Блог им. noHurry

Откуда берется улыбка волатильности.

 

Вот эта картинка очень просто обьясняет, почему рынок имеет или должен иметь улыбку.

Откуда берется улыбка волатильности.
Это простой вертикальный Bull call spread на SPX, с нулевой теттой. Обратите внимание на соотношение max P/max L. Я думаю любой более менее понимающий этот рынок скажет, что так и должно быть, иначе деньги можно было бы лопатой грести. А теперь вопрос — а возможно ли было бы такое без улыбки? Мой ответ нет. Чем отличается рынок SPX от других рынков, где нет улыбки, тем, что он трендовый. 

Вывод — причина возникновения улыбки волатильности это трендовость рынка. 

Рынок саморегулирующийся механизм, который стремится к нулевому матожиданию. И если у рынка появляется трендовость (смещение вероятности), то рынок компенсирует это смещением волатильности и возвращает матожидание к нулю. 

 

★10 | ₽ 1
Оценивание опционов в условиях трендовости (персистентности?) уже формализовано — по ссылке статья с тремя моделями прайсинга, учитывающими показатель Хёрста. Надо бы добраться и реализовать их, чтобы понять, даёт ли персистентность / антиперсистентность только отличия в term structure, или же действительно у улыбок поднимаются края…
avatar

Eugene Logunov

Eugene Logunov, персистентность и трендовость — разные вещи.
avatar

Kot_Begemot

Kot_Begemot, Интересненько :) Вспомним классические модели трендовости:
1) Trend-stationary process: x[t]=a+b*t+eps[t], где eps[t]-стационарный;
2) Drift-stationary process: x[t]=x[t-1]+mu+eps[t], где eps[t]-IID с нулевым средним;
3) Комбинация (1) и (2).

Мы наверняка согласимся, что все эти гипотезы для наших задач не работают, т.к. рынок не стационарен (направления трендов бывают разные). Но от кусочной стационарности уже так просто будет не отвертеться; правда, чтобы тренды в кусочно-стационарном процессе были «осязаемыми» нужно чтобы параметры менялись реже, чем мы способны обнаруживать их изменения, либо чтобы изменения параметров были предсказуемыми.

Добавим к этим моделям ещё одну:
4) x[t]=x[t-1]+eps[t], где eps[t] — стационарный процесс с положительной автокорреляцией. Согласитесь, такой процесс тоже будет иметь тренды, хотя в отличие от варианта (2) снос будет являться функцией предыдущих приращений процесса.

А что такое персистентность? Посмотрим строгие формулировки: раз, два-с. По сути, речь там про автокорреляции, а это вариант (4) который я добавил. А если посмотреть, например, на автокорреляционную функцию обобщенного броуновского движения, то можно догадаться, что именно она является причиной трендовости/персистентности таких процессов при H>0.5.

«На пальцах» — это одно и то же: если процесс какое-то время рос — вероятно, он и далее будет расти, если процесс какое-то время падал — вероятно, он и далее будет падать.
avatar

Eugene Logunov

Eugene Logunov,  

 Но от кусочной стационарности уже так просто будет не отвертеться

Кусочная стационарность это стационарность на интервале времени >0.

Автокорреляционная стационарность это стационарность процесса на интервале времени = 0; Это разные вещи.

Итого тренд (кусочный) — равномерно размазанная по лагам АКФ.
Итого персистентность — положительная АКФ ближних лагов.




Вот, например, коррелограмма реального процесса приращений кусочно-стационарного 5% тренда на российских акциях.

*Ссылки ещё не смотрел.


avatar

Kot_Begemot

Вывод — причина возникновения улыбки волатильности это трендовость рынка. 
Ещё один вариант проверить эту гипотезу — попробовать сдвинуть матожидание в риск-нейтральном распределении цены по Б.-Ш. и посмотреть, какая получится улыбка из новых цен…
avatar

Eugene Logunov

Eugene Logunov, и куда же надо сдвигать? Наверное в сторону, противоположную направлению движения!
avatar

bozon

Eugene Logunov, попробуйте, было бы интересно почитать.
avatar

noHurry

ch5oh, Разделяю ваш взгляд. Но если сдвинуть риск-нейтральное распределение — IV по направлению движения должна вырасти, а против направления — упасть. Т.е. может получиться skew, правда, не в ту сторону :D
avatar

Eugene Logunov

ch5oh, ну как бы путы дороже чем коллы, и это делает спред таким. «Маркетосам» на SPX какая-то иная ситуация будет не выгодна. Постройте такой спред, скажем на какой-нибудь валютной паре без выраженного тренда.
avatar

noHurry

ch5oh, «не являетя лог-нормальным» — т.е. с элементом тренда. Вам не кажется, что вы сами себе противоречите?
avatar

noHurry

noHurry, «Не лог-нормальность» не равно «элемент тренда».
Арифметическое броуновское движение тоже не лог-нормально, но при нулевом сносе трендов в нём не будет. А в обобщённом броуновском движении (хрен знает какое там распределение, но вряд ли логнормальное) тренды возникают при H>0.5.
avatar

Eugene Logunov

ch5oh, а почему 
маркетосы осознают опасность того, что рынок может схлопнуться на несколько % почти мгновенно.
 может потому, что думают, что тренд не может длиться вечно? Не было бы тренда — не думали бы. 
avatar

noHurry

ch5oh, P.S. 
Надо просто различать, что причина, а что следствие.
Пусть будет хоть причина, хоть следствие. Суть от этого не меняется — трендовость и волатильность связаны. Хотя в том, что трендовость возникает по причине наличия улыбки трудно найти логику.
avatar

noHurry

ch5oh,
Но оно должно оставаться риск-нейтральным.
А надо ли нам оставаться риск-нейтральными, если в основном люди такими не являются? :) Фактически, этот случай я рассмотрел в своей последней статье, было бы очень интересно услышать Ваши комментарии.

Волатильность-то у цены одна, но если временно забыть, что она меняется — можно получить оценку сверху возможных цен стрэнглов, центрированных относительно текущей цены базового актива, исходя из неравенства Гаусса и его аналогов. Но если мы вспомним, что волатильность меняется или мы не можем её точно оценить — тут же возникнет улыбка, т.к. имеем дело с некой смесью распределений.
avatar

Eugene Logunov

Улыбка возникает из за волотильност волатильности волофвол. 
Дмитрий Новиков, но это не объясняет скос улыбки. 
avatar

noHurry

noHurry, именно это и объясняет.
Дмитрий Новиков, без оговорки, что волофвол не симметрична, опять же по причине тренда, не обьясняет. 
avatar

noHurry

noHurry, определения тренда тогда надо вводить. Я просто не знаю что вы имеете в виду. Если это МО то это безрисковая ставка. Если это движение актива, то в опционе оно не учитывается
Дмитрий Новиков, 
Если это движение актива, то в опционе оно не учитывается
если это опцион с доски опционов, то там все учитывается. 
avatar

noHurry

Дмитрий Новиков, Не-е-е, вол-оф-вол объясняет лишь поднятые края. А вот корреляция вол-спот легко объясняет скос :)
avatar

Eugene Logunov

ch5oh, 
Любое искажение распределения по сравнению с лог-нормальным в модели бш создаст улыбку.
А разве трендовость не является нарушением нормальности процесса?
avatar

noHurry

noHurry, не является. Но есть корреляция между ростом БА и волатильностью. Поэтому наклон возникает.
Дмитрий Новиков, ну если устойчивость и нормальность не противоречат друг другу.
avatar

noHurry

Дмитрий Новиков,  не только ростом, но и падением. 
avatar

А. Г.

По логике у дальних опционов «улыбки» быть не должно. Но она есть. Её можно объяснить только нестационарностью временного ряда % приращений цен и  положительной корреляцией между модулем локального среднего этого ряда и локальной дисперсией того же ряда.

У стационарного ряда % приращений цен даже с «тяжёлыми хвостами» одномерного распределения  «улыбки» быть не должно.
avatar

А. Г.

А. Г., 
По логике у дальних опционов «улыбки» быть не должно.
допустим, но тогда будет возникать арбитражная возможность между ближними, где улыбка есть и дальними, где ее нет. Возможно этим объясняется, что наклон улыбки у дальних не такой крутой, как у ближних. 
avatar

noHurry

noHurry, если эта возможность даёт заработать только «безрисковую ставку», то это не арбитражная возможность. 
avatar

А. Г.

А. Г., на календарях даже сейчас, с имеющимися отличиями наклона улыбки, можно заработать больше чем безрисковая ставка. 
avatar

noHurry

А. Г., 
У стационарного ряда % приращений цен даже с «тяжёлыми хвостами» одномерного распределения  «улыбки» быть не должно.
Это если опционы оцениваются правильно, исходя из распределения с тяжелыми хвостами :) Но мы обычно говорим про улыбку именно как про подразумеваемые волатильности, вычисленные в рамках модели Б.-Ш., в которой приращения цены распределены лог-нормально. Т.е. отличие от лог-нормальности в виде другого скоса или эксцесса будет приводить к появлению наклона улыбки или большей IV на краях улыбки.
avatar

Eugene Logunov

Eugene Logunov, сам процес измерения волатильности. Мы отнимаем квадрат среднего. Движение где хай выше  предыдущего хая. У нас выпадает из расчета кусок. 
Eugene Logunov,  сумма большого числа слабо зависимых величин должна сходится к нормальному закону. Приращение логарифмов цен до дальней экспирации точно является суммой большого числа логарифмов приращений цен тиков. Если у этого нормального  закона нет корреляции между средним и дисперсией, то и «улыбке» взятся неоткуда.
avatar

А. Г.

А. Г., 
сумма большого числа слабо зависимых величин должна сходится к нормальному закону.
Я не спорю с центральной предельной теоремой :)
Если сосчитать скос и эксцесс по приращениям разных масштабов — мы увидим, как они стремительно уменьшаются. И опционы с этим не спорят: чем больше время до экспирации — тем, обычно, меньше кривизна улыбки волатильности.
avatar

Eugene Logunov

Eugene Logunov,  а откуда может появится скос и эксцесс у суммы сотен ограниченных случайных величин — приращений логарифмов тиков? 
avatar

А. Г.

А. Г., Ранее изложил свои соображения, вот тут. Корреляция между приращениями цены и волатильностью -> скос, случайная волатильность -> эксцесс. На уровне микроструктуры можно провести кучу других рассуждений, но едва ли они уместны в этом обсуждении.
avatar

Eugene Logunov

Eugene Logunov,  ну приращения тиков ограничены и потому дисперсии итогового распределения в случае слабой зависимости некуда деваться от С*N. А положительная корреляция между модулем (!) средних приращений логарифмов тиков и их дисперсией безусловно приведёт к «улыбке». 
avatar

А. Г.

А. Г., среднее можно из схемы выкинуть, оставив только сильно зависимую дисперсию.
avatar

Kot_Begemot

Kot_Begemot,  от чего зависимую в нормальном законе, если убрать среднее? 
avatar

А. Г.

А. Г., если выкинуть среднее, то дисперсии остаётся зависеть только от дисперсии.
avatar

Kot_Begemot

странно что вы пытаетесь рассматривать волатильность в отрыве от сроков и как следствие снижения вероятности движения ба для каждого страйка и соответственно повышения стоимости хэджа как будто вола это стоячая волна) жаль уважаемый ch5oh выпилил свои коменты думаю он об этом уже писал)
avatar

Spooke67

Spooke67, извините, но я не понял как то, что я написал ассоциировалось у вас с «вола это стоячая волна». 
avatar

noHurry

Улыбка и есть грааль, но там нада шарить. На улыбке умеют зарабатывать только околорынок смарлаба, их туса инфобизнесмены ну и БКСники. Иногда все они снисходят до нечисти и пишут в ветке опционов потрясные статьи, но у черни просто нет шансов, она рвань порой даже не догоняет какие гениальные мысли ей спускают с небес. Все это безусловно означает, что они умнейшие математики, а я не шарю((. Поэтому я уже метнулся снимать бобло (+займу у тещи), и все отдам им в ДУ, а ты?
avatar

Допельгангер

Допельгангер, ваш первый вариант комментария мне больше понравился. 
avatar

noHurry

noHurry, шатап энд тейк май мани!)
Допельгангер, :)
avatar

noHurry


Только зарегистрированные и авторизованные пользователи могут оставлять комментарии.

Залогиниться

Зарегистрироваться
....все тэги
UPDONW