Блог им. Elwood

Знатокам теории вероятностей. Когда теория в пролете…Часть1

    • 22 июля 2020, 12:00
    • |
    • spebe
  • Еще

    Предлагаю знатокам основ ТВ решить задачу. Задача основана на реальных событиях.

    Задача.  Преподаватель курса теории вероятностей готовится принимать зачет у потока из 100 человек, для чего он  пишет на перфокартах)))  вопросы, но решает на трех билетах написать слово «зачет». Тот, кто вытянет такой билет, получает зачет автоматом. Всего билетов 30.

   Студенты заходят в аудиторию в следующем порядке:

— Сначала заходит группа из пяти человек, тянут билеты и направляются за столы готовить ответ 

— Отвечать студенты идут в произвольном порядке – первым идет тот, кто первым изъявит о готовности отвечать

— Отвечающий возвращает билет на стол преподавателю. Возвращенный билет снова участвует в «лотерее»

— Далее студенты заходят по одному. После того, как ответивший получает запись в зачетке, он покидает аудиторию, и вместо него заходит новый студент.

 

Вопросы:

— С какой вероятностью студент, зашедший в аудиторию шестым по счету, получит зачет автоматом?

— С какой вероятностью получит зачет автоматом студент, зашедший в аудиторию последним из потока?

    Просьба, кому не лень, написать в комментах ответ вместе с рассуждениями. Тот, кто это правильно сделает, попадет в раздел «Благодарности» моей следующей книги про спекулятивную бихевиористику. Отмечу всех авторов, независимо от количества.

    Во второй части, я расскажу, чем в реальности закончилась эта история, и как на рынках пролетает ТВ и стат. анализ.  

★2
25 комментариев
У последнего вероятность больше, т.к. преподаватель уже за… лся.
avatar
Antishort, кстати, как вариант)))
avatar
В вашей книге будет не менее одного полезного раздела.
avatar
Для решения задачи не хватает вероятности двух событий:
студент, вытянувший зачет
— сразу идет сдавать;
— готовится наравне со всеми.

Без них нет полного определения вероятностного пространства.
avatar
А. Г., спасибо
да, вытянувший «зачет» сразу выходит из аудитории, возвращая билет.
avatar
spebe, тогда еще уточните про первую пятерку. Если i-й вытянул зачет, то этот билет возвращается ДО вытягивания i+1- м или после того, как вытянут все 5?
avatar
Поясню. Почему это важно? Любой входит в аудиторию, в которой 4 человека с билетами и у этих 4-х человек на руках может быть 0, 1 или 2 зачета. Для расчета вероятностей событий 0, 1 или 2 и важен порядок возвращения билетов, так как они разные для тех порядков, которые я описал выше для первой пятерки.
avatar
А. Г., после того, как вытянут все, иначе преподавателю нужно будет перемешивать «колоду» всякий раз как попадается «зачет», возвращаемый на место, ибо «розыгрыш» происходит в присутствии всех пятерых студентов. Билеты лежали на столе не в пачке, а как в пасьянсе, «рубашками» наверх.  
avatar
spebe, тогда еще вопрос: после того, как студент положил билет на стол, билеты перемешиваются перед вновь вошедшим? Просто если зачет кладется на то же место, то вышедший может сообщить об этом месте входящему и это одна вероятность, а если перемешиваются — другая.
avatar
А. Г., Допустите, что ничего этого мы не знаем и знать не можем.
Тогда все просто.
Если знаем, то тоже просто, но по другому.)
А вот «пролета» в упор не вижу
avatar
3Qu, ну допустим, что преподаватель положил зачет на то же место. Тогда первый вышедший вытащил зачет с вероятностью того, что хотя бы один из первых пяти вытащил зачет и значит следующий вошедший вытащит зачет с вероятностью 1. Т. о. вероятность того, что 6-й сдаст автоматом равна  (1 — 9/10*26/29*25/28*24/27*23/26)+9/10*26/29*25/28*24/27*23/26*3/26=0.433497537+0.065365669=0.498863206.
avatar
А. Г., в вашей ВШ может и порядок был, а у нас билеты просто на столе валялись вперемешку.) Чье там место и откуда кто чего брал запомнить нереально.)
avatar
3Qu, ну я и спросил у автора про перемешивание перед вошедшим. Без перемешивания я расчет вероятности привел, просто потому, что он проще.
avatar
А. Г., да, преподаватель меняет положение зачетного билета, он был продуманный))). Каждый раз новый студент действует наугад. 
avatar
spebe, ну если так, то 0.112826828, немного меньше, чем 3/26=0.115384615.


avatar
А. Г., спасибо 
а можете расчеты выложить и рассуждения? Буду благодарен, помимо размещения в «благодарностях»))) 
avatar
spebe, ок. 
Условная вероятность 6-му вытащить зачет равна:
3/26, если первые 5 вытащили не более 2 зачетов
2/26, если первые 5 вытащили два зачета 
1/26, если первые 5 вытащили 3 зачета

Пусть N=30*29*28*27*26 (отдельный множитель — это число билетов перед вытаскиванием i-м студентом из 1-й пятерки)

N0=27*26*25*24*23 (это число незачетных билетов из множества лежащих на столе, если никто не вытащил зачет)
N1=3*27*26*25*24 (1-й зачетный, остальные незачетные)
N2=3*2*27*26*25 (2 зачетных, остальные 3 незачетные)
N3=3*2*1*27*26 (3 зачетных, остальные незачетные)

Вероятность вытаскивания ни одного зачетного N0/N, одного зачетного 5*N1/N, 2-х зачетных 10*N2/N, 3-х зачетных 10*N3/N (5 — число сочетаний из 5 по 1, 10 — из 5-ти по 2 и из 5-ти по 3).

По формуле Байеса получаем
 
((N0+5*N1)/N)*3/26+(10*N2/N)*2/26+(10*N3/N)*1/26.

Дальше я все подставил в Excel и посчитал. Хотя можно и посокращать множители в числителе и знаменателе  и получить
(10*38*3+2*25+1)/(29*28*13).

А это уже можно посчитать и на калькуляторе.

Но вообще примеров, когда за одними и теми же событиями стоят разные вероятностные пространства и совершенно разные вероятности, «вагон и маленькая тележка». Вот хотя бы один из них

https://smart-lab.ru/blog/371975.php
avatar
А. Г., премного благодарен
avatar
3 к 26
И шестой и сотый
Первый же счастливый билет будет успешно помечен и поэтому выпадет всем последующим студентам.
avatar
Jame Bonds, да, и это середина истории)))

avatar
Jame Bonds, ну для 6-го я дал расчет такой вероятности

smart-lab.ru/blog/635055.php#comment11447535
avatar

теги блога spebe

....все тэги



UPDONW