SMART-LAB
Новый дизайн
Мы делаем деньги на бирже
Информация
Блог им. Kurbakovsky
Обобщенная модель ценообразования опционов. Часть 3. Уравнение баланса
- 24 октября 2019, 11:05
- |
5К |
Читайте на SMART-LAB:
Миноритарный пакет акций Башнефти будет приватизирован?
Обыкновенные акции Башнефти в ходе сессии 5 декабря снижаются на 0,45%, до 1436,5 руб., при общей позитивной динамике на российском рынке рынке. В...
18:16
bstone, скорее, имею в виду, что если мы оперируем дифференциально малыми dT, то нет и не может быть никакого суммирования. Разумеется, тогда мы валимся в область обычного БШ.
bstone, хорошо. Буду считать, что возможность иметь несколько разных цен x[j] на инфинитизимальном интервале dT за гранью моего понимания. =) Что-то типа мембранного представления элементарных частиц.
ПС А! Да. Мы же там ещё дельта-хедж успеваем поделать на каждом x[j]. Что опять же с практической точки зрения вызывает вопрос: а наша сделка нашего ДХ — это сделка за рамками потока цен x[j] или это и будет x[j+1]?
То есть не получается ли, что мы сами создаём сделки, сами считаем на них гамму, сами делаем ДХ и сами же реагируем но собственные операции ДХ?..
просто я об этом упомянул, а остальные предполагают по умолчанию
Только там исходной материей является некая объективная реальность (попросту говоря, природа), а опционами торгуют субъективно мыслящие человеки.
Как вписать в баланс субъективность?
А вообще, в свое время (не помню, какое количество лет назад) здесь, на СЛ, на эту тему был небольшой пост, смысл которого (без привлечения инструментария дифуров) сводился к торговле опционами и синтетикой именно с позиции соблюдения баланса между временным распадом и волатильностью. Тогда этому автору накидали «черных шаров» полную корзину. Ваше балансовое уравнение подтверждает справедливость логических рассуждений того самого автора.
(не помню его ника, но его авторский сайт http://www.zamla.ru/)
Именно эта.)))
Когнитивный диссонанс возникает, когда Вы используете частные производные и при этом на интервале дифференцирования dT имеется "несколько изменений цены фьючерса" (замаскированные невинным эвфемизмом m^2).
А так, вроде, звучит логично и местами даже правдоподобно. =)
Kurbakovsky, =) тогда я присодиняюсь к уважемумому bstone и считаю, что в этих выкладках нет особой математической строгости.
Потому что совершенно очевидно, что в каждой новой точке x[j] на интервале времени delta_T своё значение гаммы и своё персональное значение теты.
Впрочем, меня как практика больше интересует итоговый финансовый результат. Пока что Вы просто сделали некие переобозначения. Думаю, имеете право.
Жду продолжения где пойдет речь про ЭТО. =)
С точки зрения изложения «на пальцах» так действительно удобнее, поскольку сначала мы концентрируемся на покупателе, а потом — на продавце. С точки зрения строгости изложения, лучше в формуле (3.1) добавить время и написать
C(x_1, t_1) — C(x_0, t_0) = как было + член с производной по времени.
Тем более, что в определении мгновенной подвижности есть время. Далее, дойти до (3.4), что сразу даст (3.5).
Уравнение (3.6) в любом случае останется верным со сделанными в тексте оговорками про вынос частных производных за знак суммы.
Кстати, не смотря на гладкость C(x, t), значения m(t_0, t_n) могут быть очень изменчивыми в зависимости от времени. Кажется, что это важно для восприятия в этом месте.
2. Отпадает после первого
3. Пока никакие дополнительные оговорки не нужны. Понадобятся, если возникнет необходимость выражения в явном веде зависимости m от x,t. Пока такой необходимости не было.
Рассуждение из серии "мы не знаем или не оговариваем тип процесса, поэтому её (лемму) не используем и обращаемся с ценами и дифференциалами как с обычными гладкими функциями" в данном случае неприемлемы, имхо.
Может быть, следующий раздел посвятить описанию модели случайного процесса x?
А если Вы внезапно объявили функцию х дискретной, то прощай непрерывность, дифференцируемость и разложение в ряд Тейлора. Шаг цены «10» ни в коем случае не подходит под фразу «для любого эпсилон больше нуля».
Иначе получается, что Вы с самого начала для построения теории используете широкий набор свойств, которые не были прописаны как «вводные». И потом что-то получаете. Мне приходит в голову аналогия с функцией импликации: из ложного утверждения можно вывести любое утверждение. Вот Вы и выводите то, что Вам нравится.
Может быть, проще плясать от печки?
Лог-нормальный случайный процесс с моделью волатильности
Sigma(F;t) = a+b*F(t)
И никаких вопросов больше нет.
Eugene Logunov, в данном варианте рассуждений мы всё это замели под коврик, когда с потолка приняли цену опциона дважды непрерывно-дифференцируемой функцией по аргументу Х (по цене) и (минимум) один раз непрерывно-дифференцируемой по времени.
Вроде бы, в начале этого фрагмента автор обещал доказать эти свойства, продемонстрировав возможность арбитража при их нарушении, но в итоге просто пользуется теми свойствами, которые ему нужны.
Короче, нам и лемма Ито не нужна. Всё сводится к умению раскладывать функции в ряд Тейлора до второго порядка (опять же, а почему не до 4-го???). Потому что у автора опять же цена подразумевается обычной регулярной функцией.
Здесь же ничего сказать о высших степенях разностей нельзя в силу «неопределенного», а не случайного, характера процесса. Следовательно отбросить их нет никакой возможности до тех пор, пока не будет доказано, что они имеют больший порядок малости по сравнению с квадратом разностей. А это мне представляется невозможным.
Более того, тут еще есть момент, который по праву напрягает Eugene Logunov. Рассуждения автора справедливы в некотором наборе окрестностей близких к одной точке (при условии постоянства гаммы во всех этих окрестностях), но рано или поздно нужно будет переходить от аппроксимации функции в этих окрестностях, к ее определению на всем интервале входных значений. В БШ это получается, потому что стохастический интеграл в лемме Ито определен на всем интервале значений. В рассматриваемом подходе его нельзя будет взять даже в небольшой окрестности. В моем понимании это практически полностью исключает предстоящий переход от изложенных формулировок к функции стоимости.
За три дня до экспирации выходит на рынок ЦБ, выставляет на базовом активе «бесконечный» бид и такой же офер с разницей в шаг цены и объявляет об этом всем участникам рынка. Или не объявляет, пусть сами догадываются.
Можно посмотреть, какие предположения модели тут устоят, а какие нарушатся.
сейчас вот только разберемся с mobility и сразу начнем богатеть.
Мы предполагаем «справедливый» рынок и это приводит к тому, что в правой части формулы (3.6) стоит 0.
А должен ли там обязательно стоять 0? К примеру, случайное блуждание с нулевым сносом можно считать в каком-то смысле «справедливым», но его результат за любой промежуток времени — это случайная величина с нулевым математическим ожиданием, но не число 0.
Может и в формуле (3.6) надо поставить вместо 0 некоторую случайную величину у которой математическое ожидание 0 и дисперсия как-то зависит от \Delta T?
Можно ли оценить последствия этого для всей дальнейшей теории?
Получившееся уравнение баланса подходит для всех страйков или только для центральных? Если смотреть по БШ, то соотношение теты и гаммы разное в центре и на краях.
И, кажется, при выводе этого уравнения не учитывались возможные гэпы. Это когда идет мощное, однонаправленное движение БА, которое продавец опциона заранее никак не может захеджировать, а может только постфактум зафиксировать большой убыток. Правильно ли игнорировать такие события (пусть и очень редкие)?
Кирилл Браулов, это наш коллега: FZF
Суть идеи — работать с позициями у которых риск всегда ограничен. Никаких свисающих усов катастроф по краям.
Возвращаясь к топику, все-таки сомнительно, что в уравнение баланса входят только две составляющие: временной распад и ерзанье туда-сюда БА. А сильные _однонаправленные_ движения цены, или даже просто страх (ожидание) этих движений — не учитываются. Где толстые хвосты, ассиметрия? Ну может в следующих топиках станет понятнее…
Так вот, обычная мгновенная вола (или подвижность) характеризует текущее внутреннее состояние системы, но не учитывает возможный в будущем тычок. И уравнение баланса, имхо, начнет учитывать тычок, но только после того, как он произойдет, а не до…
Модель должна охватывать все виды процессов — неопределенные (включая случайные). И даже детерминированные, если речь идет о «злонамеренном» процессе, целью которого является разорение всех игроков. Если процесс не направлен конкретно против меня, то модель не должна выделять его среди прочих неопределенных. Хотя для «злодея» он детерминированный.
Я не хочу использовать лемму Ито, потому что условия ее применимости накладывают на процессы очень жесткие ограничения. Я использовал ее раньше, но только для того, чтобы избавиться от лишних вопросов при выводе своей формулы справедливой стоимости.
Мне неизвестно, пытался ли кто-то создать аналог леммы Ито для неопределенных процессов. Я пробовал загнать неопределенность в рамки случайности. Для этого я накладывал на процессы ограничения вида m(DT)<K*(DT)^0.5. (m-это подвижность, найденная на интервале DT). Процесс оказывался как-бы «внутри» винеровского. Дальше логика рассуждений была такая — если какое-то утверждение справедливо для винеровского процесса, то оно должно остаться справедливым и для неопределенного, лежащего «внутри». Далеко не продвинулся, потому что так и не смог решить, что делать со скачками цен в начале периода.
Требовать независимости приращений нельзя, это требование убьет все остальное.
1. Об аналитических свойствах функции C(x). Они справедливы вне зависимости от модели стоимости опциона. На примере монотонности — рассмотрим C(x,S) — где S — страйк опциона. Сначала докажем, что это монотонно убывающая функция S при любом фиксированном x. Доказывается от противного. Если в какой-то момент C(S2)>C(X1) при S2>S1, то опцион с S2 продается, с S1 покупается. В момент экспирации такой портфель оказывается гарантированно неотрицательным. Аналогично для выпуклости, только там портфель будет состоять из 3 опционов. Дальше доказывается, что если эти свойства справедливы для S при фиксированном x, то они будут справедливы и для x при фиксированном S.
2. О возможности игнорирования производных высших порядков. Если в какой-то точке x суммарный вес высших производных перевесит вес второй производной, то это будет означать, что в точке x функция не выпуклая, но она выпуклая всюду.
3. Самый неприятный вопрос — о возможности выноса второй производной за знак суммирования. Можно накладывать кучу дополнительных ограничений на интервал времени и величину отклонений — все это полумеры. Есть радикальный путь для «идеального» рынка, на котором торгуются опционы со страйками по всей оси x. То есть страйки сколь угодно близки друг другу. После любого изменения стоимости x портфель закрывается полностью, прибыль фиксируется. Потом открывается новый портфель, но с другим страйком, таким чтобы вторая производная осталась прежней. Ввиду гладкости C(x) такая возможность всегда есть. Дальше приращения стоимости портфеля снова суммируются, при этом вторая производная равна константе по построению. После некоторых манипуляций с заменой переменных снова приходим к уравнению баланса.
Я не привожу этого доказательства, потому что все его обсуждения заканчивается на фразе «таких рынков не бывает»
И последнее. Я не хочу принимать никакие ограничения, связанные с поведением рынка (случайность, модели случайности и проч.) просто потому, что стоимость дельта-нейтрального портфеля возрастает при любом изменении БА, вне зависимости от того, по каким причинам это изменение произошло — по случайности, или в результате действий злого кукловода. Модель должна остаться рабочей