Про математически оптимальное плечо

Решил написать пост для тех, кто хотел бы разобраться с математикой управления капиталом и расчётом оптимального плеча. Для лучшего понимания начнём с простого примера, потом обобщим его и выведем некоторую формулу. При этом понадобятся математические знания конца средней школы.

Допустим, мы придумали торговую систему, которая даёт следующие прибыли/убытки с равными шансами: -10%, +20%, -5% и +5%. Если сделать 4 трейда по этой системе, вкладывая весь имеющийся в наличии капитал, и каждый из исходов произойдёт ровно по одному разу, то капитал C превратится в
C*(1-0.1)*(1+0.2)*(1-0.05)*(1+0.05) = C*1.0773,
т.е. вырастет на 7.73%.

Пусть у нас есть возможность получить бесплатное плечо и вкладывать удвоенный капитал, тогда по сравнению с исходным капиталом прибыли/убытки составят уже -20%,  +40%, -10% и +10%. В этом случае исходный капитал после 4-х трейдов превратится в
C*(1-0.2)*(1+0.4)*(1-0.1)*(1+0.1) = C*1.1088,
т.е. вырастет на 10.88%, что выгоднее торговли по номиналу.

Если ещё увеличить плечо, скажем, вкладывая упятерённый капитал, то прибыли/убытки на исходный капитал будут -50%, +100%, -25% и +25%, а капитал после 4-х трейдов превратится в
C*(1-0.5)*(1+1)*(1-0.25)*(1+0.25) = C*0.9375,
т.е. капитал не вырос, а уменьшился на 6.25%. Что называется, перебрали с плечом.

Получается, что есть оптимальный коэффициент плеча k, для которого торговля будет самой выгодной. Это k можно подобрать, чтобы произведение
(1-k*0.1)*(1+k*0.2)*(1-k*0.05)*(1+k*0.05)
стало самым большим.

Оставим пока подбор k, и задумаемся, почему рассмотрены только 4 трейда, когда на практике их много. Дело в том, что если совершается большое число N трейдов, то примерно N/4 из них дадут -10%, примерно N/4 дадут +20% и т.д. Пренебрежём этим «примерно» (всё равно из-за случайности по всякому может быть), и будем считать, что точно по N/4 трейдов будет у каждого исхода. Тогда надо максимизировать
(1-k*0.1)^(N/4) * (1+k*0.2)^(N/4) * (1-k*0.05)^(N/4) * (1+k*0.05)^(N/4),
где знак ^ означает возведение в степень.

Мы можем убрать N из степени (поскольку большее положительное число при возведении в некоторую степень даёт больший результат, чем меньшее положительно число при возведении в ту же степень) и максимизировать выражение
(1-k*0.1)^(1/4) * (1+k*0.2)^(1/4) * (1-k*0.05)^(1/4) * (1+k*0.05)^(1/4).
Здесь показатели степеней 1/4 — не что иное, как вероятности каждого из исходов.

Теперь становится понятно, как обобщить исходный пример. Пусть есть трейды, которые случаются с вероятностями p1, ..., pn и дают прибыли/убытки x1, ..., xn. Для подбора оптимального плеча нужно найти такое k, что произведение
(1+k*x1)^p1 *… * (1+k*xn)^pn
будет максимально. Поскольку x и p — это некоторые известные числа, то произведение зависит только от k, т.е. является некоторой функцией f(k).

Я пропущу математические выкладки, поскольку:
1) кто знает, тот сообразит;
2) кто не знает, тот смотрит на итоговую приближённую формулу ниже;
3) кто хочет намёков, тот:
а) находит логарифм от произведения (его максимум достигается при том же k, что и у исходного произведения, а вычислять дальше будет проще),
б) вычисляет его производную и приравнивает к нулю (в точке максимума она нулевая);
в) решать полученное уравнение неудобно, поэтому заменить выражения вида 1/(1+k*x) по формуле геометрической прогрессии на 1-k*x+(k*x)^2 — … и пренебречь всеми членами, начиная с квадратов, после чего придти к уравнению на k, которое уже легко решить.

Итоговая приближённая формула имеет вид:
k = (p1*x1+...+pn*xn) / (p1*x1^2+...+pn*xn^2).

Замечания по поводу формулы понятны:
1) она приближённая, но можно подбирать точное значение k для максимума численно;
2) плечо не бесплатно, но это можно учесть отдельно;
3) в реальном трейдинге вероятности и прибыли/убытки либо неизвестны, либо могут меняться со временем;
4) случайность никуда не денется, может просто повезти/не повезти даже при оптимальных действиях.

В любом случае, лучше понимать, что происходит пусть в модельном примере и делать выводы уже применительно к трейдингу, чем вообще ничего не понимать.

Удачи в торговле!