Волатильность и ненормальность рынков

В рамках темы структурных продуктов уже пора переходить к опционам, но в формате заметок в блог это сделать не совсем просто. Пытался скомпоновать материал по-разному, и никак хорошо не получается. Поэтому заметку про волатильность вынесу отдельно, а уже потом начнем знакомиться с опционами. Вещи тут будут известные большинству, но написать это надо — для тех, кто все-таки не знает.



При торговле или инвестировании в рыночные инструменты нас интересует не абсолютная доходность, а относительная. Если акция ценой 100 рублей вырастет на 1 рубль и акция ценой 300 рублей вырастет на 1 рубль — мы получим «разный» рубль. В первом случае доход будет 1%, а во втором 0.33%.

Построим ряд доходностей финансового инструмента, скажем по ценам закрытия дня, недели, года. Например, для индекса РТС:… 1,99%, 0,97%, 0,84%, -0,41%… Если у нас есть ряд доходностей за какой-то, то можно вычислить и среднюю доходность за этот период. Но есть нюанс. :)

Доходности могут отличаться друг от друга не сильно, например 0,10%, 0,12%, 0,09%, 0,09%, 0,11%. А могут и сильно: 1,00%, 2,00%, -5,00%, 4,00%, -1,50%. В обоих случаях средняя доходность равна 0,1%. Но первая бумага спокойно себе росла, а вторая — дико колбасилась. Так вот, волатильность — это мера колбасни. То есть, насколько отдельное значение доходности в среднем отличается от средней доходности. В статистике это называется среднеквадратическим отклонением (все знают и любят среднеквадратическое отклонение).

Выглядит это примерно так:



Кривые 1 и 2 имеют одинаковое среднее значение. Но кривая 1 шире, что и показывает больший разброс значений относительно среднего (большее СКО).

СКО финансового инструмента еще называют ценовым риском, а иногда и просто риском. Чем больше СКО, тем больше рисков берет на себя покупатель инструмента. Соответственно, такой покупатель ожидает и большей доходности по нему. Если составить список инструментов от менее рисковым к более, то получится примерно так: наличные (риск 0, доходность 0) — банковские депозиты — государственные облигации — корпоративные облигации — акции. На длительных промежутках времени доходность указанных инструментов возрастает именно в таком порядке (в порядке увеличения риска). Так как разных рисков много, я буду везде стараться писать «волатильность», чтобы не сбивать читателей с толку.

Ах да, чуть не забыл рассказать, что такое собственно волатильность. :) Это — СКО финансового инструмента в годовом выражении. Если дневное среднеквадратическое отклонение равно 2%, и в году 250 торговых дней, то годовая волатильность равна 0,02 / корень_из (1 / 250) = 31,6%. Другими словами, если дневная волатильность бумаги равна 2%, то годовая волатильность равна 31,6% (т.е. для инструмента будет нормально отклонится от начальной цены на 31,6% в течение торгового года).

В принципе, всё понятно написано в Википедии.

Теперь нужно сказать пару слов за «нормальность» рынков и отдельных бумаг.

Нормальное распределение играет очень важную роль в рыночных моделях. Оно входит в CAPM (модель ценообразования активов), в формулу Блэка-Шоулза для расчета цены опционов, да почти везде, где речь идет о вероятностях изменения цены актива, можно встретить нормальное распределение.

При этом все знают, что рыночные доходности распределены не нормально! На самом деле — никто не знает, какому закону подчиняется распределение доходностей, и есть ли такой закон вообще (кто найдет его первым, сможет заработать все деньги!).

В чем «ненормальность» рыночной доходности? Отклонения доходностей больше, чем на 3σ, происходит сильно чаше, чем при нормальном распределении. Говорят, что распределение доходностей имеет «тяжелые хвосты»:



Есть распределения, которые позволяют моделировать эти «тяжелые хвосты» и лучше предсказывают доходности активов. Но многие продолжают использовать нормальное распределение для описания и моделирования доходностей, потому что:

1. Оно проще.
2. Оно «достаточно хорошо» справляется с моделированием доходностей.

Ничего страшного в этом нет, главное помнить об ограничениях.

В заключение вот картинка нашего рынка с 06.01.14 по 25.07.16. Здесь сравниваются доходности индекса РТС с доходностями фьючерса на индекс РТС.



Расчеты тут, формат LibreOffice ODS. Невооруженным глазом видно:

1. Пресловутые «тяжелые хвосты» (дневные доходности больше или меньше 6%).
2. Разброс доходностей фьючерса выше, чем у индекса (обвел кружочками). То есть СКО, следовательно и волатильность фьючерса больше, чем у индекса. Это показывает «силу спекулянтов» — им легче двигать фьючерс туда-сюда, чем сам индекс (чтобы двинуть индекс нужно покупать и продавать акции, а это дороже и по комиссиям, и по плате за шорты и маржинальные сделки).

Заодно посчитал и параметры доходностей. Дневное СКО фьючерса 2,49%, индекса 2,28%. Годовая волатильность фьючерса 39,49%, годовая волатильность индекса 36,15%. Количество отклонений больше 3σ у фьючерса 1,25%, у индекса 0,94% (должно быть не более 0,4%).

На графике это выглядит так. Сверху — индекс RTS, снизу индекс волатильности RTSVX, вертикальные черты отмечают расчетный период, горизонтальная — историческую волатильность (в годовом выражении):



Индекс волатильности RTSVX рассчитывается по ценам сделок с опционами и показывает предполагаемую волатильность (implied volatility, IV) опционов. Видно, что на спокойном рынке IV примерно равна исторической волатильности (historical volatility, HV), что говорит об относительной эффективности опционного рынка. Тут мы вплотную подходим к торговле волатильностью, но углубляться я в эту тему не буду, потому что это спекуляции, а спекуляциями мы заниматься не будем.

Пожалуй, хватит. Про волатильность и СКО в интернетах написано много, понятно, и с картинками. Если не зарываться совсем уж в тонкие детали, то для практических целей хватит двух ссылок на Википедию из этого поста.

А завтра будем рассчитывать цены опционов, разберемся, как на нее влияет волатильность, и почему опцион, до экспирации которого остался год, стоит дороже опциона, до экспирации которого остался месяц.

UPD. Работа над ошибками. Давно не брал я в руки шашку, всё забыл, а может и не знал. Английская вики пишет, что СКО нужно считать не от процентной доходности, а от логарифмической. Добавил в таблицу. Итоговые цифры разошлись меньше, чем на 0.5%. Собственно, при малых отклонениях значения P1/P0 — 1 (% доходность) и LN(P1/P0) равны, если P1/P0 близки к 1. (Разработчикам роботов на заметку, если скорость важнее точности.)