Блог им. KiboR

Новичкам. Логнормальное распределение и допущения модели Блэка-Шоулза.

Всем привет.

В тот раз мы разобрались с темой нормального распределения, а сегодня попытаемся для себя разобраться с новой темой, еще более интересной. Она очень важная, поэтому будет много текста из книги Натенберга.

Насколько обосновано наше предположение, что цены базового актива распределены нормально? Даже если не касаться самой возможности существования какого-либо строгого распределения цен в реальной жизни, то можно утверждать, что у допущения о нормальном распределении есть один серьезный недостаток. Кривая нормального распределения симметрична. Если принимается допущение о нормальном распределении, то мы, предположив возможность повышательного изменения цены БА, обязаны предположить возможность такого же понижательного изменения. Если мы допускаем возможность повышения цены РИ при прайсе 70 000 пунктов на 80 000 пунктов вверх до 150 000, то должны допустить также и возможность падения до -10 000 пунктов. Поскольку РИ это не WTI и цены не могут уйти в отрицательную зону, становится очевидным, что допущение о нормальном распределении не вполне корректно. Как устранить этот недостаток?

До сих пор мы определяли волатильность как процентное изменение цены базового актива. В этом смысле процентная ставка и волатильность схожи, поскольку и то и другое дает представление о доходности. Основное различие между ними заключается в том, что процентный доход положителен, в то время как волатильность отражает как положительное, так и отрицательные доходности. Если вложить деньги под фиксированную ставку, то сумма всегда увеличивается. Но если вложить их в БА с волатильностью больше нуля, то цена этого инструмента может как повыситься, так и понизиться. Волатильность, определяемая как стандартное отклонение процентных изменений цены БА ничего не говорит о направлении изменения цены.

Поскольку волатильность отражает доходность, большое значение имеет порядок расчета доходности. Предположим, что мы инвестировали 1000 $ на год под 12% годовых. Сколько мы получим в конце года? Ответ зависит от того, как будут выплачиваться проценты:

Новичкам. Логнормальное распределение и допущения модели Блэка-Шоулза.
Когда проценты выплачиваются чаще, даже если годовая ставка не меняется, доходность увеличивается. В случае непрерывной выплаты процентов доходность будет максимальной (здесь используются сложные проценты, непрерывное начисление означает, что интервал между выплатами становится все меньше и меньше, в предельном случае — бесконечно малым, при этом рост суммы описывается функцией exp(r*t)).

Теперь самое интересное, проделаем те же расчеты для отрицательной процентной ставки, хотя она встречается реже. Предположим, что мы ежегодно теряем 12% инвестиций от первоначальной суммы 1000 $. Сколько у нас останется в конце года? Ответ зависит от того, как часто начисляются убытки:

Новичкам. Логнормальное распределение и допущения модели Блэка-Шоулза.
В случае отрицательной процентной ставки убытки, как и отрицательная доходность, меньше, если убытки начисляются чаще, хотя годовая ставка остается неизменной.

Точно так же, как процентные выплаты могут начисляться с разными интервалами и давать различные эффективные доходности, так и волатильность может рассчитываться с разными интервалами. Для целей оценки опциона делается допущение, что цена БА меняется непрерывно (как вверх, так и вниз), а волатильность «накапливается» непрерывно со скоростью, соответствующей годовой волатильности данного БА (если точнее, то непрерывно накапливается не волатильность, а дисперсия, поэтому волатильность увеличивается пропорционально корню квадратному из времени).

Что произойдет, если в каждый момент времени цена БА будет повышаться или понижаться на заданный процент, а распределение этих движений будет нормальным? Если исходить из нормального распределения изменений цены БА, то в результате непрерывного накопления этих изменений мы получим к дате экспирации логнормальное распределение цен. Такое распределение смещено из-за того, что движения цены вверх в абсолютном выражении больше движений цены вниз (см.внизу рисунок). В нашем примере с 12%-ой ставкой непрерывного начисления положительного процента даст через год +127,50 $, в то время, как непрерывное начисление убытка по той же ставке отнимет -113,08 $. Хотя в среднем относительные колебания цены (доходности), взятые по абсолютной величине, и сохраняются на уровне 12%, непрерывное 12%-ое нарастание и снижение приводит к различным повышательным и понижательным изменениям цены.

Модель Блэка-Шоулза — это модель непрерывного времени. Она исходит из того, что волатильность БА в течение всего срока действия опциона постоянна, но эта волатильность рассчитывается по методу непрерывного начисления. Эти два допущения означают, что возможные цены БА распределяются логнормально. Это также объясняет, почему у опционов с более высоким страйком стоимость больше, чем у опциона со страйком пониже, когда обе цены как будто одинаково далеки от текущей цены БА.

Здесь ВНИМАНИЕ! Я собственными глазами видел, когда цены по равноудаленным страйкам от текущей цены БА были одинаковыми. И такое бывает очень часто. Вопрос аудитории на засыпку: почему так бывает?

Предположим, что цена фьюча РИ составляет ровно 100 000. Если мы принимаем во внимание нормальное распределение возможных цен, то 110 колл и 90 пут, которые оба вне денег на 10%, должны иметь одинаковую теоретическую стоимость. Но если мы допускаем в модели Блэка-Шоулза логнормальное распределение, то стоимость 110 колла всегда будет выше стоимости 90 пута. Логнормальное распределение предполагает более значительное в абсолютном выражении повышательное изменение цены.

Таким образом, для 110 колла характерна более высокая вероятность роста цены, чем для 90 пута. Сноска на полях: конечно же это только в теории, а на практике нет никакого закона, который гласил бы, что рыночная цена 90 пута не может превысить цену 110 колла.

Новичкам. Логнормальное распределение и допущения модели Блэка-Шоулза.

Встроенное в модель Блэка-Шоулза допущение о логнормальном распределении устраняет сформулированную ранее логическую проблему. Если мы допустим возможность неограниченного повышения цены БА, то в случае нормального распределения придется допустить и ее неограниченное понижательное изменение. Это приводит к появления отрицательных цен БА, что исключено для большинства рассматриваемых нами инструментами (Натенберг не видел как WTI на Мосбирже торговался в недавнем времени, он бы посмеялся). Логнормальное распределение допускает возможность неограниченного роста цены (логарифм +бесконечноть = +бесконечность), но исключает возможность ее падения ниже нуля (логарифм -бесконечность = 0). Вообще такая формулировка некорректна с математической точки зрения, но Натенберг почему-то пишет именно так.

Логарифмическая функция берется всегда от положительных значений, так было бы писать правильно, но саму идею Натенберг очень красиво изложил, логнормальное распределение чаще встречается в реальной жизни, потому что цена на товар не может быть отрицательной, если не считать WTI.

Не лишним будет также вспомнить про саму функцию логарифма и ее свойства:

Новичкам. Логнормальное распределение и допущения модели Блэка-Шоулза.

В заключение подведем итог и перечислим важнейшие допущения в отношении изменения цены, встроенные в модель Блэка-Шоулза:
  1. Изменение цены БА носит случайный характер и на него невозможно воздействовать, как невозможно предсказать заранее направление этого изменения.
  2. Процентные изменения цены БА имеют нормальное распределение.
  3. Поскольку мы принимаем, что процентные изменения цены БА накапливаются непрерывно, цены БА при экспирации распределяются логнормально.
  4. Математическое ожидание данного логнормального распределения — это форвардная цена БА.

При этом, первое допущение может вызвать у многих трейдеров акт агрессии и возражения, ведь как так? Технические аналитики полагают, что, анализируя прошлую динамику цен, можно предсказать направление их будущего изменения. Можно на графике построить уровни поддержки и сопротивления, найти ГИП и другие фигуры графического анализа и они ведь действительно работают и помогают предсказать тенденцию изменения цены. Но в случае классических опционщиков всё это не важно, потому что модель Блэка-Шоулза исходит из случайного изменения цен и невозможности предсказания направления их изменения. Это не означает, что использование модели Блэка-Шоулза не требует прогнозирования, однако, главная задача такого прогнозирования — предсказать величину изменения цены, а не направление изменения. Это и есть торговля волатильностью — покупай дешево и продавай дорого.

Как мы увидим дальше, есть основания сомневаться и в правомерности третьего допущения о логнормальном распределении цен при экспирации. Для одних рынков оно правомерно, для других — нет. Здесь опять-таки важно, чтобы использующий модель трейдер знал, какие допущения принимаются при расчете теоретической стоимости опциона, тогда он сможет решить насколько точны эти допущения, а, следовательно, и полученные значения теоретической стоимости.

Если такие вот топики вам заходят, ставьте лайки и жмите колокольчик.

С уважением, Карлсон.

---
p.s. кому интересно, свои мысли по рынку кидаю в канал «Фондовый рынок глазами Карлсона» (t.me/KarLsoH), там же есть и опционный чат.
★17
61 комментарий
Всё, баста… логнормальное распределение лесом идет...
Цены то теперь и отрицательные бывают...
Чё со всем этим говном теперь делать — **й его знает…

… Хотя самое разумное походу, это притвориться что ничего не было и всё нормально и не ипать лишний раз моск 
Niktesla (бывш. Бабёр-Енот), нужно применять нормальное распределение! 
avatar

Niktesla (бывш. Бабёр-Енот),

1) не торговать WTI.

2) Забыть и жить по-старому.

3) Почитать СЛ.

avatar
ch5oh, хер бы с ней с нефтью — меня нервируют сипериодически возникающие мысли о том что щас там оперативно запилят универсальные формулы для всего-всего, и начнут по ним везде-везде вармаржу и ГО считать…
Niktesla (бывш. Бабёр-Енот), у них «там» давно всё есть. Они с отрицательными ставками уже не первый год живут. А это как бы нонсенс само по себе.
avatar
ch5oh, отрицательные ставки не нонсенс.
во время второй мировой войны в швейцарии были отрицательные ставки на вклады.
плата за хранение.

с фиатными деньгами все сложно.
синьераж позволяет творить любое непотребство.
avatar
Антон Б, ещё никто пока до этого, слава богу, не додумался. Даже CME с своей «фиатной» нефтью до этого еще не додумалась…
avatar
Kot_Begemot, С прошлого года в швейцарии снова отрицательные ставки по вкладам. (хотя и не такие большие как во времена второй мировой (или маленькие раз отрицательные )))
nashagazeta.ch/news/economie/otricatelnye-procentnye-stavki-v-shveycarii

Как знали… про корону )
avatar
Антон Б, по вашей ссылке нет никаких отрицательных ставок, увы 



avatar

Kot_Begemot, «Как сообщает информагентство AWP, для частных и корпоративных клиентов крупнейшего швейцарского банка, имеющих на депозитах более 2 миллионов франков, будет применяться процентная ставка в размере минус 0,75%. Для корпоративных клиентов, хранящих в Credit Suisse более 10 миллионов франков, будет начисляться процентная ставка в размере минус 0,85%. Для корпоративных клиентов новые положения вступают в силу с 15 ноября, а для частных — с 1 января 2020 года. Что касается счетов в других валютах, то в Credit Suisse процентная ставка в размере минус 0,4% уже действует для депозитов, остаток на которых превышает миллион евро»

nashagazeta.ch/news/economie/otricatelnye-procentnye-stavki-v-shveycarii

avatar
Антон Б, это не ставка. От того, что её назовут «ставкой» она таковой не станет. 

Любой банк, теоретически, может ввести плату за обслуживание счетов. После этого, просто из соображений альтернативных выгод, у него появится реальная возможность ввести плату за обслуживание депозитов. После того, как эта плата будет введена, её можно назвать «ставкой».

Но это не ставка, даже если она существует и существует для депозитов (в чём я как раз сомневаюсь). 

А российские переводчики, маловероятно, что вообще имеют какое-либо финансовое или околофинансовые образование — отсюда и такие громкие заявления.

Наконец, откуда возьмутся у банков отрицательные ставки по депозитам, если отрицательных ставок по депозитам нет даже у ЦБ Швецарии.

С таким же успехом можно было бы огласить, что все ценные бумаги хранятся в депозитариях по отрицательным ставкам. (А у IT Invest они записаны именно в виде «ставок» (!) ).
avatar
Kot_Begemot, вы знаете.
вы можете не верить в то как работают:
1) фиатные деньги;
2) двигатель внутреннего сгорания;
3) электричество.

все это работает независимо!, от того, верите ли вы в это или нет.
если вам не нравятся статью на русском, переводные!

перевести плату за то что храните деньги в банке, в % от денег, как отрицательную ставку.
Иначе чем отрицательная ставка.
ОЧЕНЬ СЛОЖНО.
А главное, иной перевод не имеет практического смысла.
avatar
Антон Б, я не верю же не просто так. Там в тексте напрямую написано, что к депозитам эти «ставки» не относятся. То есть как ставки и не существуют вовсе.

Тем более, было бы глупо указывать на ставку зависимую от счета. Любой оборот денег сопровождается платой, которая, как ни странно, не называется отрицательной ставкой, а считается просто комиссией.
avatar
Kot_Begemot, статью вашу не читал, но ставка в Швейцарии сейчас составляет -0,75%, со знаком минус. О чем спор?
avatar
KarL$oH, 

1. -0.32% по вкладам
2. -0.64% межбанк
3.  +2.62% кредит
4. -0.75%  — ставка депонирования, она же ключ

О том и спор. 

www.economicdata.ru/country.php?menu=europe-country&cu_id=186&cu_ticker=CHE&country_show=economics

Но это тоже не совсем правильно названные данные.
avatar
Kot_Begemot, 
Процентная ставка по вкладу Декабрь 31, 2018 -0.32 % -0.04 % % (процент)

По ссылке у вас данные за 2018!!!!
(кстати спасибо за ссылку, данные устаревшие, но агрегированы, хорошо)
а в статье, что я привел, более свежие, на год, за 2020, с 1 января 2020 прямо в статье.
avatar
Антон Б, у вас в статье не ставка и не по вкладам, а по счетам входящим в M1.


Есть и более свежая информация. «Ставка» «по вкладам».
Как вы можете заметить оба слова в кавычках, потому что применены экономически неверно.

Здесь же можно посмотреть и другие «свежие» «ставки» :

ru.tradingeconomics.com/switzerland/deposit-interest-rate

avatar
Kot_Begemot, кот, вы привели данные целиком! подтверждающие мой тезис.

однако, зацепились за кавычки.
о кавычках спорить это пустой троллинг, я воздержусь от этого.

спасибо за ссылки.
avatar

Антон Б, Швейцария отлично устроилась, спору нет.

 

Но если взять текущие условия мирного времени и вроде как надежную мировую валюту, то данная ситуация остаётся бессмыслицей. Рациональней держать дома несгораемый сейф с наличкой.

avatar

ch5oh, С прошлого года в швейцарии снова отрицательные ставки по вкладам. (хотя и не такие большие как во времена второй мировой (или маленькие раз отрицательные )))
nashagazeta.ch/news/economie/otricatelnye-procentnye-stavki-v-shveycarii

Как знали… про корону )

 

Текущие условия как есть.


Вообще основная стоимость денег это плата за риск.
за ее вычетом скорее всего ставки отрицательные с 2009 года.
год к году.
я не буду это сильно системно доказывать.
но в европе это так.

avatar
ch5oh, к этому и приводит, к сейфу с наличкой, в комменте ниже ссылка на статью
avatar

логарифм -бесконечность = 0


Жжешь напалмом! Автор, пиши ещё!

 

ПС Если претендуешь на то, что «разобрался в книжке», то хотя бы откровенные косяки не копипасть.

avatar
ch5oh,  ты дальше дочитал? 

Вообще такая формулировка некорректна с математической точки зрения, но Натенберг почему-то пишет именно так.Логарифмическая функция берется всегда от положительных значений, так было бы писать правильно, но саму идею Натенберг очень красиво изложил, логнормальное распределение чаще встречается в реальной жизни, потому что цена на товар не может быть отрицательной, если не считать WTI.
avatar

KarL$oH, а ты мой коммент дочитал?

ПС Если претендуешь на то, что «разобрался в книжке», то хотя бы откровенные косяки не копипасть.

avatar
ch5oh, я специально этот косяк скопипастил, чтобы запомнить уровень изложения именно самим Натенбергом. Я уже много ляпов в книге нашел. Коплю для себя. В конце будет интересно суммарно подсчитать.
avatar
KarL$oH, тогда сделай их белым буквами на белом фоне хотя бы. Тебя же дети читают (предположительно судя по названию топика).
avatar
ch5oh, 

не надо ничего замазывать. дети пусть читают и впитывают сразу как правильно и как неправильно.
avatar
Не, такие посты не заходят — надо простыми словами! ))
avatar
XAT, куда еще проще? 
avatar

KarL$oH, надо было просто линк на топик А.Г. указать в котором он запросто интегрирует логнормальное распределение и получает БШ. Школьная программа.


Даже задачка про бассейн в который втекает 10 литров в минуту и вытекает 9 литров в минуту и та сложнее решается.

avatar
ch5oh, тот топик А.Г. дети точно читать не станут. Даже меня всегда в сон клонит от его топиков 
avatar
вообще за такие посты надо щемить ботанов.устроили из смартлаба фангруппу Перельмана 

но что делать, нельзя же дать вымереть очкозаврам ))
avatar
Tуземец, 
но что делать, нельзя же дать вымереть очкозаврам ))

Тебе в топики Евгения Логунова нужно, там обычно очкозавры, а я начинающий… троечник короче 
avatar
KarL$oH, очкозавроимитатор )) лан, удачи
avatar
Tуземец, новичокозавр))
avatar
Tуземец, инвестиции в будущее! Всё правильно!




avatar
asfa, вот смотри какую муйню пишет один из них
В общем, свою торговлю я представляю так: я с ванилью против пидоргов, кто-то зовет их куклом, но это всего лишь роботы (БФО, хеджеры, линейные болваны на машках, параболиках и прочая нечисть).

 за такие фантазии ему надо фанеру пробить до самого маржинкола)))
avatar
«Изменение цены БА носит случайный характер и на него невозможно воздействовать» я такого на нашей бирже, что-то не припомню.
Карлссон ты же постоянно с Куклом бодаешься.Какой такой случайный характер!? Экспира будет там, где надо!
avatar
Сергей, 
Какой такой случайный характер!? Экспира будет там, где надо!

Полностью согласен! 

Только есть одно но… Кукл знает, где цена будет в четверг, он видит все наши карты, а мы этого не знаем.
avatar
Карлосон, скажи, как считать цену пута в CL на нулевом страйке?
BadLogic, каждый ММ имеет свою методу, но цена явно должна быть больше 0)
avatar
BadLogic, да считай что нулю равна...
когда далеко от нуля, считай что погрешность почти нулевая...
а когда он начнет подходить к нулю и проваливаться в ад — там начнет всё так скакать, что реально станет не до теоретических подсчетов и погрешностей — считай по цене экспирации ± бонус на глаз
Вот поэтому математики и проигрывают))Плюс у «кукла», как правило, гораздо больше ресурсов и он может их сконцентрировать на нужном направлении))
avatar
Сергей, не все математики проигрывают, есть также и счастливчики))
avatar
KarL$oH, 
avatar
110 колл и 90 пут, которые оба вне денег на 10%, должны иметь одинаковую теоретическую стоимость.

в относительных величинах эти два страйка НЕсимметричны, поскольку:
110/100 = 1.1
100/90 = 1.111(1)



Но если мы допускаем в модели Блэка-Шоулза логнормальное распределение, то стоимость 110 колла всегда будет выше стоимости 90 пута.

если цена находится на сотом уровне, тогда с учетом логнормали это ведь 90-й страйк должен стоить чуть дороже 110-го?
avatar
Ave, неправильно считаете. Правильно считать так, цена может вырасти на 10% относительно текущей 100, будет 110, также цена может упасть на 10% относительно текущей 100, будет 90.

А 11,(1)% говорит о том, что если рынок упал на 10% со 100 до 90, то затем ему необходимо вырасти на 11, (1)%, чтобы вернуться к прежним значениям.
avatar

KarL$oH, да правильно он вроде считает… и не «на» а «в»… то есть реально оно не вырастает на 10% а в в 1.1 раза увеличивается… и уменьшается...   другое дело, что реально пох на такие тонкости поскольку когда числа малые — всё едино… а когда вырастает на 50%, тут что «на», что «в» — уже не важно -  как ни считай, всё равно настает временная жопа всякой заумной теории.

 

KarL$oH, мне почему-то казалось, что в случае с логнормальными приращениями считают таким образом (на примере БА):

при падении цены со 100 до 50, ваш депозит уменьшится в 2 раза;
а при росте со 100 до 200, он «симметрично» увеличится в 2 раза. 

Соответственно, риски и премии в опционах должны вычисляться исходя из относительных изменений. Но я не претендую на продвинутые познания в опционной тематике, так что не буду спорить.
avatar
KarL$oH, Здравствуйте, хочу попробовать заработать на опционах, читаю книжку «покупка и продажа волатильности», как думаете, от нее будет польза? 
Ave, 90/100 = 0.9 

-ln(0.9)>ln(1.1)

До 90 цене идти дальше, значит 90 страйк дешевле.
avatar
пожалуй скопирую твои темы и выпущу книгу 
Новички опционами не интересуются)
avatar
 Ну шо за жисть?? 

Вроде практикующий опционщик выдаёт материал новичкам...
К Логунову заглядываешь — он формулы тычит...

Хде золотая середина? 
avatar
alfatest, не понял «хде золотая середина»...

покупка опциона это фиксирование убытка (маленького)

Не всегда. По-разному.
Можно за 1 сделку потерять все 100% средств за… час/несколько минут.

продажа опциона это ОГРОМНАЯ жопа (возможно)… с вероятностью <1%
Жопа не всегда огромная. Разная жопа бывает… (всё как у девушек )
Вероятность почти всегда 50/50! (даст/не даст — всё как у девушек  )
avatar
alfatest, вот!
А то вероятность, %-ы...
ЖОПА! Своя и жены. 

(А у кого жены нет? Только своя?  )
avatar
Предположим, что цена фьюча РИ составляет ровно 100 000. Если мы принимаем во внимание нормальное распределение возможных цен, то 110 колл и 90 пут, которые оба вне денег на 10%, должны иметь одинаковую теоретическую стоимость. 

Даже в модели Башелье это  верно только в случае нулевых процентных ставок, что в общем случае встречается редко.
avatar
DR. LECTER, в ЕС ставка сейчас нулевая, то есть для подсчета европейских опционов на активы самое оно будет. Натенберг не зря же пишет, что трейдер должен понимать разницу между рынками, которые он торгует.
avatar
Логнормальный пост.
По делу и без зауми.

Кому не нравятся отрицательные цены, вернее их отсутствие — надо различать товарные рынки от валютных, валютные от фондовых.

Считать отрицательные цены предлагаю очень просто — надо  «подвинуть» все цены на уровень. Допусим, дно нефти по конкретному инструменту брать за -40, это значит -40 это 0, -37 это 3, 10 это 50, 30 это 70 и т.д.

К примеру, при подсчете корреляции нефть / USDRUB, которая как известно обратная, лично у меня поход обратной цены как 1/price не работает, а поход придуманный уровень минус цена (например, 145-price) отлично зеркалит график и корректно считает корреляцию.
avatar

теги блога KarL$oH

....все тэги



UPDONW