Информация
Блог им. Sarmab
Модель Блэка – Шоулза (Black – Scholes OPM) простыми словами.
- 24 сентября 2023, 22:08
- |
Математика данной модели слишком сложна для тех, кто давно учился в школе, хотя она легко может быть просчитана в Excel. Понимание работы может дать упрощенная версия – биноминальная модель.
Предположим, что возможно только два сценария: рост или снижение цены акции. Для акции стоимостью 1000 рублей это может быть 1500 или 750 рублей через 1 год.
Т.е. если акция вырастет до 1500 рублей к концу года, то call-опцион будет стоить 500 рублей, а если акции снизится, то опцион ничего стоить не будет, т.к. никто не захочет купить что-то за 1000, когда это можно купить на рынке за 750 рублей.
Инвестор может сформировать портфель, который будет иметь одинаковую стоимость через год, независимо от движения рынка. Такой портфель может быть сформирован покупкой 2/3 акции и продажей одного call-опциона со страйком 1000 рублей. «Две-третьих» — это коэффициент хеджирования, формула его расчета ниже.
Безрисковый доход инвестора составляет 500 рублей, независимо от движения рынка:
Если цена акции растет, то покупатель опциона его исполняет, а продавец, должен поставить акцию, но имеет только 2/3, поэтому покупает еще 1/3.
Теперь простая формула расчёта коэффициента хеджирования:
(Цена опциона, акция ↑ — Цена опциона, акция ↓) / (Цена акции ↑ — Цена акции ↓) = 500/750 = 2/3
Если доход инвестора полностью захеджирован, т.е. результат один и тот же независимо от движения рынка, то доходностью такой инвестиции должна являться безрисковая ставка, в нашем примере она равна 10%.
Выше мы видели, что инвестор захеджировал свой доход. Если он покупает 2/3 акции и продает один call-опцион, то такая покупка будет ему стоить 666,67 рублей (2/3*1000) минус премия, которую он получил от продажи опциона, «С». Такая инвестиция, так как она полностью захеджирована, должна принести годовую безрисковую ставку, которая в нашем примере составляет 10%. С учетом вышесказанного, стоимость call-опциона «С», может быть вычислена с помощью простого уравнения:
[(Коэффициент хеджирования*(Цена акции) – С] *(1 + Безрисковая ставка) = Безрисковый доход
[2/3*(1000) – С] *(1+ 10%) = 500
Получаем, что стоимость опциона «С», составляет 212 рублей.
Модель Блэка – Шоулза работает по такой же логике, только в отличие от нашей модели, где мы рассмотрели два сценария (1500 и 750 рублей) через год, сценарии могут быть на каждый день или даже минуту. Если мы будем разбивать биноминальную модель на периоды (год, квартал, месяц, неделя, день и т.д.), то по мере сокращения периода ее результат будет сходиться с результатом рассчитанным по модели Блэка – Шоулза.
Скачай в сети и вставь хоть в Эксел.
И любая конструкция как на ладони.
А что дельное, так это книга, хотя бы эта — fs.moex.com/files/2440/ Неплохая, кстати.
Что-то тут не сходиться.
1) Акция с 1000 поднялась до 1500 или упала до 750 — это не равновероятные события. Другими словами падение до 750 происходит чаще, чем рост до 1500. Равновероятные должны быть: поднялась до 1500 и упала до 666.
2) Вот купили 2/3 акций по цене 1000 и продали один колл. Фактически вложили 666.6. Через год цена акций поднялась до 1500. 2/3 акций стоят 1000, получили доход (1000 — 666.6) = 333. За опцион пришлось выложить 500 рублей — это убыток. Итого: 333-500 = -167 убытка.
3) Хорошо. Посмотрим что с падением. Вложили 666.6, акции упали до 750. 2/3 акций теперь стоят 500. Получили убыток 500-666.6=-167. У нас же есть опцион, и он слава богу сгорел. Итого: -167 убытка.
Вопрос какие 500 рублей в любом исходе? Понятно, что постоянный убыток в 167 должен быть компенсирован опционной премией. Можно конечно использовать дисконтирование денежных потоков, но ведь деньги за проданный опцион капают в течении года, т.е считать как умножение на (1+Безрисковая ставка) не корректно, в лучшем случае (1+Безрисковая ставка/2)
Фактически я вложил 666 минус премия по опциону «С» (212), которую мы ищем, т.е. 454 рубля, т.е. если эту сумму вложить под безрисковую ставку (умножаем на 1,1) получаем 500 рублей. Все сходится.
Если акция выросла до 1500, то моя доля стоит 1000 и 500 рублей я трачу, чтобы докупить 1/3 и поставить ее покупателю опциона. Итог: у меня осталось 500 рублей.
Если акция упала до 750, то моя доля стоит 500 и мне не нужно тратить деньги на покупку 1/3, т.к. покупатель не будет исполнять свой опцион.
Я вложил 454 рубля и в любом из этих исходов остаюсь с 500 рублями через год. Я мог бы вложить эти 454 под 10% и получить тот же результат.
Суть в том, чтобы реплицировать доходность безрискового инструмента с помощью опциона и акции.
В заметке описан принцип работы)
Тут путаница в понятиях. То что вы называете премией 500руб, фактически сколько денег вы отдали за акции за вычитом премии по опциону.
Да и потом, отдали 666 сейчас, а 212 получили потом. По факту считать нужно (666*1.1 — 212) = 520 — сколько денег отдали по результату.
Как в третьем пункте получилось 500+премия? Там убыток по позиции в акциях.
Проданный Call и купленные акции это вроде как Covered Call.
Каким образом купленные акции смогут сделать прямой линию экспирации проданного Call?
Модель БШ написана для ЕВРОПЕЙСКИХ опционов.
У нас они преимущественно маржируемые.
Есть другие модели, которые заточены под Маржируемые Опционы.
На практике ТЦ, транслируемые биржей, квиком, калькуляторами приблизительно одинаковы.
Но продвинутые трейдеры сами считают «улыбку», если хотят более корректных оценок премий опционов.