Блог им. bstone

Функция нормального распределения в формулах стоимости опционов

    • 25 февраля 2018, 15:21
    • |
    • bstone
  • Еще
Попробую доступно показать, откуда берется в формулах стоимости опционов функция распределения Гаусса.

Итак исходное уравнение Блэка-Шоулза:

Функция нормального распределения в формулах стоимости опционов

где V — цена опциона, S — цена спота, r — ставка, ну и сигма в представлении не нуждается.

Это параболическое дифференциальное уравнение в частных производных. Решать можно несколькими способами, но я не буду этого делать, а сразу запишу решение, т.к. его вывод  не имеет значения для цели этого топика.

Чтобы слегка упростить запись, введу переменную времени, оставшегося до экспирации:

Функция нормального распределения в формулах стоимости опционов

Решение уравнения БШ тогда можно записать в следующем виде:

Функция нормального распределения в формулах стоимости опционов

где Payoff(S) — это функция выплат опциона. Для опциона кол:

Функция нормального распределения в формулах стоимости опционов

Соответственно цена кола:

Функция нормального распределения в формулах стоимости опционов

поменяем переменную интегрирования на

Функция нормального распределения в формулах стоимости опционов

тогда

Функция нормального распределения в формулах стоимости опционов

Считать стоимость опциона по этой формуле не очень просто, но рассмотрим сначала второе слагаемое:

Функция нормального распределения в формулах стоимости опционов

Сложно не заметить сходство с функцией нормального распределения:

Функция нормального распределения в формулах стоимости опционов

В силу популярности нормального распределения для этой функции существует немало аппроксимаций и способов вычислить ее численно. Та или иная реализация имеется, без преувеличения, в любом статистическом пакете.

Если нам удастся выразить второе слагаемое через эту функцию, то считать стоимость опционов будет намного легче. Так что овчинка стоит выделки!

Заменим переменную интегрирования во втором слагаемом выше на

Функция нормального распределения в формулах стоимости опционов

и получим

Функция нормального распределения в формулах стоимости опционов

где

Функция нормального распределения в формулах стоимости опционов

С первым слагаемым не так очевидно, но все же не очень сложно. Сначала надо подвести дополнительное слагаемое в экспоненте под квадрат, а далее действуем аналогично второму слагаемому. Поэтому здесь я сразу запишу результат:

Функция нормального распределения в формулах стоимости опционов

где 

Функция нормального распределения в формулах стоимости опционов

В итоге получаем, что хотели:

Функция нормального распределения в формулах стоимости опционов

Ну теперь уж должно быть очевидно, что функция распределения Гаусса в формулах стоимости опционов БШ не более чем очень удачный способ упростить вычисление интегралов в исходном решении уравнения БШ.

Это очень элегантная техническая деталь но тот факт, что дельта опциона выражается через N(x) — всего лишь следствие записи производной от V(S,t) по S с использованием преобразований, аналогичным использованным выше, и никакого отношения к вероятности выхода опциона в деньги он не имеет.

★9
«Попробую доступно показать....» © )))))))))))))))))
avatar

vitsantal

vitsantal, да, тут приходится прямо-таки на пальцах объяснять :)
avatar

bstone

bstone, элегантность технических деталей путаницы и добавляет. Дельта кола N(d1), а вероятность а вероятность выхода страйка в деньги N(d2) — очень похоже
Стас Бржозовский, практически — там есть еще одно существенное отличие!
avatar

bstone

bstone, ?
Стас Бржозовский, вот, накатал ещё немного формул :)
avatar

bstone

bstone, сей час у всего СЛ мозги закипят:))) Умничка. Респект и уважуха.
bstone, нашел на 34 секунде https://www.lektorium.tv/lecture/14010 в общем ты прав.
Скажите батенька, а эти формулы помогают торговать стабильно в прибыль?
avatar

athlant64

athlant64, конкретно эти — это формула Блэка-Шоулза для опциона call. Она позволяет узнать, сколько должен стоить тот или иной опцион в какой-то конкретной ситуации. А если знаешь, то не купишь/продашь его дороже/дешевле, чем стоило бы. Помогает ли это стабильно плюсовать? Безусловно, потому что если делать это от балды, то результаты будут гораздо хуже.
avatar

bstone

bstone, ну не купили вы колл дороже допустим, а БА нарисовал даунтренд до самой экспирации. И чем нам поможет эта формула?
avatar

athlant64

athlant64, если я купил нормально дешевле, то я заработаю даже на падении БА. Но такая торговля конечно отличается от покупки лотерейных билетов.
avatar

bstone

athlant64, нет. Только линии и уровни нарисованныена графике 
Дмитрий Новиков, нет. Только ФА, велью сток и хорошая аллокация
avatar

athlant64

так кто же кем виляет в итоге, собака хвостом или наоборот?) или все таки они это делают по очереди)
avatar

Spooke67

Spooke67, хозяин виляет то хвостом собаки, то заставляет собаку вилять хвостом…
avatar

vitsantal

Spooke67, думаю никто не виляет. Просто в наших дискуссиях то и дело всплывает довольно устоявшееся заблуждение, мол дельта опциона равна вероятности выхода этого опциона в деньги. Одним из недавних аргументов было как раз присутствие формулы распределения Гаусса в расчете дельты. Этот топик был написан, чтобы показать несостоятельность этого аргумента. Но я напишу еще один, там я подойду к этому вопросу с другой стороны.
avatar

bstone

bstone, боюсь после ваших постов все дельта хеджирование полетит в помойку)) 
avatar

Spooke67

Spooke67, ну зачем же. Дельта хеджирование — это основа-основ.
avatar

bstone

автор тупо издевается
avatar

rvn

я мехматов не кончал, хотя и прослушал два курса по высшей математике, слишком давно было, ничего уже не помню.

Дельта может и не равна вероятности выхода опциона в деньги. Но очень сильно с ней коррелирует, так?

И вообще, если вокруг опционов построена такая обширная математическая модель, неужели нет ни одного грека, который бы показывал вероятность выхода опциона в деньги? Не дельта ли ближе всего к этой вероятности?

avatar

mav1984

mav1984, Думаю, что вероятность выхода опциона в деньги можно посчитать не через греки, а через волатильность базового актива с учетом дисперсии волатильности базового актива.
avatar

FZF

mav1984, я писал чуть выше, N(d2) эта вероятность. При малых времени до экспирации и айви — достаточно близко к дельте call. При больших — совсем не близко.
исходное уравнение Блэка-Шоулза:
Где-нибудь можно посмотреть в чем заключается физический смысл исходной посылки? Почему именно так?
avatar

FZF

FZF, исходная посылка из принципа не арбитража вкупе с хеджирующей позицией в БА:



(1) — логнормальное случайное блуждание (dX — Винеровский процесс)
(2) — портфель, состоящий из опциона и обратной позиции по БА
(3) — изменение портфеля на каждом шаге
(4) — изменение стоимости опциона (следует из (1) и леммы Ито)
(5) — хеджирующая позиция по БА убирает случайную составляющую из портфеля
(6) — принцип не арбитража

Если подставить (2) и (5) в (6), получим уравнение БШ. Т.е. уравнение динамики стоимости опциона при условии, что арбитражной халявы нет, случайные риски полностью захеджированы, а цена блуждает логнормально.


avatar

bstone

Мне бы ваш мат аппарат. Действительно, Гаусса мы получаем, так как выносим за скобки похожую формулу. И коль мы его получили таким способом и это действительно Гаусс, то имеем правооткладывать на немдоверительные интервалы, сигмы и прочее. Ну и на ЦС=цене мы это видим. Вероятность 50/50. Но не в этом дело. У нас не один опцион. И каждый имеет своё распределение. Что бы оценить масштаб всего бедствия нам надо брать нераспределённый одного Опциона, а всех. Назовём это многомерным распределением. Но на других опционах будет другая волатильность и другое соотношение БА. У них будет раскорреляция в динамике, улыбка плавать и т.д. Так что я не буду называтьтакое распределение нормальным. Оно будет IV. Отсюда вывод, что бы захватить весь диапазон цен нам надо строить плотность распределения по всем стайкам. Для этого мы берём дельту и строим такую плотность. Теперь, по хорошему, мы должны измерить площадь плотности до следующего стройка и получить вероятность. Тут надо руководствоваться статистическими критериями тех же сигм. Мы же придумываем свои критерии по страйкам и дельте. Конечно, научно, это не правильно. На практике, я это использую. Тот же Твардовский говорил, что так можно сказать, но ни кто пока не защищал по этому вопросу докторскую и это не является теоремой или аксиомой. Соответственно у меня нет доказательной базы. Поэтому я соглашусь, что дельта не показывает вероятность, но буду считать эту вероятность по дельте. На том основании что мне так удобно.
Дмитрий Новиков, ну к счастью для нас, мат аппарат для финансовой математики почти полностью укладывается в программу начальной школы. Немного портят картину дифференциальные уравнения в частных производных, но решения в аналитическом виде удается получить только в очень отдельных и редких случаях (сразу вместе с нобелевкой). Шаг влево или шаг вправо и все, решение возможно только численными методами. Поэтому эта проблема особой сложности не составляет.

По поводу IV и улыбки. На мой взгляд это вообще вопрос веры по большей части. Очень субъективная вещь. Лично я не фанат анализа улыбки и торговли на этой основе, т.к. не вижу тут никакой смысловой базы. По большей части я считаю улыбку результатом жадности, спекуляций, и не достаточно глубокого понимания механики ценообразования опционов большой массой участников.
avatar

bstone

bstone, но мы же смотрим вероятность дойти до другого  Стайка. А тут прямое влияние IV. И все эти вероятности по дельте я смотрю с учётом и улыбки и IV. Я не говорю что они правильные. Но их можно сравнивать с БА 
Дмитрий Новиков, ну представь, что все маркет мейкеры взяли на день выходной и в стакане только ты. Куда поставил заявки, такая и IV с улыбкой. Поднял заявки выше — IV выше, опустил ниже — IV ниже. Менялась ли при этом вероятность достижения ценой страйка? Нет.
avatar

bstone

bstone, да меняется. Я покупаю вероятность 10. Теперь цена на вас поперла. Ваша вероятность 10 и осталась, а вот в динамике она уже 20. Что с опционом? Вы купили низкую вероятность, продали высокую. Конечно, это диктует БА. Так мы и сравниваем волатильность (вероятность) БА и Опционами.
Дмитрий Новиков, хм, я не уточнил, что действия по перестановке заявок я подразумевал как бы в моменте, т.е. довольно часто, а не раз в день, т.е. цена БА в это время сильно не меняется. Грубо говоря, цена БА на месте, мы двигаем заявки, меняем улыбку и IV на страйках. Соответственно это никак не может влиять на вероятность достижения ценой БА каких-то значений.
avatar

bstone

bstone, понял. Тогда по другому. Продавая и покупая я меняю не вероятность БА а предполагаемую IV вероятность. Опосредственно предполагая волатильность (вероятность) БА. Мы продаём волу Опциона против волы БА. 
Вот как раз к сигма и основной вопрос: почему она константа в уравнении?
avatar

А. Г.

А. Г., потому что Блэк и Шоулз рассматривали логнормальное случайное блуждание с постоянной волатильностью. Но справедливости ради надо отметить, что их уравнение работает, даже если этот параметр имеет динамику.
avatar

bstone

bstone,  ну так если предположить,  что приращения логарифмов будущих цен по некоторому таймфрейму независимые одинаково распределенные случайные величины,  имеющие нормальное распределение со средним нуль,   то можно обойтись без диффуров,  а просто выписать равенство между средней доходностью покупателя и продавца с учётом того,  что последний может разместить деньги под безрисковую ставку.  И получится все то же самое.  Т.  е.  формула справедливой цены БШ вовсе не следствие диффуров,  а следствие вышеуказанного предположения  о нормальности и стационарности  будущих приращений логарифмов цен. По такой же методике можно получать справедливые цены не только для классических опционов,  но и для самых экзотических платёжных поручений,  включая бинарные опционы. 
avatar

А. Г.

А. Г., ну это одноногая лошадка получится. А что если у приращений не нулевое среднее? А что если базовый актив выплачивает дивиденды? Диффуры описывают динамику и легко это учитывают.
avatar

bstone

bstone,  если ненулевое среднее,  то и Ваша формула изменится.  Но при предположении о нормальности и стационарности внести поправку на ненулевое среднее -  это тривиально.  Тогда правда колл-пут паритет станет неэффективностью,  на котором можно будет построить стратегию с положительным МО. 
avatar

А. Г.

А. Г., риск реверсал и даёт это понимание. Проданные путы дороже купленных колов. Разве это не МО
Дмитрий Новиков, любое нарушение колл-пут паритета указывает на наличие МО. 
avatar

А. Г.

А. Г., формула не изменится, т.к. она уже учитывает ненулевое среднее. Гляньте мой ответ FZF выше. 
avatar

bstone

На сколько видел в оригинальной работе, там авторы шутканули как они типа легко и очевидно решили своё дифф. уравнение, ничего не объясняя...
А подход от теорвера как-то последовательнее понятнее выглядит, что вот стоимость=мат. ожидание, с такой-то плотностью поинтегрировали, выводим и приходим к нормальным распределениям...

avatar

Михаил Ершов

=) Мне что-то не нравятся Ваши формулы в интегральной форме.
Они сразу в явном виде содержат указание на Гауссов процесс.

То есть в такой форме неочевидно как заменить броуновское движение на более реалистичный случайный процесс?..

 

Жаль, уже нельзя пост плюсануть...

avatar

ch5oh

ch5oh, не совсем так на самом деле. Мне кажется вы делаете ту же ошибку, что и Дмитрий. Видите интегралы, похожие на функцию нормального распределения и делаете неверный вывод. Броуновское движение вшито уже в самую первую формулу — дифференциальное уравнение БШ :)
avatar

bstone

bstone, разве оно реально нужно для вывода этого дифура?..
Хм!.. К стыду своему подзабыл подробности...

Тогда вообще беда получается в этом смысле?

avatar

ch5oh

ch5oh, реально нужно. Если есть уравнение для другого процесса блуждания цены, то дифур для цены опциона получить не сложно, а вот красивого аналитического решения у него, скорее всего, не будет. Так что в каком-то смысле беда.
avatar

bstone


теги блога bstone

....все тэги



2010-2020
UPDONW