Блог им. Buybuy

Казиношная задачка - specially for Vincent Demidoff (нелюбитель математики)

Доброй ночи, коллеги!

Ну, раз математика ничего не стоит в трейдинге — попробуем применить ее в реальной жизни.
Итак — поздней ночью мы зашли в казино.
Выбрали рулетку и сделали 100,000 бросков (попросили крупье быть пошустрее). Зеро заклеили скотчем — выпадает только красное и черное.
Потом повторили этот эксперимент 100500 раз. Получили 100500 различных траекторий (красное +1, черное -1)

ВОПРОСЫ:
1. Какой процент из 100500 траекторий вернется в нулевую точку? (красное выпадет примерно столько же раз, что и черное)
2. Как будет устроена типичная траектория?

С уважением
★3
28 комментариев
При таком случайном блуждании типичная траектория всё реже и реже будет возвращаться в нулевую точку, так что будут периоды затяжного выигрыша и проигрыша. При этом, основное время траектория будет проводить вдали от нулевой точки и «казаться нечестной». Для тех, кто хочет разобраться, почему это так, стоит почитать про закон арксинуса.

Математическое моделирование приводит примерно к таким графикам.Примеры траекторий случайного блуждания

avatar
_sk_, уважаемый

Вы абсолютно правы.
Однако все еще страннее — у типичной траектории экстремум будет приходиться на начало или конец.
В частности, типичная траектория — заведомо выигрышная или заведомо проигрышная.

С уважением
avatar
Поскольку многоуважаемый мэтры молчат, позволю себе высказать предположение. Если зеленых и красных одинаковое количество, 18 красных и 18 зеленых, и все они расположены равномерно, т.е. заклеенных зеро просто не существует, то модель по-сути ничем не отличается от подбрасывания монетки: 

E[S(t)] = 0

Через большое количество шагов, результат будет нормально распределен относительно нуля. Т.е. процент около нуля можно найти по формуле плотности вероятности для нормального распределения:


сигма = 1, Мю = 0, x = 0, получаем 1 / SQRT(2*pi) = 0,3989422804, т.е. примерно 40% будет сходится к нулю. 
avatar
Dmitryy, и все же прав уважаемый _sk_

К сожалению, решение неэлементарное.

С уважением
avatar
Мальчик Buybuy, с уважением конечно, но прошу просветите, что я делаю не так, буду благодарен.

Создал следующий код для моделирования (в LINQPad):

var rnd = new Random();
var arr = new List<int>();

for (var j = 0; j < 105000; j++)
{
  var sum = 0;

  for (var i = 0; i < 100000; i++)
  {
    sum += rnd.Next(0, 2) > 0? 1: -1;
  }

  arr.Add(sum);
}

arr.Dump();


Подождал примерно 5 минут, скопировал в эксель и получил такую гистограмму:

avatar
Dmitryy, Вы правы — ерунду написал

Хвосты, конечно, распределятся нормально, т.к. у C(T) такая же форма распределения, что и у C(1).
Правильно написать, что большую часть времени траектория проведет в минусе или в плюсе.

Мои извинения
avatar
Мальчик Buybuy, о, спасибо, теперь мне понятнее.
avatar
Dmitryy, тем не менее

Большинство траекторий вернется в полосу +-СКО*корень(T), а не к начальному значению )))

С уважением
avatar
Мальчик Buybuy, а как тут правильно посчитать СКО?
avatar
Dmitryy, элементарно

Если случайная величина с вероятностью 1/2 принимает значение 1, а с вероятностью 1/2 принимает значение -1, то и дисперсия, и СКО = 1.

С уважением
avatar
Мальчик Buybuy, да, это для моделирования одного случая из 100,000, а у нас 100,500 таких случаев, или это я уже смешиваю не смешиваемое)
avatar
Мальчик Buybuy, кстати если отсортировать результаты эксперимента, и построить график, получится нечто подобное графику арксинуса:



Совпадение?

avatar

Dmitryy, Вы неправильно прикинули дисперсию после 100500 бросков.

 

Даже из Вашей формулы видно, что вероятность оказаться в малой окрестности нуля исчезающе мала (и ее надо считать не подстановкой параметров в плотность вероятности, а интегрированием по интервалу).


Далее, поскольку дисперсия распределения растет как N, то искомая вероятность стремится к 0 с ростом числа бросков. Думаю, можно даже прикинуть скорость сходимости.

avatar
«Что нам делать с пьяным матросом?»
Борис Гудылин, элементарно

Пусть 105000 матросов сделают 100000 шагов каждый
Тогда практически ни один из них через 100000 шагов не вернется в начало

С уважением
avatar
Мальчик Buybuy, спасибо.
Борис Гудылин, и здесь ошибся

Сегодня в п.1 в роли «пьяного матроса» выступил я (((

Мои извинения
avatar
Мальчик Buybuy, тем не менее

Большинство матросов вернется в полосу +-СКО*корень(T), а не к начальной точке )))

С уважением
avatar
Борис Гудылин, Какую разновидность задачи следует рассматривать?
1) Когда матрос движется из точки А в точку В, так сказать «по коридору», или
2) Когда матрос может двигаться на все 360 градусов.
avatar
Ed-ti, не совсем понимаю, почему вопрос адресован мне.

Не стоит себя ограничивать, добавьте еще и трехмерный вариант.
1) уже в основном разобран, выше приведена красочная развертка по времени.
Эта задачка в разных вариантах неоднократно обсуждалась на SL.
Мне такие не очень нравятся, занимаюсь ими только по необходимости.
Как ни странно, единственное, что у меня оказалось в руках при первом знакомстве с графиками 10 лет назад, это был тот самый корень(T) и неконкретное ощущение фрактальности.
А лежащая парабола померещиться действительно может (или не может). 
На закон арксинуса намекаете 
avatar
А. Г., так точно

В слабой и сильной форме.
Не хотел начинать, просто тут один опционный коллега постоянно на полном серьезе утверждает, что 2/3 траекторий неизбежно возвращаются к «центральному страйку»… Имеется в виду не в итоге, а именно доля модельных траекторий одинаковой длины.
А с интуицией в ТВ напряжно. У меня уж точно. Проще посчитать (((

С уважением
avatar
Мальчик Buybuy, для процесса с отрицательными корреляциями соседних приращений и должен возвращаться чаще, а вот с нулевыми — вряд ли такая доля будет. Так что от свойств процесса зависит частота «возврата».
avatar
А. Г., не, ну я же не шутил )))

smart-lab.ru/blog/532863.php

С уважением
avatar
Мальчик Buybuy, я с трудом воспринимаю описание математических моделей словами. Я даже если книжки по трейдингу листаю и не вижу хотя бы одной формулы или таблицы с цифрами на 5 страниц в среднем, то закрываю и кладу обратно на полку книжного магазина.
avatar
А. Г., та же ерунда

Вопреки заявлению Эйнштейна, на пальцах можно объяснить далеко не все.

С уважением
avatar

Черт.
Только собирался пилить пост с моделированием и картинками.
А уже все разжевано, оказывается.

=) Вы мне сэкономили много времени на подготовку материала, благодарю.

 

А коллеге Дмитрий Новиков предлагаю взглянуть на ситуацию двумя другими способами.

 

с1. Бросаем 100 миллионов раз. Траектории являются СВ с распределением N(0, 10000)

Чтобы посчитать вероятность оказаться около нуля предлагаю определить понятие "около" как "0.001*СКО". В нашем случае это 10.

 

Итого, прошу коллегу Дмитрий Новиков посчитать вероятность того, что после 100 миллионов бросков СВ окажется в отрезке [-10; 10].


На всякий случай напоминаю, что если СВ является N(0,10000), то вероятность надо вычислять интегрированием Phi(x|0,10000) по заданному интервалу.

 


с2. Концы траекторий действительно стоят то слева от нуля, то справа.

Поэтому визуально возникает неправильное интуитивное ощущение, что самый вероятный исход для конца траектории — нуль.

 

Чтобы объяснить своей интуиции в чем она облажалась, надо рассмотреть не облако «концов», а поставить задачу формально и изучить распределение другой случайной величины.

 

Вместо изучения суммы (обозначим S), надо изучить "расстояние до нуля".
То есть |S|


ПС И реверанс господину Борис Гудылин :

Можно бросить шарик 100 миллиардов раз, даже триллион раз. Даже гуглион раз. Тем не менее, итоговое распределение останется дискретным с шагом 1.


При этом если количество бросков нечетно, то сумма никогда не окажется в нуле.
S всегда будет >= +1 или <=(-1).

 

Выражаясь формально, S принадлежит множеству Z\{0}

avatar
ch5oh, думаю всё же, еще один пост не будет лишним, тем более здесь коллеги уже не прочтут)
avatar

теги блога Мальчик Buybuy

....все тэги



UPDONW