчета опционов — для европейского типа Б-Ш, для американского типа К-Р.

Для понимания: американский опцион можно исполнить в любой момент, а европейский лишь в дату исполнения. 

Вы спросите — а какие опционы торгуются на московской бирже?

Ответ здесь.

При этом Московская биржа для расчета теоретических цен опционов использует модель Б-Ш, сразу хочется задать вопрос — ПОЧЕМУ?

Ведь модель Кокса-Росса-Рубинштейна была придумана именно для опционов американского типа!

Спишем на безграмотность IT-специалистов нашего болотца и незнание истории. Им простительно.

Если вы хотите плохо спать сегодня ночью от такой чудовищной несправедливости, тогда предлагаю взглянуть на то, как же она выглядит эта модель К-Р-Р изнутри.

Эта модель великолепна!

Как сделать приблизительный расчет стоимости опциона? Блэк-Шоулз vs Кокс-Росс-Рубинштейн.

Модель Кокса-Росса-Рубинштейна – довольно простой численный способ смоделировать будущее движение цен. Суть такого моделирования состоит в разбиении времени, оставшегося до экспирации на N шагов в предположении, что цена базисного актива на каждом шаге может либо двинуться вверх на определенную величину с вероятностью р, либо вниз, тоже на некоторую определенную величину с вероятностью q=1–р :

Как сделать приблизительный расчет стоимости опциона? Блэк-Шоулз vs Кокс-Росс-Рубинштейн.

А что же дает модель Б-Ш?

Модель Блэка-Шоулза исходит из целого ряда допущений, некоторые из которых являются критическими. Так, в модели не учитываются дивиденды, которые платит акционерная компания в течение срока действия опциона. Этого можно избежать, если вычесть ожидаемую величину дивидендов, предварительно продисконтировав ее (скорректировав на безрисковую процентную ставку), из премии. Также следует отметить, что не учитывается уровень комиссионных и других обязательных платежей, которые осуществляет трейдер. Самое спорное допущение – эффективность целевого рынка и случайный характер динамики рыночных цен. Поэтому трейдеры часто используют внутреннюю (вмененную), а не историческую волатильность.

В свою очередь модель Кокса-Росса-Рубинштейна учитывает факторы, которые не рассматриваются в модели Блэка-Шоулза, являющейся усовершенствованным вариантом биномиальной модели, но они обе дают близкие результаты. Основное отличие – посредством модели Кокса-Росса-Рубинштейна проще учесть возможность досрочного исполнения американского опциона, что очень важно при высокой безрисковой процентной ставке. И поскольку при традиционном экономическом анализе обычно используется «дерево принятия решений», то биномиальная модель представляется нагляднее и проще для применения. Основной ее недостаток – громоздкость расчетов и вычислений, но вместе с тем она позволяет учесть все дополнительные факторы и сценарии развития рыночной ситуации.

Поэтому, друзья, забудьте вы про эту никому ненужную модель Блэка-Шоулза, она стара как мир, нужно исходить из вероятностей и строить соответствующие древа решений.

На практике же, эти древа решений строятся в голове автоматически (приходит с опытом), о чем мы поговорим в следующих сериях, если интересно...

p.s.1. цена на 120-ый call на самом деле равна не 3,875, кто найдет ошибку в таблице распределения вероятностей — тому переведу 111 тимофейчиков.

p.s.2 рекомендуемая литература к
прочтению

★35
127 комментариев
Я когда тот пост про опционы прочитала, в конце маленько прифигела от фразы: 
Вот так вот, легко и просто, мы получили весьма сложную поверхность волатильности

 Я процентов 60 написанного не поняла  А оказывается, это было легко и просто))))) После такого точно опционы изучать расхочется))
avatar
ЮЛИЯ, да чел просто троллил
avatar
Ынвестор, я когда прочитала до конца, в таком шоке была, что ЧЮ напрочь отключилось  
avatar
Пля у тебя тоже сложно, щас скину видосик, если уж ты хочешь попу  лизировать опционы, то этот видосик поможет 
avatar
Ен, попу лизировать, по другому и не скажешь. На сколько я знаю Алор-Уфа уже несколько лет тому назад канул в лету, вместе с популизаторами.
Антон Панкратов, Конкретно этот человек меня натаскивал по опционам в индивидуальном общении. Как преподаватель мне понравился, а куда делся Алор я не знаю, бывает всякое
avatar
Ен, на сколько я понимаю страхование может называться таковым, если страховщик покупает риски никак не связанных друг с другом объектов, которых могут быть тысячи, а еще лучше сотни тысяч. 
В данном видео автор рассказывает как он благодаря субъективному представлению о рынке покупает один риск.
Если он мастер трейдер, то не стоит ограничивать доход 1 тыс. пунктов при шансах потерять все, как это уже неоднократно было, а ограничить убытки тысячью пунктами, чтобы взять неограниченную прибыль.
Продажа страховок — это бизнес, а не игра в уровни.
Антон Панкратов, вот в данном случае как можно потерять всё? продажа опциона хеджируется и рехеджируется фьючерсом, опцион это априори изначально инструмент страховки а не спекуляции, поэтому продавцы опционов и есть настоящие страховщики
avatar
Ен, 1)  гэп 2) Потери от купленного фьюча превышают премию Кола 3) Регулярный распил премии стопами по фьючерсу.
Профессиональные страховщики покупают множество разрозненных рисков, а не один как в данном примере.
Антон Панкратов, согласен. Сам я так не делаю — попробовал не понравилось, обычно покупаю опционы и против них делаю рехедж фьючерсом, отбивая тетту. Или делаю что то типа пропрционального пут спреда. Не получается у меня работать со стопами — не моё
avatar
4,055
avatar
По мне так это обычная рулетка. Всякие формулы все это фигня, попытка угадать случайное событие.
avatar
Биотехнолог, попытка угадать будущую волатильность))  жека понатыкал формул — показал свою мат грамотность но даёт ли это ему преимущество? вопрос)
avatar
Ен, ну я и говорю рулетка)
даёт ли это ему преимущество?
нет конечно.
avatar
Биотехнолог, тоже склоняюсь к тому что не даёт)) зато выглядит круто формулы формулы формулы)))
avatar
Ен, так и представляю. Перед открытием сделки, сидят 2 часа высчитывают по формулам, надо ли сделку открывать))
avatar
Биотехнолог, помню какой то мудрый опциончик посчитал… ага путы на ртс стоят очень дорого продал естесно, а потом ртс полетел вниз, и он кое как чудом сильно не влетел
avatar
Ен, как можно это высчитать? цена может быть любой.
avatar
Биотехнолог, Х. З. тоже недопонимаю
avatar
Биотехнолог, да не. Тут все проще.
Здесь вопрос положительности мат ожидания.
То есть есть, такая стратегия- продаем опционы и держим до истечения. условно — продаешь за год 1000 опционов Часть из них дает убыток. (В том смысле, что заходят в деньги, и приходится закрывать поставку с убытком). Но если постоянно продаешь опционы по цене выше, чем расчетная цена по формулам, то очевидно, что общая прибыль с премии будет выше, чем у того продавца, который продает опционы без предварительного расчета, например по рыночным ценам из стакана.
Не обязательно сидеть с калькулятором, для получения этого преимущества можно хотя бы использовать расчеты в квике. Там есть уже в доске и расчетная цена и теор. Конечно там иногда какие то абсурдные цифры светятся, но это лучше чем вообще мне считать .
И имеет смысл ставить лимитные цены и ждать пока у тебя купят. То же работает.

А в целом конечно же разницы нет. Хоть БА спекулировать хоть деривативами. Главное спрогнозировать движение, или его отсутствие.
Прогнозозируешь движение- покупаешь опционы.
Прогнозируешь отсутствие движения- продаешь опционы.
То есть лучше потратить время не на изучение опционов а на прогнозирование
avatar
Дмитрий К, помоему Коровин продажами занимался. Все знают чем это кончилось. И еще какой то хмырь на миллионы продавал опционы на газ.
То есть лучше потратить время не на изучение опционов а на прогнозирование
это точно
avatar
ё-моё.
avatar
«Поэтому, друзья, забудьте вы про эту никому ненужную модель Блэка-Шоулза, она стара как мир, нужно исходить из вероятностей и строить соответствующие древа решений.»
Гуманитарий детектед? Ты в курсе, что вообще есть «справедливая цена»? Эта модель не может быть не верна, потому что это она лишь даёт формулу, основанную на некоторых предположениях. По фундаментальным теоремам ты из «стоимости» воспроизводишь в точности payout, и эта «стоимость» и есть мат.ожидание по мартингальной мере. Т.е. то же самое усреднение как ты считаешь на пальцах через вероятности, просто вероятности эти не из физического мира, а риск-нейтральные. А проблемы с БШ, ежу понятно, это проблемы предположений, в частности, постоянной волатильности, нормальности, ну и т.п. Всего этого можно не предполагать, всё-равно ключевая формула price = E_Q payout сохранится (предположения no arbitrage конечно делать придется, без них никуда).
avatar
Ен, главный секрет таких роликов — анализировать прошлый график и строить опционные позиции, уже зная историю цен?
avatar
ch5oh, про историю цен там даже намёка нет
avatar
Важней всего как ММВБ считает теоретическую цену опционов, потому что реальные сделки проходят очень близко от неё.
Нарисуйте в Quik'е два графика: теорцену и волатильность (не все брокеры это дают; из 8 моих брокеров только Церих  и только на Резервном сервере). И вы увидите, как в течение дня при почти неизменной цене базового актива опцион скачет на многие проценты от изменения волатильности на 1%.
avatar
Rostislav Kudryashov, естественно. БА стоит на месте а тета считается. И куда это мы должны отнести?
Кстати такую штуку я юзал
avatar
KarL$oH, так я про то и говорю, что ф-ла БШ дает показывает теоретическую цену, а именно тот капитал, из которого можно сделать pyout. Всё. Как тогда можно говорить, что вся модель неправильна-то? Никак нельзя. Можно говорить, что в каких-то условиях применение такой-то модели может быть нецелесообразным, потом что a b c... 

Про рынок и помидоры, та цена, что есть считается рыночной. И для Биржи тоже. Биржа не назначает волатильность с неба, Биржа берёт торгуемые параметры с неба. А теоретическую цену ей в каких-то случаях необходимо иметь даже тогда, когда рынка нету — ну и, конечно, же БШ приходит на помощь. Причём опять же, Биржа не играет тут против кого бы то ни было, поскольку правила публичны. Иногда случаются казусы (от которых не Биржа выигрывает, она заинтересована в максимальной прозрачности и честности), кому-то не везёт — Биржа это учитывает и дорабатывает свои правила.
Ещё раз, ф-ла БШ концептуально это то же счамое усреднение через вероятности. Весь вопрос в природе этих вероятностей.
avatar
KarL$oH, самая справедливая цена будет у томатной пасты ))) а у солёных огурчиков в рассоле всегда цена будет справедливой с похмелья если
avatar
KarL$oH, долой квантов!!!!  опционы в массы!!! земля крестьянам, фабрики рабочим, опционы смартлабовцам 
avatar
KarL$oH, У какого брокера ты видишь такую теор.цену с ММВБ?
Церих НИКОГДА не показывает мне такой херни. Запихни в задницу СВОЕГО брокера!
Котировки — биды и офера — это не сделки, а хотелки.
PS. А «теорвер 200» — это бред ни о чём, на твоей совести.
avatar
KarL$oH, 
avatar
KarL$oH, Смотрю ты на опционы подсел, чем они тебя приманили?
avatar
KarL$oH, точно не знаю, но предполагаю, что берем мах. риск продавца на 150 и  шаг цены..
актив сейчас торгуется 100… и до 150 и до 60 всего 50 пунктов… каждый диапазон равен 10..
На первом и 2-ом шаге при 120 коле потерь нет… значит, убыток появляется только на 3 шаге… и он равен 5(половина диапазона), далее идет 4 шаг 5+10=15, далее 5 шаг 15+10=25, далее 25+15+5=45, почему 46 х.з? вероятно далее слишком маленькая вероятность добавляем еще единичку и все…
avatar
Eugene Logunov,)))
При бесконечно малом шаге по времени для европейских опционов цены сходятся к ценам по Б-Ш

 надо было открыть Афтару исчо одну страшную тайну, что так же можно прайсить другие инструменты, особенно с периодическими PMTs.
Так, в модели не учитываются дивиденды, которые платит акционерная компания в течение срока действия опциона. Этого можно избежать, если выче
это вообще наглая ложь.
Московская биржа для расчета теоретических цен опционов использует модель Б-Ш, сразу хочется задать вопрос — ПОЧЕМУ?

вообще-то это закреплено регулятором. М.б. конечно встречный вопрос — а почему закреплено ЭТО. но в мире это нормальная практика
avatar
flextrader, исчо вопрос
Спишем на безграмотность IT-специалистов нашего болотца и незнание истории. Им простительно.
не понятно — при чем здесь IT-специалисты.

Вообще тема достаточно известная. но почему-то на нее надо было запилить целый топик, и при этом он продолжает выглядеть как копипаст студенческой работы, коих немерянно на просторах сети
avatar
flextrader, я уже третий год продаю опционы (каждую неделю), хоть они и американские, многократно выходили в деньги, НИ РАЗУ, на мосбирже их досрочно не исполнили. Ни разу...
А вот в интерактивброкерс с 2017 года продаю, на акции, там стпбтдьнл поставка идет. Не всегда, в больше 50% случаях после захода в деньги.
В Америке опционы реально американские, а у на с по принципу исполнерия скорее европейские
avatar
Дмитрий К, 
хоть они и американские, многократно выходили в деньги, НИ РАЗУ, на мосбирже их досрочно не исполнили. Ни разу...
Ведь речь идёт об опционах на фьючерсы?
Потому что это дебилизм делать опционы на фьючерсы по американскому типу, т.к. исполнение с поставкой фьючерса бессмысленно и следовательно везде они европейского типа. 
avatar
Eugene Logunov, да пожалуй, я калькулятор включил уже — буду готовиться на ИгрыРазума по прайсингу инструментов 100шаговыми деревьями на калькуляторе,
то никогда так больше 4 шаговых и не попробую уместить в 20 ячеек памяти
avatar
KarL$oH, слушай… сейчас еще подумал насчет 46… и понял что это ошибка какая-то… возможно опечатка… мах. риск выше 150(до 160) вообще 40!!! и ни центом больше!
середина 3-его диапазона 125-120=5, 4-ый 135-120=15, 5-ый 145-120=25, а самый кончик 6 диапазона 160-120=40!!!
И тогда в табличке все сходится и таки 3,875…
avatar
KarL$oH, он уже прочитал твое сообщение) наверное не покажет
avatar
KarL$oH, я пропустил исключительно интегральные уравнения..
А тут голая арифметика…
avatar
KarL$oH, это точно 
avatar
KarL$oH, щелкнул исчо до коммента, читать не стал. я там выше написал, что деревьями умею прайсить не только опт. и это не с вчера или позавчера.

реальность же такова, что ч/з BSM калькулятором я посчитаю value за 25 с, в телефоне — за 35. деревом в 2 шага — (в обсчем случае) за… долго, это при том, что я умею это делать быстро. в телефоне же метод сразу приобретает характер BDSM.
Да, когда на малом числе узлов обнаружится, что цены, полученные деревом нарушают PCP — не удивляйся. 
з.ы. прочитал pdf-ку пока дописал коммент - 

Использование BS-модели осложняется тем, что в расчетах присутствует множество
параметров, которые носят оценочный характер (например, волатильность).

после этого можно жать del
avatar
в качестве ликбеза пара технических вопросов, если я предъявляю американского типа опцион колл на фьюч к исполнению, я получаю фьюч или его стоимость? можно ли это делать в течение дня, или исполнение происходит, например, в клиринг?
avatar
KarL$oH, да-да, мне стыдно уже за то, что B&S на протяжении долгих лет нае*т не только Нобелевский коммитет, но и всех трейдеров в мире, а я ща чувствую, что выгораживаю прохиндеев. не то, что уж местную профессуру ни во что не ставлю
avatar
KarL$oH, спасибо за ответ. вопрос возник в связи с интересными свечками на закрытии сессии по фьючам на ртс, по сп500 часто бывает. могут ли маркетмейкеры таким образом доставать тех, кто продаёт опционы?
avatar
бинарная система и монте карло
avatar
а лучше всех  сейчас работает биноминальная модель ценообразования
avatar
 так называемая биноминальная решетка .  и сценарий он лайн дискретизации What If? Что если?
avatar
Я понял так, что ни кто тут опционамами, как Опционами, независимо от цены, не торгует. А то бы у вас другие вопросы были.  
Чем то смарт походить на последнее пристанище спившихся математиков с кафедры матана и тервера.
avatar
KarL$oH, «играть в биллиард» — играют на бильярде. Тут как и с опционами важны детали :)
avatar
KarL$oH, 
avatar
KarL$oH, А, сколько % заработал?
avatar
Зачетный батл…
avatar
KarL$oH, покупал опционы и был маржин кол? как это
KarL$oH, у жеки эквити секрет он секретный опционщик в секретном фонде и разглашать свои сливы нельзя , и возможно даже фамилия  и имя его секретные, потому что формулы показывать и трепаться про высокие технологии фирмы можно а показывать сливную эквити запрещено службой безопасности. Лошара очкастая в рваных носках лечит нас тут про свои крутые формулы
avatar
KarL$oH, Если вероятностью, то причем тут опционы. По крайней мере на доске опционов таких данных нет. 
Сравнивать чужие экви, дураком быть. Тут бы свои проанализировать. А то что кто то там берет на себя риски непосильные, так это его дело. Давайте экви Анохина посмотрим. В какой то момент он всех обгонял, но это не о чем.
KarL$oH, просто запомни, что на бильярде как на гуслях играют :)
avatar
Eugene Logunov  Ну это на убой задачка! Её так, сходу, даже зная решение не решить. 

А если там ещё знаки неравенств системных поставить, то вообще приплыть можно.
avatar
KarL$oH, математики они такие. Надо же им как то свои знания продавать. А в том длинннющем опусе с формулами которые уверен никто и не читал мне например сразу бросилось что словами было написано. Типа вычисляем корелляцию изменения базового актива и изменения волатильности. Угу вот так просто. Измерили и работаем с этим коэффициентом. Да любые модели с таким допущением можно в топку.
avatar
KarL$oH, чем они сейчас занимаются? Иногда их помощь все-таки требуется.
avatar
Ну и что бы я делал без смартлабика?
Где ещё такое можно почитать в каментах?
И фан. И умные мысли. И образование между строк.
Спасибо, ребята!
KarL$oH, типа того, а вероятности, как считать?
avatar
KarL$oH, Ясно.
avatar

теги блога KarL$oH

....все тэги



UPDONW