Заметки выходного дня: Гриша Перельман и гипотеза Пуанкаре

Добрый вечер, коллеги!

На СЛ стало очень популярно упоминать всуе Гришу Перельмана (это хорошо) и гипотезу Пуанкаре (это плохо, т.к. на СЛ практически никто не понимает, о чем вообще спич, и почему конкретные пацаны пытались, но так и не смогли доказать эту гипотезу за 100 лет...)

Не, я понимаю, что на СЛ тема дырок всегда была очень популярна.
Дырки в кармане, дырки в бюджете, черные дыры (это неприлично, сейчас пишут afro-american opening)...
Но все же матчасть надо хотя бы поверхностно знать, чтобы писать длинные опусы.

Итак, что гласит гипотеза Пуанкаре:

«Компактное и без края (т.н. замкнутое) 3-х мерное односвязное (стягиваема любая петля) топологическое многообразие гомеоморфно 3-мерной сфере»

Что здесь важно:
1. Все 3 условия (компактность, отсутствие края и односвязность)
2. В 3-х измерениях топологическое, триангулируемое (PL) и гладкое многообразние — это одно и то же. В размерностях больше 3 это не так.
3. Правильно говорить о «гомотопической сфере» (все группы гомотопий совпадают с 3-сферой), но в размерности 3 это эквивалентно односвязности.

Как развивалась история доказательства:

1. 1890-1904

Анри Пуанкаре, придумавший группы гомологий и фундаментальную группу (1-ю группу гомотопий) предположил вначале, что гомологическая сфера (замкнутое многообразие, у которого группы гомологий совпадают со сферой) это и есть сфера. Сам привел контрпример и выдвинул аналогичную гипотезу для «гомотопической сферы» (достаточно требования односвязности — см. выше).

2. 1910-1930

Макс Ден детально исследовал топологию дополнений к узлам в 3-многообразиях и связал ее с фундаментальной группой многообразия. Сформулировал «Лемму Дена о петле» (когда на петлю на границе 3-многообразия можно натянуть диск внутри 3-многообразия).

Хельмут Кнезер предложил изучать 3-многообразия путем их разрезания по 3-сферам

3. 1930-1950

Дж. К. Уайтхед дал ложное доказательство, после его отзыва сформулировал нетривиальные контрпримеры к похожим гипотезам.
Основа ошибки — провал в утверждении, что «из односвязности вытекает хорошее поведение вложенных узлов».

4. 1950-1957

Эдвин Мойз доказал, что любое 3-многообразие можно триангулировать, так что в теории гипотезу Пуанкаре можно рассматривать как комбинаторную задачу.

5. 1957

Христос Папакирьякопулос строго доказал «Лемму Дена о петле» (см. выше) и «Лемму Дена о сфере» (возможность вложить 2-сферу внутрь 3-многообразия, если нетривиальна 2-я гомотопическая группа).

6. 1958

Р.Бинг совершил первый значимый прорыв в доказательстве гипотезы Пуанкаре — доказал, что замкнутое 3-многообразие это 3-сфера, если каждая вложенная простая замкнутая кривая лежит внутри некоего вложенного 3-шара (всем очевидно, что для односвязного многообразия это так))))

7. 1960

Вольфганг Хакен развил теорию нормальных поверхностей, по которым любое 3-многообразие можно разрезать на отдельные куски. Ввел понятие многообразия Хакена. С этого момента теория 3-многообразий стала полностью алгоритмической (они собираются из понятных кусков).

Джон Милнор (мой любимый математик) доказал единственность разложения 3-многообразия в сумму простых компонент путем разрезания по вложенным сферам (существование было установлено Кнезером — см. выше).

Фридхельм Вальдхаузен — развил классификацию многообразий Хакена.

8. 1961-1970

Стивен Смейл доказал обобщенную гипотезу Пуанкаре в размерностях 5 и больше (на самом деле доказал более общую теорему об h-кобордизме). К сожалению, понизить размерность в этой технике не удается.

Майкл Фридман доказал топологическую гипотезу Пуанкаре в размерности 4 в рамках общей теории классификации топологических 4-многообразий.

Саймон Дональдсон (первый физик в этом списке) применил калибровочные методы в топологии гладких 4-многообразий, и показал, что обобщенная гипотеза Пуанкаре (для гладких многообразий) сильно отличается от топологической (доказанной Фридманом). Кстати, обобщенная гипотеза Пуанкаре в размерности 4 не доказана до сих пор!

9. 1970-1982

Уильям Терстон разработал и частично доказал «программу геометризации» — любое 3-многообразие канонически разрезаются на куски, каждый из которых несет одну из 8 модельных геометрий. Доказал, что многообразия Хакена это носители гиперболической геометрии. Не смог победить случай сферы (гипотеза Пуанкаре).

10. 1982-2000

Ричард Гамильтон ввел и развил потоки Риччи, как способ «раздуть» локальную метрику из окрестности отдельной точки на все 3-многообразие. Показал, что при положительной кривизне Риччи поток Риччи покроет все многообразие за конечное время (энтропия потока Риччи, которую разработал учитель Гамильтона — Шин Тан Яо). Сформулировал перестройки вдоль потоков Риччи (когда поток упирается в критическую точку, можно вырезать из многообразия маленький кусок и вклеить другой, после чего особенность исчезнет, так что поток Риччи можно будет продолжить дальше). Некоторые типы сингулярностей победил, на некоторых заткнулся...

11. 2002-2003

Гриша Перельман доработал формулу энтропии Яо и доказал локальную неколлапсируемость энтропии. Подробно рассмотрел придуманный Гамильтоном поток Риччи с «хирургией» и выяснил все типы критических точек. Смог разобрать хирургию во всех критических точках (с чем не справился Гамильтон). Доказал конечность времени «вымирания» (хирургию в критических точках не придется делать бесконечное время — этот процесс закончится) для гомотопических 3-сфер, в частности, для односвязных замкнутых 3-многообразий.

В этот момент одновременно была доказана гипотеза Пуанкаре и завершена программа геометризации Терстона (Уильям добил все, кроме сферического случая — см. выше).

Как-то так

Если бы все было просто — конкретные пацаны порешали бы все лет за 10, а не за 100.
Гриша ессно крут, но токмо поставил завершающий штрих в работе коллег-предшественников.

С уважением