Блог им. elogunov

Оцениваем опционы с учётом vol-of-vol и leverage effect

Продолжаем тему улыбок и поверхностей волатильности. В предыдущей раз я представил способ оценивания опционов, позволяющий учитывать поведенческие особенности отдельного трейдера, а именно — разное отношение к прибылям и убыткам. На этот раз я продемонстрирую образование улыбки волатильности в случае, когда точное значение волатильности базового актива неизвестно, а также имеется корреляция между изменениями цены базового актива и его волатильности.

Начнём вот с такой случайной величины: Оцениваем опционы с учётом vol-of-vol и leverage effect; в дальнейшем она послужит основой для построения риск-нейтрального распределения цены, которое будет использоваться для оценивания опционов. Случайные величины Оцениваем опционы с учётом vol-of-vol и leverage effect и Оцениваем опционы с учётом vol-of-vol и leverage effect отвечают за изменения цены (в смысле, направления её изменения) и волатильности, соответственно. Пусть они имеют совместное распределение Оцениваем опционы с учётом vol-of-vol и leverage effect — двумерное нормальное, с нулевыми средними и единичными дисперсиями. Параметр Оцениваем опционы с учётом vol-of-vol и leverage effect задаёт волатильность волатильности (vol-of-vol). Параметр Оцениваем опционы с учётом vol-of-vol и leverage effect задаёт корреляцию между изменениями цены и волатильности (leverage effect).

Очевидно, при Оцениваем опционы с учётом vol-of-vol и leverage effect распределением случайной величины Оцениваем опционы с учётом vol-of-vol и leverage effect будет Оцениваем опционы с учётом vol-of-vol и leverage effect — стандартное нормальное, с плотностью Оцениваем опционы с учётом vol-of-vol и leverage effect. Интерес представляет влияние Оцениваем опционы с учётом vol-of-vol и leverage effect и Оцениваем опционы с учётом vol-of-vol и leverage effect на вид распределения в общем случае.

Зафиксируем некоторое значение случайной величины Оцениваем опционы с учётом vol-of-vol и leverage effect. Тогда условное распределение случайной величины Оцениваем опционы с учётом vol-of-vol и leverage effect будет Оцениваем опционы с учётом vol-of-vol и leverage effect с плотностью Оцениваем опционы с учётом vol-of-vol и leverage effect. Отсюда найдём плотность условного распределения случайной величины Оцениваем опционы с учётом vol-of-vol и leverage effect при заданном изменении волатильности: Оцениваем опционы с учётом vol-of-vol и leverage effect. С учётом маржинального распределения случайной величины Оцениваем опционы с учётом vol-of-vol и leverage effect можем найти плотность распределения случайной величины Оцениваем опционы с учётом vol-of-vol и leverage effect: Оцениваем опционы с учётом vol-of-vol и leverage effect, где Оцениваем опционы с учётом vol-of-vol и leverage effect — плотность стандартного нормального распределения. Оценка значения вышеуказанного интеграла может быть получена численно.
Оцениваем опционы с учётом vol-of-vol и leverage effect
Изобразим немного графиков логарифмов плотностей распределения случайной величины Оцениваем опционы с учётом vol-of-vol и leverage effect, чтобы понять, чего мы там наворотили:
Оцениваем опционы с учётом vol-of-vol и leverage effect
В отсутствие vol-of-vol (Оцениваем опционы с учётом vol-of-vol и leverage effect), как и ожидалось, получили нормальное распределение (его плотность выглядит как парабола в логарифмическом масштабе). В случаях с vol-of-vol возникли толстые хвосты, а также скос (более толстый положительный, либо отрицательный хвост), зависящий от знака Оцениваем опционы с учётом vol-of-vol и leverage effect, который определяет направление leverage effect.

Сгенерировать выборку из распределения Оцениваем опционы с учётом vol-of-vol и leverage effect можно таким образом:
Оцениваем опционы с учётом vol-of-vol и leverage effect

Ниже представлены графики зависимости матожидания, дисперсии (логарифмирован для наглядности), скоса и куртозиса (тоже логарифмирован) в зависимости от параметров Оцениваем опционы с учётом vol-of-vol и leverage effect и Оцениваем опционы с учётом vol-of-vol и leverage effect:
Оцениваем опционы с учётом vol-of-vol и leverage effectОцениваем опционы с учётом vol-of-vol и leverage effect
Оцениваем опционы с учётом vol-of-vol и leverage effectОцениваем опционы с учётом vol-of-vol и leverage effect

Для удобства дальнейших вычислений напрашивается нормировать случайную величину Оцениваем опционы с учётом vol-of-vol и leverage effect путём вычитания матожидания и деления на корень из дисперсии; таким образом, получим случайную величину с нулевым матожиданием и единичной дисперсией, а скос и эксцесс её будут зависеть от Оцениваем опционы с учётом vol-of-vol и leverage effect и Оцениваем опционы с учётом vol-of-vol и leverage effect, соответственно. Кроме того, надо бы добавить волатильность как параметр (пока у нас есть только волатильность волатильности), ну и скорректировать матожидание случайной величины, чтобы не допускать арбитража.

Построим новую случайную величину Оцениваем опционы с учётом vol-of-vol и leverage effect; Оцениваем опционы с учётом vol-of-vol и leverage effect, где:
Оцениваем опционы с учётом vol-of-vol и leverage effect и Оцениваем опционы с учётом vol-of-vol и leverage effect — матожидание и корень из дисперсии случайной величины Оцениваем опционы с учётом vol-of-vol и leverage effect;
Оцениваем опционы с учётом vol-of-vol и leverage effect и Оцениваем опционы с учётом vol-of-vol и leverage effect — матожидание и волатильность новой случайной величины, соответственно.

Найдём плотность распределения преобразованной случайной величины Оцениваем опционы с учётом vol-of-vol и leverage effect:
Оцениваем опционы с учётом vol-of-vol и leverage effect — обратное преобразование; Оцениваем опционы с учётом vol-of-vol и leverage effect — его производная;
Оцениваем опционы с учётом vol-of-vol и leverage effect — плотность распределения преобразованной случайной величины; Оцениваем опционы с учётом vol-of-vol и leverage effect обозначена ранее вычисленная плотность распределения случайной величины Оцениваем опционы с учётом vol-of-vol и leverage effect (вот эта вот: Оцениваем опционы с учётом vol-of-vol и leverage effect).

Преобразованную случайную величину Оцениваем опционы с учётом vol-of-vol и leverage effect будем использовать как модель логарифмических доходностей (log-returns) цены: Оцениваем опционы с учётом vol-of-vol и leverage effect.

Вспомним ещё раз, как мы оцениваем европейский опцион типа call: Оцениваем опционы с учётом vol-of-vol и leverage effect.

Эге, да нам нужно риск-нейтральное распределение цены на некотором горизонте, а зависимости от горизонта у нас ещё нет! Конечно же, отмасштабировать распределение на некоторый масштаб Оцениваем опционы с учётом vol-of-vol и leverage effect с некоторого единичного масштаба несложно, если дополнительно сказать, что log-returns в нашей модели независимы. Через свёртку там, или через возведение характеристической функции в степень. Делать мы этого не будем. Вместо этого перейдём к более удобной (но приблизительной) параметризации и воспользуемся свойствами масштабирования дисперсии, скоса и эксцесса при суммировании случайных величин (а log-returns мы как раз суммируем). Короче говоря, вместо параметров Оцениваем опционы с учётом vol-of-vol и leverage effect перейдём к новым параметрам Оцениваем опционы с учётом vol-of-vol и leverage effect, не зависящим от времени до экспирации, а зависимость от времени до экспирации отразим в преобразовании новых параметров в старые:
Оцениваем опционы с учётом vol-of-vol и leverage effect; Оцениваем опционы с учётом vol-of-vol и leverage effect; Оцениваем опционы с учётом vol-of-vol и leverage effect.

При этом нельзя забывать про то, что корреляция по модулю не может превышать единицы. И что корреляция между изменениями волатильности и цены не имеет смысла, если vol-of-vol отсутствует (Оцениваем опционы с учётом vol-of-vol и leverage effect); в этом случае следует положить Оцениваем опционы с учётом vol-of-vol и leverage effect равным нулю. Таким образом мы получим приблизительные параметры, чтобы смоделировать логарифмическую доходность Оцениваем опционы с учётом vol-of-vol и leverage effect.

Рассмотрим несколько примеров, как будут изменяться Оцениваем опционы с учётом vol-of-vol и leverage effect и Оцениваем опционы с учётом vol-of-vol и leverage effect в зависимости от времени до экспирации:
1) Vol-of-vol отсутствует: мы в мире Б-Ш. и масштабирование параметров не выводит нас из него; поверхность волатильности будет плоской:
Оцениваем опционы с учётом vol-of-vol и leverage effect
2) Присутствует vol-of-vol, но отсутствует leverage effect: мы в мире с улыбкой волатильности, но без skew; по мере приближения к экспирации края улыбки волатильности будут подниматься (растёт vol-of-vol -> хвосты становятся толще -> опционы на краях будут стоить дороже):
Оцениваем опционы с учётом vol-of-vol и leverage effect
3) Присутствует и vol-of-vol, и leverage effect: мы в мире с улыбкой волатильности, и skew; по мере приближения к экспирации края улыбки волатильности будут подниматься (растёт vol-of-vol -> хвосты становятся толще -> опционы на краях будут стоить дороже); по мере приближения к экспирации skew становится меньше (кстати, тут проявляется неточность выбранной параметризации, но чтобы её сделать точной — придётся решать систему нелинейных уравнений относительно Оцениваем опционы с учётом vol-of-vol и leverage effect и Оцениваем опционы с учётом vol-of-vol и leverage effect):
Оцениваем опционы с учётом vol-of-vol и leverage effect

Осталось найти параметр Оцениваем опционы с учётом vol-of-vol и leverage effect, который у нас остался не задан в функции Оцениваем опционы с учётом vol-of-vol и leverage effect. Для этого сделаем ещё одно преобразование, на этот раз над случайной величиной Оцениваем опционы с учётом vol-of-vol и leverage effect, и найдём плотность распределения полученной случайной величины. Итак: Оцениваем опционы с учётом vol-of-vol и leverage effect, где Оцениваем опционы с учётом vol-of-vol и leverage effect. Распределение Оцениваем опционы с учётом vol-of-vol и leverage effect — это и есть то, что нас интересует для оценивания опциона. Обозначим его Оцениваем опционы с учётом vol-of-vol и leverage effect и будем искать...

Оцениваем опционы с учётом vol-of-vol и leverage effect, где Оцениваем опционы с учётом vol-of-vol и leverage effect — обратное преобразование; Оцениваем опционы с учётом vol-of-vol и leverage effect — его производная; Оцениваем опционы с учётом vol-of-vol и leverage effect обозначена ранее вычисленная плотность распределения случайной величины Оцениваем опционы с учётом vol-of-vol и leverage effect (вот эта: Оцениваем опционы с учётом vol-of-vol и leverage effect).

Посмотрим на получившиеся плотности распределений, временно положив Оцениваем опционы с учётом vol-of-vol и leverage effect:
1) Случай без vol-of-vol (масштаб логарифмический по обоим осям):
Оцениваем опционы с учётом vol-of-vol и leverage effect
2) Случай с vol-of-vol, но без leverage effect:
Оцениваем опционы с учётом vol-of-vol и leverage effect
3) Случай с vol-of-vol и leverage effect:
Оцениваем опционы с учётом vol-of-vol и leverage effect
Займёмся уже, наконец, поиском параметра Оцениваем опционы с учётом vol-of-vol и leverage effect. Делать это будем численно из условия Оцениваем опционы с учётом vol-of-vol и leverage effect, которое исключает арбитраж в построенной модели. Здесь Оцениваем опционы с учётом vol-of-vol и leverage effect — безрисковая ставка (увы, в самом начале я занял более привычную букву).

Ничего хорошего, правда, из этой идеи не выйдет. Подынтегральная функция убывает слишком медленно при наличии vol-of-vol и интеграл не сходится. Выход? Прижать немного хвосты распределения Оцениваем опционы с учётом vol-of-vol и leverage effect к нулю. Временно забудем про преобразование Оцениваем опционы с учётом vol-of-vol и leverage effect и распределение Оцениваем опционы с учётом vol-of-vol и leverage effect.

Сделаем вот такое преобразование: Оцениваем опционы с учётом vol-of-vol и leverage effect, где Оцениваем опционы с учётом vol-of-vol и leverage effect.
Параметр Оцениваем опционы с учётом vol-of-vol и leverage effect имеет смысл порога в масштабе log-returns, начиная с которого мы начинаем ослаблять влияние хвостов; реалистичным значением может быть пара десятков процентов, например, значение 0.25 соответствует росту на 28% (exp(+0.25)-1) или падению на 22% (exp(-0.25)-1).

Оцениваем опционы с учётом vol-of-vol и leverage effect
Найдём плотность распределения новой случайной величины: Оцениваем опционы с учётом vol-of-vol и leverage effect, где:
Оцениваем опционы с учётом vol-of-vol и leverage effect — обратное преобразование;
Оцениваем опционы с учётом vol-of-vol и leverage effect — его производная;
Оцениваем опционы с учётом vol-of-vol и leverage effect обозначена ранее вычисленная плотность распределения случайной величины Оцениваем опционы с учётом vol-of-vol и leverage effect (вот эта: Оцениваем опционы с учётом vol-of-vol и leverage effect).

Вот как это влияет на плотность распределения:
Оцениваем опционы с учётом vol-of-vol и leverage effect
Будем использовать случайную величину Оцениваем опционы с учётом vol-of-vol и leverage effect в качестве модели log-returns: Оцениваем опционы с учётом vol-of-vol и leverage effect. Перейдём от log-returns в масштаб цен: Оцениваем опционы с учётом vol-of-vol и leverage effect, где Оцениваем опционы с учётом vol-of-vol и leverage effect — ранее определённая функция. Найдём плотность распределения Оцениваем опционы с учётом vol-of-vol и leverage effect, которое мы вновь обозначим Оцениваем опционы с учётом vol-of-vol и leverage effect (предыдущую версию мы выкинули на совсем, из-за проблем со сходимостью интеграла): Оцениваем опционы с учётом vol-of-vol и leverage effect, где Оцениваем опционы с учётом vol-of-vol и leverage effect обозначена ранее вычисленная плотность случайной величины Оцениваем опционы с учётом vol-of-vol и leverage effect (вот эта: Оцениваем опционы с учётом vol-of-vol и leverage effect); обратная функция преобразования и её производная были приведены ранее.

Качественных изменений в форме плотности распределения Оцениваем опционы с учётом vol-of-vol и leverage effect не произошло:
Оцениваем опционы с учётом vol-of-vol и leverage effect
Оцениваем опционы с учётом vol-of-vol и leverage effect
Оцениваем опционы с учётом vol-of-vol и leverage effect
Численно находим Оцениваем опционы с учётом vol-of-vol и leverage effect из ранее упомянутого условия безарбитражности Оцениваем опционы с учётом vol-of-vol и leverage effect и можем начинать считать цены опционов Оцениваем опционы с учётом vol-of-vol и leverage effect. В условиях отсутствия vol-of-vol и достаточно большого значения параметра Оцениваем опционы с учётом vol-of-vol и leverage effect решение для Оцениваем опционы с учётом vol-of-vol и leverage effect должно совпадать с тем, что получается в модели Б.-Ш.: Оцениваем опционы с учётом vol-of-vol и leverage effect.

Возьмём набор параметров Оцениваем опционы с учётом vol-of-vol и leverage effect (только vol-of-vol; без leverage effect) и построим графики улыбок, временной структуры и поверхности волатильности:
Оцениваем опционы с учётом vol-of-vol и leverage effect
Оцениваем опционы с учётом vol-of-vol и leverage effect
Оцениваем опционы с учётом vol-of-vol и leverage effect
И проделаем аналогичные действия для набора параметров Оцениваем опционы с учётом vol-of-vol и leverage effect (и vol-of-vol, и leverage effect):
Оцениваем опционы с учётом vol-of-vol и leverage effect
Оцениваем опционы с учётом vol-of-vol и leverage effect
Оцениваем опционы с учётом vol-of-vol и leverage effect
Временная структура, конечно, выглядит странновато (может быть связано с погрешностью использованной параметризации), но в целом я нахожу полученные поверхности волатильности весьма симпатичными — края поднялись; наклон, где нужно, тоже получился. При наличии vol-of-vol получаемые греки, разумеется, будут отличаться от тех, что мы получаем в рамках модели Б.-Ш.; однако, при расчётах необходимо будет учесть как двигается поверхность волатильности при движении базового актива.

Вот так вот, легко и просто, мы получили весьма сложную поверхность волатильности, добавив волатильность волатильности и корреляцию между изменениями волатильности и цены базового актива.
★20 | ₽ 100
тебя не уволят, тебя захедхантят! =)
Fry (Антон), уже! Но он пока еще не в курсе
avatar

Mike Dewar

Mike Dewar, Я в курсе. 3 попытки за последние 3 недели :D
avatar

Eugene Logunov

Eugene Logunov, 
avatar

Mike Dewar

Eugene Logunov, #@$%%$#!!! надо быть ближе к народу! в общей, что в специальной теории относительности, да с квантовой механикой столько формул нету.

в эти статьи, как в музей заходить )
avatar

Kot_Begemot

Не советую никому читать эту муть… биржи манипулируют волой просто с потолка… достаточно иногда посматривать на доску.
Активный Инвестор, кстати, да. По моему опыту ручного трейдинга ощущения именно такие. Причём я говорю не про нашу мосбиржу, а про Чикаго!
Но!
Есть вероятность, что это только кажется. Возможно я смогу найти рациональные модельные объяснения поведению рынка, которое наблюдаю, а не только теорию заговора. =/
Fry (Антон), это не теория заговора… Это работа ММ по сигналам СПАНов… Причем в Чикаго, родине СПАНа это должно работать особенно хорошо
Активный Инвестор, с формулами можно всрать бабло с умным видом
avatar

Chipa lipa

Chipa lipa, вот это главный стимул… согласен 
Вы здорово описали еще один способ построения поверхности волатильности. А что дальше? В последние две недели это уже третий или четвертый способ Задача, по-моему, не столько описать, сколько предсказать. В чем предсказательная ценность именно этого метода?
avatar

Симаков

Симаков, Задачи обе актуальны, и описать (для сжатия опционной маркетдаты в бэктестах), и предсказать (для принятия торговых решений). Одна из «фишек» этой статьи — как избавиться от зависимости в и  от времени до экспирации; тем самым мы переходим в пространство «более стабильных параметров», а это уже элемент предсказания.

avatar

Eugene Logunov

Eugene Logunov, Это аргумент, но тогда хорошо бы понять, насколько стабильны эти параметры. В тексте я этого не увидел
avatar

Симаков

И что, ради красивой улыбки можно даже хвосты распределения ослабить? Эмм… :)
avatar

bstone

bstone, Ради красивой улыбки можно всё! Если бы модель строилась из каких-то стохастических диффуров — это было бы костылём; а так — я просто определил другую случайную величину с более удобным распределением, не создавая внутренних противоречий в модели.
avatar

Eugene Logunov

Возьмём набор параметров Оцениваем опционы с учётом vol-of-vol и leverage effect(только vol-of-vol; без leverage effect) и построим графики улыбок, временной структуры и поверхности волатильности:
Только улыбка почему-то выглядит не симметрично, со скосом?
avatar

noHurry

noHurry, Основная разница между этими случаями проявляется at-the-money — в первом случае улыбка там почти плоская, а во втором имеет явно выраженный наклон. К тому же, параметры были взяты «на глаз», а не откалиброваны на реальной маркетдате.
avatar

Eugene Logunov


Прочел первую строку…
avatar

Юнчикс

в раздел алго лучше писать по очереди, чтобы собеседники не распыляли энергию внутри дня =))
avatar

Андрей К

А получается торговать на таком кол-ве формул? Я так примерно прикинул, микросеки 1.5-2 уйдет, если очень сильно напрячься на подобные расчеты. Если делать расчет на cpu
avatar

Андрей К

Андрей К, какие-то либы R можно пересобрать под CUDA, наверное.
https://devblogs.nvidia.com/accelerate-r-applications-cuda/
avatar

wot

wot, Rcpp+RcppArmadillo+RcppParallel. Трудоёмкость разработки выше, но для тяжелых алгоритмов эта связка снимает все вопросы.
avatar

Eugene Logunov

Андрей К, Микросекунды нужны не всем :) Последние лет пять типичное суммарное время выполнения расчётов по всем стратегиям, к которым я имею отношение, составляет порядка двух-трёх часов на машине с десятками ядер. Ускорить их можно на порядки, но необходимости в этом нет. Там, где реально надо — всё считается быстро (примерно секундный масштаб).
avatar

Eugene Logunov

Eugene Logunov, 
время выполнения расчётов по всем стратегиям
речь о бектесте или это время реального расчета триггера в боевой ситуации?
avatar

Андрей К

Андрей К, Речь о продакшене. Логика без триггеров, просто расчёт раз в день.
avatar

Eugene Logunov

Eugene Logunov, ага, понятненько. Как нынче алго трейдеры ресурсы юзают для таких расчетов? чисто на cpu или спец железяки, на примере выше из коммента.
avatar

Андрей К

Андрей К, У нас всегда всё на CPU было.

Во-первых, из-за объёма данных — все на видеокарту адекватной стоимости не влезут, а гонять туда-сюда через PCI-E — никакого ускорения и не будет.
Во-вторых, ветвлений много — тоже проще на CPU.
В-третьих, я не фанат deep learning и модных нынче библиотек типа tensorflow, которые вроде как прозрачно можно гонять на видеокартах, т.е. адаптация кода под видеокарты требует неких усилий. Если для меня, скажем, написать код с использованием OpenCL не является сверхзадачей — то для других членов команды осваивать 100500 чисто программерских тем смысла нет; у некоторых из них и в привычных-то условиях (CPU + используемый не один год язык программирования) код получается не шибко быстрый.
В-четвёртых, переходя на видеокарты или спец железяки, сразу теряем возможность использовать кучу библиотек того же R. Ну или возвращаемся к тому, что те же алгоритмы нужно реализовывать под своё железо самим, или же пересылать данные туда-сюда. Т.е. в любом случае — либо получаем дополнительные затраты времени и денег, либо потенциальный bottleneck в производительности.
avatar

Eugene Logunov

Eugene Logunov, 
(CPU + используемый не один год язык программирования) код получается не шибко быстрый
как правило, в задачах на первый план вылезает не знание программирования как такового, а знание архитектуры и что с этим делать. Нужны не хилые навыки профилирования. Пусть поизучают как нужно быстро работать с памятью, где она является главным затыком всех расчетов.

А так спасибо, за развернутый. Было интересно, чем нынче дышат.
avatar

Андрей К

Андрей К, 
как правило, в задачах на первый план вылезает не знание программирования как такового, а знание архитектуры и что с этим делать.
От квантов этого обычно не требуют. Основная задача: придумать идею стратегии, формализовать, забэктестить. Для вывода в прод подключаем более опытных сотрудников, их задача: перепроверить, интегрировать со всеми остальными системами, обеспечить надежность кода (как-то собрал статистику по одной из наших библиотек: треть кода — разметка для генерации документации, a-la doxygen; треть кода — assert'ы; оставшаяся треть — собственно, обеспечивает решение задач ). 

А так — да, про архитектуру, бывает, приходится вспоминать. Самый выдающийся в этом смысле проект был в 2017 — жутко-параллельный бэктестер на С++ (большей частью), который гонялся на 4х-процессорном серваке. Вспомнил и про NUMA-awareness, и отладчиком поковырялся (ловил баг в аллокаторе памяти Intel TBB), и про кроссплатформенность (код работал на Win/Linux/Mac); попрофилировать немножко пришлось; in-memory сжатие данных (RLE местами давал экономию 95%!) сделал с кешированием распакованных кусочков; ради экономии памяти (сотни мегабайт на каждый поток) была реализована даже смена порядка обхода одной структуры данных :)

Но если говорить про программирование на R, то проблемы с быстродействием в меньшей степени обусловлены нюансами архитектуры; в большей степени производительность убивают незнание mutable/immutable структур в языке и разные скрытые преобразования типов в библиотеках. Например: таймсерия разворачивается в матрицу, по матрице вычисляется EMA, потом матрица заворачивается обратно в таймсерию — и так может делать каждая операция; ручные преобразования поднимают перформанс в разы.
avatar

Eugene Logunov

Юджин, никуда не уходите со СЛ, пока я во всем этом не разберусь! :))
avatar

Mike Dewar

Интересно, кто нибудь понял о чем речь?  У вашего коллеги как то подоходчивее  было изложение. 
avatar

Ынвестор

Eugene Logunov, Ваша исследовательская энергия впечатляет!
Чем обусловлен такой выбор распределения?
avatar

Мятежный дух

Мятежный дух, С условно-нормальными моделями попросту удобно работать. Для волатильности взято лог-нормальное распределение (экспонента от в самой первой формуле), т.к. это первое, что приходит в голову, если посмотреть на гистограмму IV или HV. И интуиция не подводит — в самом деле получается распределение, похожее на наблюдаемое у log-returns. Ну, а дальше уже добавляем снос/волатильность, ослабляем хвосты и переходим к распределению цены, т.к. без этого никак не перейти к ценам опционов.
avatar

Eugene Logunov

Eugene Logunov, понимаю, как первичный эксперимент. Вообще, выбор распределения — ключевой момент по моему мнению.
Ослабление хвостов — это уже явный костыль. Такое впечатление, что его пришлось добавлять, т.к. переборщили с корреляцией (нельзя допускать многомодальности распределения).

Мне интересно, Вы каждую статью заново пишете или просто достаёте из загашника готовые фрагменты?

 

=) Как всегда очень круто. Приятно читать.

avatar

ch5oh

ch5oh, Однозначно сложно сказать. Есть и архивные, и новые вещи. В разделе «алготрейдинг» преобладают архивные. Статьи тоже пишутся по-разному: иногда сначала код, а потом текст; иногда, сначала текст, потом код. Эта статья записывалась прямо в ходе исследования: написал пару предложений, вставил формулы, написал кусочек кода, вставил график, повторил предыдущие шаги много раз. Иногда результаты оказываются неожиданными для меня, даже если в целом я заранее верно представлял себе, что получится.

Полезность-то какая-то ощущается? Я ж вроде обещал, что её не будет :D

Спасибо, что читаете.
avatar

Eugene Logunov

Eugene Logunov, 

Я ж вроде обещал, что её не будет :D


Всё время держу в голове, когда Вас читаю.

Интегральное ощущение примерно как от статей на arxiv.org: ОЧЕНЬ круто, ОЧЕНЬ математично, ОЧЕНЬ интересно. Но денег почему-то не видно. Не ближе, чем через полгода-год кодинга, тестирования, размышлений и переделок. И даже тогда «никаких гарантий».

avatar

ch5oh

Такой вопрос: и как с этим жить? :) Допустим тут нет противоречий и косяков с риск-нейтральностью (хотя вол-оф-вол подразумевает market price of risk, так что тут, хм… проблемы). Но здесь же будут те же грабли, что и с популярными моделями вроде Хестона: вытащить параметры из базового актива нереально, остается говорить «рынок знает» и калибровать к нему. Сегодня откалибровали, напродавали, а завтра пришли и рынок не на поверхности. Но «рынок знает», поэтому калибруем, но… вчерашние продажи теперь глубоко в лосях… и что делать? :)
avatar

bstone

bstone, Параметры этой модели можно пробовать откалибровать к цене обычным MLE. Skewness и kurtosis вполне себе видно на log-returns, их-то мы и словим! Параметров, к счастью, немного (mu, sigma, nu, rho).

Другое дело, что параметры меняются (mu, sigma — эти два уж точно). Поэтому интереснее может быть калибровать именно к опционам, а затем, зафиксировав (nu, rho), построить интересную оценку изменяющейся sigma по доходностям, в которой учитываются vol-of-vol и leverage effect. Может быть и с mu что-то похожее удастся изобразить.
Сегодня откалибровали, напродавали, а завтра пришли и рынок не на поверхности.
Это на самом деле вопрос стабильности параметров модели. Если история показывает что они стабильны — то с такой моделью можно иметь дело; риск того, что всё пойдёт наперекосяк и рынок перестанет соответствовать старой модели, есть всегда.
хотя вол-оф-вол подразумевает market price of risk, так что тут, хм… проблемы
Не вижу причин, чтобы в этой модели образовался арбитраж с учётом того, как выбрано mu. Динамику eps и phi я не задаю, просто моделирую доходность до экспирации случайной величиной с неким распределением.
avatar

Eugene Logunov

Eugene Logunov, Что то мне напоминает это распределение Леви. В нем тоже хвосты опускали. Пока не вынесло.
bstone, 
Допустим тут нет противоречий
Я вот жду, кто первый докопается до формы самой верхней улыбки на третьем графике с конца :D Есть ощущение, что выбранный способ «смягчения хвостов» не вполне годится.
avatar

Eugene Logunov

Eugene Logunov, ну, левый край не похож на ФОРТС. Но мало ли. Дальние опционы они такие… своеобразные. Офер может стоять по 5 ш.ц. даже за час до экспирации.
avatar

ch5oh

Eugene Logunov, видимо нет смысла докапываться до формы улыбки, если можно сразу докопаться до «смягчения хвостов» :)
avatar

bstone

Тут в последние дни стали появляться посты про Machine Learning, Random Forest и прочие чудеса человеческой лени.

Что про это дело думаете? Есть от этого дела польза для эквити?
avatar

ch5oh

ch5oh, как ты курв-фиттинг не крути, так он курвой и останется :)
avatar

bstone

ch5oh, Практически всегда применение этих методов — это попытка превратить кучу мусора в конфетку, с предсказуемым результатом.

Мой опыт алхимических преобразований мусора ни к чему хорошему не привёл. Соответственно, стратегий на основе ML не имею (я предпочитаю не обзывать «ML» линейные регрессии и прочие штуки, известные из курса алгебры или теорвера).

Если знать что курить и куда копать, имхо, можно обойтись более простыми методами. Хотя я не исключаю, что ML в этом случае может дать чуть лучшие результаты.
avatar

Eugene Logunov

Eugene Logunov, в целом согласен с Вами и с bstone




  Но адепты вроде как намекают, что есть надежда. Что МЛ позволяют функционировать в сверхсложных многопараметрических условиях с большим количеством скрытых взаимосвязей…
avatar

ch5oh

ch5oh, ну так они давно намекают, а воз и ныне там. Тут мне в голову приходят сразу две вещи:

1) ML хорошо работает в нескольких областях, но только не в этой. Может это значит, что задача роста эквити на споте едином просто не решаема?

2) Пока мы не получим в руки квантовое превосходство, которое позволит обрабатывать огромные массивы данных мгновенно и обеспечит переобучение в реальном времени, ML не сможет превзойти самые современные на данный момент нейросети — оные головного мозга. И тут опять двадцать пять. Мы-то значем, что и самые крутые нейросети мозга не справляются с задачей роста эквити на споте и форвардах.

Круг замкнулся.
avatar

bstone

ch5oh, еще важно отметить, что адепты ML на СЛ забывают, что это в первую очередь Machine Learning, а не Machine Inventing :)
avatar

bstone

Я всю высшую матику проболел, как раз интегральные уравнения проходили..
Лучше усвоился физ. смысл: просто площадь фигуры..


avatar

Сергей

не знаю как там за бугром, а у нас на мосбирже с поднитием комиса на опционы подобные изыскания начинают носить всё более теоретический характер... 
Вот так вот, легко и просто, мы получили весьма сложную поверхность волатильности
Да вообще)))) легче не бывает  
avatar

ЮЛИЯ

Интересно пишите , иногда даже хочется тоже вот так вот все это понимать %)), но потом все равно использовать средние и линейную регрессию 
avatar

Denis

Denis, 
но потом все равно использовать средние и линейную регрессию 
Так и надо :D
avatar

Eugene Logunov


Только зарегистрированные и авторизованные пользователи могут оставлять комментарии.

Залогиниться

Зарегистрироваться
....все тэги
UPDONW