Дзен трейдера, часть 2. Опционы.

Доброй ночи, коллеги!

Неторопливо продолжаю публикации касательно исследования рынка (для тех, кому это интересно).

Ранее в своем блоге в публикации «Дзен трейдера» я описал узкий класс торговых алгоритмов, при применении которых в торговле есть шанс получить плюс, и широкий класс алгоритмов, при использовании которых в торговле в плюс на долгосроке выйти нельзя. Ко второму (широкому) классу относятся все любимые рынком алгоритмы ТА — скользящие средние, MACD, конвергенция/дивергенция, полосы Боллинджера and so on.
Единственное исключение составляет Momentum — не зря его так любит уважаемый SergeyJu.

Чем же стоит заняться трейдеру после организации прибыльной торговли на рынке на основании построенной теории?

Кто-то скажет блекджеком и шлюхами релаксом и яхтами, я же скажу (чистое IMHO) — дальнейшими исследованиями рынка.

В самом деле, интересно, как устроена плотность распределения приращений цен и как выглядят правильные формулы для цен опционов.

Докладываю — за последний год мне удалось сильно продвинуться в исследовании этих и похожих проблем.

Я долго сомневался, что полученные мной ранее результаты не подлежат описанию в рамках уже хорошо проработанного аппарата финансовой математики, т.к. я смог убедительно доказать (для себя), что цены не образуют мартингал, а приращения цен — мартингал-разность. Я уже неоднократно писал об этом, но напомню. Матожидание текущего приращения цены при условии знания всей предыдущей ценовой истории — это малое число, но не 0 и статистически отлично от 0. Что кагбэ ставит под вопрос весь аппарат СДУ (стохастических дифференциальных уравнений) в форме Ито с униформизующей в виде процесса Винера — там всегда получится мартингал.

Включение мозгов помогло побороть эту проблему. Оказалось, что:

1. Цена (X) в самом деле не описывается СДУ, но приращение цены (R, R=dX) вполне описывается СДУ. Таким образом сама цена (X) описывается только стохастическим интегралом, но для численных расчетов это пох
2. Детерминированная компонента в СДУ для R описывается вполне точно (dR=a(R,t)dt+dW), при этом a(R,t) оказывается негладной и разрывной функцией. Ничего страшного в этом нет — a(R,t) это кусочно-гладкая функция, а работы советских математиков Звонкина и Веретенникова доказывают, что у такого СДУ существует единственное сильное решение при определенных условиях, накладываемых на dW
3. После этого можно исследовать стохастическую часть (dW) на накопленном численном материале

Здесь выясняются очень забавные факты:

4. Процесс dW статистически достоверно не является броуновским движением (фтоппку мартингальную гипотезу)
5. Процесс dW не является FBM (fractal brownian motion) ни с гауссовской образующей, ни с образующей Леви (фтоппку Мандельброта с его фракталами)
6. Процесс dW образован суммой диффузионной (броуновское движение) и Леви составляющей (dW=b*dB+c*dJ)
7. Леви составляющая имеет ограниченную вариацию, но не является устойчивой (а только бесконечно-делимой)
8. Для стохастической части можно явно выписать характеристическую функцию (типо Фурье-анализ)
9. (Бинго!) Стохастическая часть (dW) оказывается семимартингалом, что позволяет эффективно использовать весь накопленный инструментарий стохастичекого исчисления (разложение Дуба-Мейера, более сложное стохастическое интегрирование etc.)

Это уже очень логично. Потому как:
— диффузионная часть отвечает за классическую неопределенность
— компонента Леви (прыжки) отвечает за учет неизвестных событий, которые могут резко (скачком) поменять курс. Эти события нам неизвестны, поэтому данный способ практически наилучший для их учета (привет всем исследователям, учитывающим влияние новостей на курс)

Движемся дальше.

10. Такое СДУ позволяет явным образом (правда, только через характеристическую функцию) выписать формулу для плотности приращений цен.

В этом месте мы получаем противоречие с тезисом уважаемого А. Г., который логически обосновывал, что:
10.1. Распределение приращений цен должно быть устойчивым (это не так)
10.2. Распределение приращений цен похоже на гипергеометрическое (это точно не так)

11. Такое СДУ позволяет явным образом (но тоже только в Фурье-области) выписать формулы для «правильных» цен опционов европейского и американского типа. Сложность получаемых формул не должна вводить в заблуждение — численно все превосходно просчитывается.

Следующим этапом (1-2 мес.) планируется массированный просчет «правильных» цен опционов на все, что можно (ликвидное) и сравнение этих цен с текущими биржевыми ценами опционов, базирующимися в своей основе на IV и классических формулах Мертона-Блэка-Шоулса.

Обсчет в первую очередь будет производиться на ликвидных рынках (CME/COMEX), ну и MOEX тоже будет обсчитан по остаточному принципу.

В случае выявления окон для арбитража (пока совсем не очевидно, что это удастся сделать в случае широких спредов) может появиться инструмент для получения денег «из воздуха».

Как-то так

Что вы думаете по этому поводу, коллеги!

P.S. В тексте выше (сознательно) допущены важные упрощения. Так перед переходом к выписыванию ключевого СДУ для начала стоит научиться бороться с феноменами вроде кластеризации волатильности (иначе на выходе получится чушь). Но я уже писал ранее, что умею делать очень хорошие по качеству прогнозы для квадрата будущего приращения цены — и это послужило базисом для данного исследования.