Формирование портфеля высокодоходных облигаций методом Монте-Карло.

Введение

Эта статья – продолжение двух предыдущих статей об оценке совокупного риска портфеля облигаций. В первой части я рассмотрел использование биномиального распределения для оценки вероятности нескольких дефолтов по облигациям в портфеле, а во второй части при помощи этого распределения определил разумные пределы диверсификации. Перед тем как переходить к статье, выдвинем гипотезу  и примем некоторые допущения.

Исходная гипотеза: диверсификация портфеля по десяти высокорисковым облигациям (от ВВВ- до В-) позволит получить доходность значительно выше среднерыночной  (>5% к безрисковой) при удержании их на протяжении трех лет.

Допущение №1: предполагается, что вероятности дефолтов различных эмитентов – не связанные между собой величины (я считаю, что если связь и есть, то она проявила себя статистически и уже заложена в риске).

Допущение №2: в случае дефолта по облигации держатель теряет все вложенные в нее средства. То есть облигация не продается за бесценок, но и долги по ней не выплачиваются, как например в случае с RU000A106SK2

Допущение №3: облигации покупаются и удерживаются до погашения в течение трех лет, все купоны реинвестируются в эту же облигацию. Дефолт по облигации  может произойти в любой день в течение трех лет, и он приводит к потере как первоначально инвестированных средств, так и реинвестированных купонов.

Почему формула Бернулли неудобна

На практике формулу Бернулли использовать проблематично из-за ее ограничений: она работает если вероятность исходов одинакова. А если мы формируем портфель из двух облигаций (обозначим их A и B), одна из которых с рейтингом «В» с вероятностью дефолта 14,7%, а другая «ВВ+» с вероятностью 10,7%, то вероятностное пространство будет выглядеть следующим образом:

Вероятность дефолта по облигации А и успешного погашения по облигации В составит:

Вероятность успешного погашения облигации А и дефолта по облигации В составит:

Вероятность успешного погашения обеих облигаций:

А вероятность дефолта сразу по двум облигациям:

Как видите, из-за разного уровня риска расчет вероятности получить требуемый уровень доходности усложняется – вместо одного расчета нужно делать четыре. И это только при двух облигациях в портфеле. Если облигаций с разным уровнем риска будет три, то пространство вероятных событий увеличится до восьми – нужно будет рассчитать вероятности:

А для 40 облигаций все варианты даже страшно представить. Поэтому можно подойти к решению проблемы с другой стороны – собрать модель портфеля, состоящего из различных облигаций с разной доходностью и разным риском, но одинаковым сроком погашения, и провести имитацию на основе имеющихся данных, а результат проанализировать статистическими методами. Подобный подход получил название «метод Монте-Карло». Давайте разбираться как он работает.

Формирование портфеля

Случайным образом отберем десять облигаций разных эмитентов. Были выбраны следующие облигации с примерно одинаковым сроком погашения (за исключением Сегежи, в отношении нее предполагаем, что доходность к досрочному погашению будет аналогична доходности к погашению), вот они:

Предположим, мы распределяем наши средства в равных долях между облигациями, то есть по 10% на каждую, и в течение трех лет реинвестируем купоны обратно под ту же ставку. Как нам вычислить будущую доходность портфеля?

Средняя ожидаемая доходность портфеля вычисляется по средневзвешенному среднему:

Где

YTM_i – доходность i облигации

w_i – доля облигации в портфеле.

В нашем случае ожидаемая доходность составляет 27,28% без учета риска. Неплохой портфель! Но не все так просто. Давайте смоделируем какие риски несет в себе этот портфель при помощи метода Монте-Карло. Для этого подготовим эксель-файл с горизонтальной таблицей:

И проведем симуляцию того, как наш портфель будет себя вести все 3 года. Для этого сгенерируем случайные числа по известному нам распределению риска при помощи штатных средств Excel и получаем вот такую картину. Верхняя таблица – исходные данные. Нижняя – возможные варианты развития. Представьте, что в момент формирования портфеля мир распался на 10 000 различных параллельных миров, в каждом из которых под влиянием неопределенности реализовался свой сценарий. Выглядеть это будет вот так если в сценарии единица – значит успех, облигация была успешно погашена. Если ноль – в какой-то из трех годов владения произошел дефолт и унес с собой не только первоначальный капитал, но и все реинвестированные в нее купоны. В результате получаем вот такой файл данных (для наглядности дефолты подсвечены красным)

Как видите в каком-то из возможных миров в портфеле был один дефолт, в каком-то два, а иногда и три. Наша задача – определить, как чаще всего заканчивался исход инвестирования в эти облигации. Для этого сделаем следующее: подсчитаем количество денег, которое мы получим в конце владения портфеля.

Сделаем это по следующей формуле:

Для облигации RU000A10E6S8 это значение составит:

То есть каждый вложенный в эту облигацию рубль превратится в два рубля шестнадцать копеек через три года, если облигация будет погашена (и в 0 рублей, если произойдет дефолт).

Для расчета того, какой суммой мы будем располагать в каждом из сценариев применим эту формулу, но вместо PV будем использовать долю в портфеле.

Тогда будущая сумма денег в каждом сценарии составит:

Где:

YTM_i – доходность к погашению i-той облигации

n – кол-во лет (3 года)

w_i – доля облигации в портфеле

result – результат случайного исхода

Далее приведем доходность к годовому проценту по формуле:

И получаем вот такую табличку с итоговым столбцом результатов:

Остается проанализировать ее статистическими методами и понять, насколько целесообразно вкладываться в такой портфель.

Анализ результатов

Проанализировав полученный интервал получаем данные по эксцессу и асимметричности, которые равны 1,86 и -1,11. Дальше можно не проверять, видно что распределение не является нормальным из-за дискретности. Слишком малое количество облигаций дают дискретный ряд и не позволяют перейти к непрерывным величинам. Поэтому ограничимся группировкой данных и анализом гистограмм:

В начале я не зря писал, что ожидаемая доходность без учета риска  составляет 27,28%. Что же получается с учетом вероятности дефолтов?

В пяти случаев из десяти тысяч доходность оказалась отрицательной, значит дефолтов было столько, что сумма полученного капитала оказалась ниже первоначально инвестированной и никакие купоны это не перекрыли. Это «черные лебеди».

671 результат закончился с результатом менее 14% годовых (включая те пять случаев, где инвесторы теряли капитал). То есть в 6,7% случаев доходность портфеля оказалась ниже доходности ОФЗ. Вот где слезы рынка!

В 1960 случаях доходность составила от 14 до 18%. Немного, но уже что-то.

В 3 876 случаях доходность оказалась в диапазоне от 20 до 27%. Неплохой результат, но шансы его получить не очень велики, всего 38,76%.

И только в 3 493 случаев инвесторы получили ту самую «ожидаемую» доходность в размере 27%. Лишь каждый третий инвестор.

Вывод

Исходная гипотеза не подтверждается. Шансы получить высокую доходность (>5% к безрисковой) составляют ~73,69%, что крайне мало. Если подобным образом диверсифицировать портфель, то каждый четвертый инвестор не достигнет запланированных результатов. Нужно увеличивать количество бумаг в портфеле и снова проверять целесообразность. Читайте об этом в следующей статье.

Понравилось? Ставьте лайки и мы продолжим формировать устойчивые высокодоходные портфели.