Идеальная ставка. Часть 2. Блек-джек и ставки на ипподроме по науке. Научный подход в азартных играх

Идеальная ставка. В азартных играх на смену удаче приходит научный подход.
Электронная книга t.me/kudaidem/1867

Часть 1 https://smart-lab.ru/blog/675973.php 

3. блек-джек. Из Лос-Аламоса – в Монте-Карло.

Эдвард Торп, в 1962 году опубликовал книгу «Обыграй дилера», где описал успешную стратегию для блек-джека.

Две его книги: «Обыграй дилера» и «Человек на все рынки: из Лас-Вегаса на Уолл-стрит. Как я обыграл дилера и рынок» можно найти под видео.

Торпа часто называют отцом карточных подсчетов, однако на самом деле идея идеальной стратегии для блек-джека родилась в военных казармах. 

Как и все азартные игры, блек-джек «заточен» под интересы казино. Игрок и дилер преследуют одну и ту же цель – собрать комбинацию карт с числом очков, максимально близким к 21, однако дилер находится в привилегированном положении, потому что первым карту берет игрок.

Если на дополнительной карте он перебирает с числом очков, то выигрывает банкомет, даже ничего не делая.

Блек-джек обладает своего рода памятью: по ходу игры дилер постепенно перебирает всю колоду.

Если фиксировать, какие карты уже сыграли, это помогло бы предугадать выпадение следующих.

Торп начал отмечать, какие карты вышли, постепенно превращая идею четырех абердинских военнослужащих – позже их назовут «четыре всадника Абердина» – в выигрышную стратегию.

Билл Бентер – один из самых успешных игроков в мире. Его базирующийся в Гонконге синдикат заработал на лошадиных скачках миллионы долларов.

Бентер применил разработанную Торпом систему на практике.

В свои 20 с небольшим лет, Бентер всего за год заработал на блек-джеке около 80 тысяч долларов.

После того как Торп опубликовал результаты своих исследований, казино начали вылавливать счетчиков.

Одна из главных сложностей в подсчете карт – помимо необходимых умственных усилий – заключается в том, что собрать достаточно информации для прогнозов игрок может лишь после того, как увидит большое количество выпавших карт.

Пока вы наблюдаете, у вас нет другого выбора, кроме как следовать оптимальной стратегии Болдуина и делать небольшие ставки, снижая риск проигрыша. Когда вы наконец решите, что следующая карта принесет вам удачу, надо резко увеличить ставку, чтобы получить максимальную выгоду. Увидев это, любой сотрудник службы безопасности казино немедленно поймет, что за столом находится счетчик.

«Научиться считать карты легко, – заметил как-то один из профессиональных игроков в блек-джек, – трудно научиться считать их так, чтобы тебя не застукали».

Казино – это частные компании, они имеют право пускать или не пускать к себе кого заблагорассудится.

Торп, желая избежать изгнания, начал менять внешность.

Вдохновленный работами Пуанкаре, математик Борель нашел способ просчитать, насколько быстро карты достигнут равномерного распределения.

Этот алгоритм и по сей день используется при расчетах «времени перемешивания» в хаотических процессах, будь то тасование карт или взаимодействие химических веществ.

А игрокам в блек-джек работа Бореля помогла решить одну важную проблему.

Чтобы усложнить жизнь счетчикам карт, устроители казино начали использовать несколько колод, иногда числом до шести, тщательно тасуя их перед игрой. Таким образом они надеялись усложнить процесс подсчета и лишить игроков преимущества. Однако они не учли, что подобное нововведение не лучшим образом скажется на качестве перетасовки карт.

(рис. 5. Шаффл «ласточкин хвост».)

В 1970-х в казино получил распространение способ тасования (на карточном жаргоне – шаффл) под названием «ласточкин хвост».

Для его выполнения колода делится на две части, а затем одна половина карт врезается в другую.

Если шаффл выполнен идеально и карты из обеих частей строго чередуются, информацию о расстановке карт в колоде восстановить легко: для этого достаточно проследить за каждой второй картой. Расстановку можно до известной степени воссоздать, даже если карты из каждой половины колоды будут браться случайным образом.

На этом шаффле основано несколько карточных фокусов: если поместить любую карту в упорядоченную колодуи перетасовать колоду один или два раза, узнать эту карту не составит труда, так как она будет выбиваться из восходящей последовательности.

Чтобы ликвидировать следы легко считываемой последовательности, нужно перетасовать колоду из 52 карт по меньшей мере шесть раз.

Но, казино не всегда проявляли такую добросовестность.

В начале 1980-х игроки начали использовать для наблюдения за колодой скрытые компьютеры. Информацию в них можно было вводить с помощью переключателя, и при возникновении благоприятной ситуации в устройстве возникала вибрация. Количество используемых колод значения уже не имело. Устройства позволяли не привлекать внимание службы безопасности казино: если компьютер подсказывал, что хорошие карты появятся на следующей руке, игрокам не было необходимости резко поднимать ставки.

Но, эта система просуществовала недолго: с 1986 года использование компьютеров в американских казино было объявлено вне закона.

Вудсу и Бентеру, как и Торпу, все казино мира в конце концов отказали в доступе.

«Как только становишься известным, мир становится очень маленьким».

Вудс и Бентер ушли из блек-джека. Но покидать игровую индустрию они не собирались. Партнеры планировали заняться куда более серьезными играми.

В Гонконге на ипподроме «Хеппи-Вэлли»: в 2012 году в день скачек общая сумма ставок достигла 145 миллионов долларов. 

Аналогичный показатель того же года на дерби в Кентукки составил 133 миллиона, и это был американский рекорд.

В Гонконге игроки делают ставки по так называемой системе «пари мютюэль».

Ставки размещают у букмекера не по фиксированному коэффициенту; деньги игроков формируют общий пул, и коэффициент зависит от того, какая сумма поставлена на каждую лошадь.

Представим, в забеге участвуют две лошади: на первую поставлено 200 долларов, на вторую – 300. Эти деньги составляют общий пул ставок.

Организаторы игр вычитают свою долю – в Гонконге она составляет 19 %, то есть при сумме 500 долларов в общей кассе остается 405.

Затем организаторы высчитывают коэффициент для каждой лошади – сумму, которую получит выигравший игрок на каждый поставленный доллар, поделив общую сумму ставок (405 долларов) на сумму ставок на конкретную лошадь.

Соответственно, коэффициент на первую лошадь составит 2,03. А на вторую — 1,35.

В тотализаторе зрители фактически делают ставки друг против друга.

«Счастливую» лошадь вычисляют по разным признакам. 

Решающую роль может сыграть репутация жокея, а иногда даже вес и возраст лошади.

Если в тотализаторе принимает участие достаточно много народу, то «правильный» коэффициент лошади должен отражать ее реальные шансы на победу. Иными словами, тотализатор – достаточно эффективная система, позволяющая собрать воедино разрозненную информацию о каждой лошади, не давая явного преимущества ни одному игроку. По крайней мере, этого мы ожидаем. На деле это не так.

Если коэффициент лошади на табло тотализатора равен 100, это значит, что ее шансы на выигрыш составляют 1 %. 

Игроки часто проявляют излишнюю щедрость, оценивая шансы на победу слабой лошади. И наоборот: игроки склонны недооценивать перспективы лошади-победителя.

Эффект предвзятости при оценке фаворитов и аутсайдеров часто приводит к тому, что лошади, входящие в топ-список, имеют больше шансов на победу, чем можно судить по коэффициентам. 

В спортивном тотализаторе бетторам необходима стратегия, которая будет прибыльной, даже когда букмекеры забирают себе 19 %.

Коэффициенты на скачках не всегда объективно отражают шансы лошади на победу.

Как и в случае с блек-джеком, ипподром «Хеппи-Вэлли» не был надежно защищен от хитрых игроков.

А в 1980-х стало очевидным, что кое-кому эта уязвимость может приносить громадный доход.

Если, играя в тотализатор, публика совершает систематические и распознаваемые ошибки, из этой ситуации можно извлечь выгоду, разработав превосходящую стратегию ставок.

Болтон и Чэпмен решили, собрав доступную информацию обо всех участниках забега – например, процентное соотношение выигрышей и проигрышей, среднюю скорость каждой лошади и так далее, – конвертировать их в оценку вероятности ее выигрыша.

Это положила начало многомиллиардной индустрии.

Итак, в чем же заключался секрет?

Метод «множественной регрессии» рассматривает несколько потенциально влиятельных факторов, он установил, каким образом каждый из них воздействует на заданный результат.

Болтон и Чэпмен попытались найти применение методу «множественной регрессии»  в оценке разных факторов, влияющих на шансы лошади на ипподроме. Что важнее: ее вес или процент выигранных забегов? Существует ли зависимость между скоростью лошади и репутацией жокея?

Болтон интересовало моделирование выбора – область экономики, которая исследует, как меняются прибыли и издержки в зависимости от принятия того или иного решения. 

Исследователи предположили, что шансы конкретной лошади на выигрыш зависят от ее квалификации, для определения которой они сопоставляли ряд факторов, например, таких как стартовая позиция.

Чем меньше был номер, под которым выступала лошадь, тем ближе к внутренней части беговой дорожки она стартовала, что увеличивало ее шансы на победу, так как ей приходилось преодолевать меньшее расстояние. Основываясь на методике регрессионного анализа, исследователи предположили, что увеличение стартового номера приведет к снижению квалификации.

Другой фактор – вес лошади. Здесь связь с квалификацией менее очевидна: в некоторых соревнованиях действуют весовые ограничения, не позволяющие выступать «тяжелым» лошадям, хотя у быстрых лошадей вес часто бывает выше среднего.

Болтон и Чэпмена положились на регрессионный анализ и искали зависимость между весом и квалификацией.

Квалификация зависит от девяти возможных факторов, включая вес, среднюю скорость на последних забегах и стартовую позицию. 

Схема наследованияпо Местону демонстрирует влияние родственников на характерные черты ребенка, однако не дает полной картины, так как у человека не все черты – наследственные.

(рис.8 Схема наследования по Местону)

Свое воздействие на ребенка оказывают факторы, связанные с окружающей средой, в том числе скрытые.

Научившись измерять квалификацию лошади, исследователи конвертировали полученные данные в прогноз на победу каждой лошади. Они рассчитывали суммарную квалификацию лошадей в забеге и определяли вероятность победы конкретной лошади в зависимости от ее вклада в общий показатель.

Перенос данных на компьютер был непростой задачей: на ввод информации по одному забегу уходило около часа.

Наиболее важным фактором для принятия решения о ставке оказалась средняя скорость.

 Так же как игроки, выискивавшие рулетку с дефектом, он надеялся получить действенный инструмент прогнозирования без скрупулезного разбора факторов, лежащих в его основе.

Достаточно выделить для каждого забега некий показатель, характеризующий победителя, а затем обобщить эти показатели в полном соответствии с данными выигравших лошадей. Вам кажется, что вы создали безупречную модель, но на самом деле вы лишь подогнали свой прогноз под заранее известные результаты.

Если игроки хотят узнать, сработают ли их стратегии в будущем, они должны проверять их на свежих данных.

Поэтому синдикаты, собирая информацию о состоявшихся забегах, игнорируют часть результатов, строят систему прогнозов на оставшихся, а затем тестируют ее на прежде не использовавшихся данных. Это позволяет проверить, как модель ведет себя в реальных условиях.

Тестирование на свежих данных помогает убедиться, что модель удовлетворяет научному принципу «бритвы Оккама»: если перед вами стоит выбор между несколькими объяснениями наблюдаемого события, лучше всего взять самое простое.

Если вы хотите построить модель реального процесса, вы должны отсечь от нее все, чему нет объяснения.

Определить степень точности можно при помощи статистического показателя под названием коэффициент детерминации.

Коэффициент имет величину от 0 до 1 и применяется для измерения аналитического потенциала регрессионной модели.

Показатель «0» говорит о том, что модель не работает вообще; показатель «1» означает, что прогнозы точно совпадают с полученными результатами.

Если вы ищете экспериментальную площадку для изучения лошадиных скачек, Гонконг – это то, что вам нужно. Забеги здесь проводятся на одной-двух дорожках, так что комфортные лабораторные условия вам обеспечены.

Объект вашего исследования также будет относительно стабилен: в США по всей стране соревнуются десятки тысяч лошадей, тогда как в Гонконге существует закрытый пул примерно из тысячи животных.

В год проводится не более 600 соревнований, и одни и те же лошади соревнуются друг с другом снова и снова, а значит, вы сможете наблюдать похожие события по нескольку раз.

Для прогноза надо проанализировать от 500 до 1000 забегов.

Если взять меньше, не удастся учесть влияние на итог разных факторов, и модель будет нерелевантной. 

В прогнозах Болтон и Чэпмена был использован фундаментальный анализ.

Предположим, Вы решили приобрести книжный магазин.

Можно составить список магазинов, которые вы хотели бы купить, посетить каждый из них – посмотреть ассортимент, пообщаться с сотрудниками, провести аудит.

А можно просто сесть у дверей магазина и подсчитать, сколько посетителей в него входит и сколько из них выходит с покупкой.

Эти две противоположные стратегии отражают два основных способа инвестирования. Если вы досконально изучаете состояние компании, это значит, что вы проводите фундаментальный анализ; если вы наблюдаете, как компанию оценивают другие, значит, вы проводите технический анализ.

Если синдикаты хотят заработать на ипподроме, они должны перехитрить других игроков. И тут фундаментального анализа мало.

Бентер искал оверлеи – лошадей, имевших, согласно его расчетам, больший шанс на выигрыш, чем тот, что подразумевают сделанные на них ставки. Именно на таких лошадей он ставил бы, если бы надеялся переиграть других бетторов.

Но, ознакомившись с результатами забегов, Бентер обнаружил, что лошади в ситуации оверлея приходили к финишу первыми не так часто, как согласно его выкладкам должны были.

Даже если у группы бетторов есть своя система, не стоит игнорировать и мнение публики о шансах лошадей на выигрыш (его нетрудно увидеть на табло тотализатора), так как не все игроки делают ставки, основываясь лишь на информации из открытых источников.

Кто-то может знать подробности стратегии, выбранной жокеем для забега, или обладать сведениями о режиме питания и тренировок лошади. Когда игрок пытается капитализировать эксклюзивную информацию, его действия влияют на ситуацию на табло.

Разумным решением было бы комбинировать два доступных источника экспертной информации – собственные расчеты и коэффициенты ставок на тотализаторе.

Шансы лошади на победу находятся между вероятностью, диктуемой моделью, и вероятностью, вытекающей из сделанных ставок. 

Игроки прибыли в Азию с капиталом в 150 тысяч долларов и за два года потеряли все.

В 1986 году дела пошли на поправку: модель Бентера, состоявшая из сотен тысяч строк программного кода, была готова к запуску.

Вудс и Бентер собрали достаточно информации о результатах скачек, чтобы генерировать качественные прогнозы. За год, делая ставки согласно системе, они заработали 100 тысяч долларов.

В скором времени Вудс и Бентер сформировали конкурирующие синдикаты и принялись играть в Гонконге друг против друга.

Позже Вудс признал, что у команды Бентера модель была лучше, но в последующие несколько лет обе группы сумели существенно увеличить прибыль.

В настоящее время в Гонконге действует несколько синдикатов, применяющих для вычисления результатов забега математические модели.

Но просто угадать победителя сегодня недостаточно, так как это не приносит большой прибыли, и синдикаты предлагают более сложные ставки – например, на трех первых лошадей, которые придут к финишу в определенном порядке (так называемый «тройной экспресс» или трифекта). Кроме того, есть «три тройки» – ставка, предполагающая угадывание трех трифект подряд. Эти экзотические ставки могут принести огромный выигрыш.

Один из недостатков оригинальной модели Болтон и Чэпмена заключается в том, что она рассматривает всех лошадей как в равной степени предсказуемых.

Это предположение облегчает расчеты, но грешит против реальности. 

Игрокам помогла одна старая теория, первоначально выдвинутая группой математиков, работавших над созданием водородной бомбы.

В частности, исследователи бились над проблемой прогнозирования цепной реакции в процессе детонации. Для этого требовалось вычислить частоту столкновения нейтронов и выяснить количество выделяемой бомбой энергии.

Математик Джон Фон Нейман был человеком проницательным, а его привычка находить во всем логическую закономерность порой доходила до откровенной бестактности.

Однажды во время поездки в поезде он попросил кондуктора прислать к нему продавца сэндвичей. Кондуктор проворчал: «Пришлю, если увижу».

На что фон Нейман ответил: «Разве мы движемся не в евклидовом пространстве?».

Джон Фон Нейман разработал метод прогнозирования цепной реакции при помощи многократного моделирования столкновения нейтронов.

Метод назвали «методом Монте-Карло».

Метод заключался в многократной имитации случайных событий. 

Генерирование случайных чисел – задача сложная, а для проведения испытания ученым требовалось очень много таких чисел.

На исход скачек оказывают влияние более сотни факторов. При изменении любого из них меняется и прогноз, причем число вариантов изменений с трудом поддается подсчету. 

Следовало найти метод, обладающий некой формой памяти.

Пуанкаре и Борель были не единственными учеными, которые в начале ХХ века интересовались расположением карт в колоде.

Этот вопрос занимал и Андрея Маркова – русского математика, известного своим ярким талантом и кипучим темпераментом, за что в молодости он даже получил прозвище Андрей Неистовый.

В 1907 году Марков опубликовал работу о случайных событиях, в которых задействован фактор запоминания.

Одноступенчатая память получила название «марковского свойства»; когда случайные события повторяются несколько раз подряд, говорят о «цепи Маркова».

Ее можно встретить в самых разных азартных играх – от карточных до «змеек» и «лесенок». Также это явление может помочь при поиске скрытой информации.

В Стэнфорд обратился психолог из местной тюрьмы с просьбой решить математическую головоломку: закодированные письма заключенных, каждое из которых состояло из кружочков, черточек и точек.

Заключённые использовали подстановочный шифр, и каждый символ – это отдельная буква. Трудность заключалась в том, чтобы понять, какая буква скрыта за каким символом.

Задачу можно было попробовать решить методом проб и ошибок. При помощи компьютера попробовали разные комбинации букв и проверять полученный текст до тех пор, пока в нем не появится смысл.

В этом и заключается метод Монте-Карло. 

Но, было решино не угадывать наобум, а использовать марковское свойство, чтобы предположения раз за разом становились все более точными. Для начала требовалось оценить качество каждого предположения.

Загрузив в компьютер роман «Война и мир», проанализировали, как часто в тексте встречаются различные пары букв. Это помогло понять, с какой вероятностью эти сочетания букв должны появляться в зашифрованных письмах.

Случайным образом включая в шифр пару букв и проверялось, улучшилась ли его догадка. Если полученное буквосочетание больше, чем предыдущее, походило на фрагмент осмысленного текста, двигались дальше, если нет – возвращались к предыдущему предположению.

Идея комбинирования метода Монте-Карло с марковскими свойствами впервые зародилась в лабораториях Лос-Аламоса.

Там пытались понять механизм взаимодействия между отдельными молекулами.

Для этого необходимо было решать уравнения, описывающие столкновение частиц, – почти невыполнимая задача, учитывая уровень вычислительной техники тех времен.

Соединив метод перебора Монте-Карло с цепью Маркова, ученые-физики смогли сделать заключение о свойствах вещества, исходя из взаимодействия его частиц. 

Прием, получивший название «марковской цепи Монте-Карло», по сути, основывался на том же подходе, который использовался для расшифровки тюремных сообщений.

Для взлома тюремного кода потребовалось проверить несколько тысяч вариантов буквосочетаний, что заняло намного меньше времени, чем расшифровка сообщения путем обычного перебора.

Одна из тюремных записок повествовала о драке: «Тот парень орал как ненормальный а я говорю por favor чувак завали дупло я тут в шахматы играю».

Чтобы расшифровать тюремные письма, необходимо было рассмотреть набор ненаблюдаемых величин (букв, каждая из которых соответствовала определенному символу) и проанализировать их в составе буквосочетаний – той единицы, которую он мог выделить.

В лошадиных скачках игроки в тотализатор сталкиваются с похожей проблемой. Они не знают ни того, насколько непредсказуем каждый участник забега, ни того, как каждый возможный фактор повлияет на прогноз. Но для отдельно взятого уровня неопределенности и ограниченной комбинации факторов можно вычислить степень совпадения прогнозируемого результата с реальными итогами забега. 

Закончив работу над системой для блек-джека, Торп заинтересовался проблемой управления игровыми финансовыми ресурсами. Какую сумму лучше всего ставить, если понимаешь, что у тебя есть перед казино некоторое преимущество? Ответ ученый нашел в стратегии под названием «критерий Келли».

При продолжительной игре процентный размер ставки (РС) должен быть равен прогнозируемому игроком коэффициенту (ПК), поделенному на реальный коэффициент (РК):

( РС % = (РК × ПК – 1) / (РК – 1).)

В теории ставка с этой суммой гарантирует хорошую прибыль без риска разориться.

Если вы играете в «орла или решку» и ставите один доллар на решку, то в случае выигрыша получаете в качестве вознаграждения заслуженный доллар. Тот, кто предложит вам снова поставить уже два доллара, окажет вам услугу: теперь с вероятностью 50 % вы можете выиграть два доллара и с такой же вероятностью – проиграть один доллар, то есть ожидаемая прибыль составит 50 центов.

Какой суммой вы отважились бы рискнуть, если бы вам позволили увеличить ставку? 

Критерий Келли составит ожидаемый выигрыш (полдоллара), поделенный на потенциальный выигрыш (два доллара). В этом случае величина равна 0,25, что означает, что вы должны поставить четверть от имеющейся у вас суммы. 

Участники тотализатора могут узнать вероятность победы определенной лошади согласно применяемой ими модели, видя на табло, как оценивает ее шансы публика. И если, по мнению публики, шансы на победу у лошади ниже, чем предсказывает модель, появляется возможность выиграть хорошие деньги.

Шансы лошади зависят от поставленной на нее суммы, соответственно, чем больше игроков ставит на одну и ту же лошадь, тем меньше денег причитается каждому из них в случае ее победы.

Даже одна большая ставка может кардинально изменить ситуацию. 

В определенный момент в тотализаторе возникает ситуация, при которой чем больше ставок сделано на выбранный номер, тем меньше ожидаемая прибыль.

За минувшее десятилетие научный беттинг набрал популярность, и сегодня в Гонконге существует несколько игровых синдикатов, занимающихся прогнозированием результатов скачек. Они-то и делают ставки в последние минуты. Как выразился Билл Бентер:

«Поздние деньги – это, как правило, умные деньги».

Однако игроки должны помнить о возможном неблагоприятном сценарии развития событий: другие игроки тоже будут ставить на вероятного победителя, а значит, потенциальный выигрыш будет разделен между бо́льшим числом людей.

В последние десять лет и на американских ипподромах доминируют игроки, делающие научно обоснованные ставки. На ставки, сделанные при помощи компьютерных моделей, ежегодно приходится более двух миллиардов долларов, или около 20 % всей разыгрываемой суммы.

Некоторые ипподромы, отмечая резкий рост выручки, сопровождающий высокие ставки игровых синдикатов, стали поощрять «компьютерный» подход.