Применение логарифмов для расчетов со сложным процентом

Когда плотнику нужно что-то сделать, он применяет инструменты — молоток, пилу, плоскогубцы и т.д. Когда нужно что-то посчитать математику или трейдеру, он тоже применяет инструменты. Один из таких инструментов — логарифмы. 

Их используют, чтобы избавиться от проблем с линейной доходностью. Например, в процентах рост нефти от 32 до 35, не одно и то же, что падения от 35 до 32. Но в этом посте я буду их применять для решения задач со сложным процентом.

Иногда нужно посчитать эффект от сложного процента, чтобы понять свои цели по доходностям и деньгам. Чтобы не пытаться выжимать слишком много от микро-счета или наоборот, не довольствоваться слишком маленькими результатами на пути к своим конечным целям. Для этого можно использовать веб-сервисы, которые предоставляют такую возможность. Там компьютерная программа считает путем многократного умножения и выдает таблицу результатов. Но зачем заставлять машину потеть лишний раз, если можно на кончике пера с использованием калькулятора посчитать то же самое и даже решить более интересные задачи. 

Решим несколько практических задач, которые могут возникнуть у любого трейдера. 

1. Пусть у нас есть 1000 рублей и пусть мы хотим сделать из них миллион. Пусть мы делаем стабильно в неделю 10 процентов. Сколько недель уйдет, пока мы достигнем цели?

По сути 10 процентов за неделю — это умножение счета на 1.1.

Значит, нам надо решить уравнение 1 000*(1.1)^x = 1 000 000, и найти x. 

Здесь 1.1 — это множитель, который эквивалентен приросту 10% к счету. 1000 — начальный капитал. 1000000 — целевая сумма.

Сократим на 1 000.

(1.1)^x = 1 000

Возьмем десятичный логарифм с обеих сторон уравнения. 

x*lg(1.1)=lg(1 000)=3
x = 3/0.04139 = 72.4

То есть нужно 73 недели, чтобы сделать из 1000 рублей миллион. Аналогично можно получить, что при счете 10000 понадобится 49 недель. При счете 100 000 25 недель. При счете 10 000, если мы делаем лишь 2% в неделю, нам понадобится 232 недели или примерно 4.5 года. 

2. Пусть ты хочешь заработать на квартиру в Москве 5 миллионов. Сколько у тебя должно быть денег, чтобы делая по 10 процентов в неделю у тебя ушел 1 год?

Уравнение в этом случае: y*(1.1)^52 = 5 000 000. 

Здесь y — начальный капитал, который нужно найти. 52 — число недель в году.

Логарифмируем:

lg(y)+52*lg(1.1)=lg(5*1000 000)=lg5+6

lg(y)=0,6989+6-2,1524=4,5465

y=35196,5 или примерно 35 тыс

Таким образом, достаточно 35 000 рублей начального капитала, чтобы сделать за год квартиру в Москве. 

Здесь еще не учтен налог 13%, поэтому реально надо сделать больше немного ). 

3. Пусть у нас есть 100 000 рублей. Мы хотим сделать квартиру в Москве за 1 год. Сколько процентов в неделю мы должны делать на бирже?

Составим уравнение:

100 000 * z ^ 52 = 5 000 000

Здесь z — множитель, на который должен умножаться счет каждую неделю. 

Сократим на 1 000 000:

0.1*z^52=5

Прологорифмируем:

lg(0.1)+52*lg(z)=lg(5)

lg(z)=0.03267

z=1,07812

То есть при счете 100  000 рублей, достаточно стабильно делать 7.8% в неделю, чтобы за год накопить на квартиру.