Блог им. Kot_Begemot

Создаём рынок волатильности по теории оптимальной улыбки (Market Making Volatility by STO)


Сегодня мы будем выступать в качестве поставщика бесконечной ликвидности по опционам. То есть мы будем безотказно играть в игру с нулевой суммой так, чтобы, как минимум, не проиграть, а это возможно только в том случае, если мы будем продавать и покупать волатильность по цене, соответствующей седловой точке в игре покупателя и продавца, то есть по цене GTO (game theory optimal). Иными словами, мы будем заниматься непосредственно pricing'ом опционов, назначая цены put'ам и call'ам, таким образом, чтобы ни одна стратегия и ни один набор случайных, стохастических стратегий не мог получить положительное преимущество при игре с нами.

Чтобы назначать цену волатильности, для начала, не плохо было бы принять какую-либо модель волатильности. Например, это может быть модель случайного процесса, подчинённого логистическому распределению:

Создаём рынок волатильности по теории оптимальной улыбки (Market Making Volatility by STO)
Рис.1. Распределение логарифмических приращений цен акций ПАО Газпром и их аппроксимация логистическим распределением.


или распределению Лапласа:

Создаём рынок волатильности по теории оптимальной улыбки (Market Making Volatility by STO)
Рис. 2. Распределение абсолютных значений логарифмических приращений цен акций ПАО Газпром и их апроксимация экспоненциальным распределением.


Поскольку нам ближе безарбитражные процессы с неравномерным распределением средней мощности (волатильности) во времени (см. «Кому улыбается волатильность»), мы остановимся на втором варианте.



Экспоненциальное распределение это распределение одного параметра — m=sigma -  который нам нужно оценить во времени, то есть, принимая во внимание эффект кластеризации волатильности, нам нужно оценить не только форму локального распределения приращений, но и его ширину. Иными словами, помимо самой функции распределения приращений, обладающей некоторой волатильностью (шириной), мы будем ещё учитывать и изменчивость этой волатильности во времени, то есть, непосредственно, волатильность волатильности.

Для этого мы будем пользоваться автоматически настраиваемой EWMA — 40 ( относится к классу ARCH — 40) моделью. 

Исходный алгоритм принимает на вход временной ряд из последних 40 логарифмических приращений и последовательно производит действия:

  • Оценивает параметры EWMA модели
  • Строит саму модель и оценивает её ошибку
  • Исходя из полученной модели волатильности и ошибки этой модели на IS выборке оценивает будущую волатильность и распределение ошибок будущей волатильности.


Принципиально, данная автонастраиваемая модель практически не зависит от выбора окна, но, тем не менее, даёт наилучшие результаты на окне равным двум последним месяцам (40).

Создаём рынок волатильности по теории оптимальной улыбки (Market Making Volatility by STO)
Рис. 3. Результаты прогнозирования волатильности автонастраиваемой EWMA-40 моделью. Корреляция прогноза и реализации — 77%.


Создаём рынок волатильности по теории оптимальной улыбки (Market Making Volatility by STO)
Рис. 4. Гетероскедастичная ошибка прогноза волатильности и его апроксимация распределением Лапласа (экспоненциальным).



Как видно, гетероскедастичная ошибка данной модели повторяет исходное распределение ряда, что говорит о том, что мы определили волатильность правильно, то есть, спрогнозировали непосредственно саму волатильность (ширину распределения), а не что-либо другое.


Теперь, из прогноза волатильности и его гетероскедастичной ошибки, нам осталось только получить распределение логарифмических приращений цен базового актива на ближайшее будущее и можно приступить к расчету цен опционов. Но, такой подход был бы слишком… непрофессионален, поэтому мы зашифруем простые и понятные результаты численного интегрирования экспоненциального распределения в сложную форму улыбки предполагаемой волатильности Блэка-Шоулза, павно перетекающей в дельта-хедж по Корнеру-Фишеру, а чтобы было ещё надёжней — построим не просто улыбку, а рельефную поверхность этой улыбки, протекающей в пространственно-временном континууме, свёрнутом в бублик суперструны.

Создаём рынок волатильности по теории оптимальной улыбки (Market Making Volatility by STO)


Рис. 5. Полученная поверхность IV auto-EWMA-40 моделью по Smile Theory Optimal. 



Для того, чтобы убедиться в отсутствии misspricing, то есть соответствии STO цен GTO-оптимальным, безорбитражным ценам, проведём симуляцию продажи опционов квалифицированным инвесторам и рассмотрим их результирующую прибыль:

Создаём рынок волатильности по теории оптимальной улыбки (Market Making Volatility by STO)
Рис. 6. Симуляция продажи стрэддлов по различным страйкам на БА — TATN. Нормированное уклонение финансового результата от нуля лежит в интервале от -0.8 до -0.16 сигма.


Создаём рынок волатильности по теории оптимальной улыбки (Market Making Volatility by STO)
Рис. 7. Симуляция продажи стрэддлов по различным страйкам на БА — SBER. Нормированное уклонение финансового результата от нуля лежит в интервале от 0.4 до 1.4 сигма.


Создаём рынок волатильности по теории оптимальной улыбки (Market Making Volatility by STO)
Рис. 8. Симуляция продажи стрэддлов по различным страйкам на БА — MGNT. Нормированное уклонение финансового результата от нуля лежит в интервале от 1.9 до 4.24 сигма. Что, для распределений с «тяжелыми хвостами», соответствующих стратегиям покупки стэдллов — более чем нормально.


Создаём рынок волатильности по теории оптимальной улыбки (Market Making Volatility by STO)
Рис. 9. Распределение прибылей и убытков от покупки стрэддла центрального страйка.



Для всех активов наблюдается схожий финансовый результат, сильно коррелированный по всем страйкам, то есть исключающий возможности misspricing'a  по кривизне улыбки и соответствующий только смещённости выборки в пользу роста или падения волатильности.

Создаём рынок волатильности по теории оптимальной улыбки (Market Making Volatility by STO)
Рис. 10. Изображение корреляционной матрицы финансовых результатов покупки волатильности по разным страйкам.



Прим :

Неискушенному читателю может показаться, что вот оно — ГТО! Но это далеко не так. ГТО ГТу — рознь, если дело касается эффективности статистических оценок. Подобрать ГТО «в среднем» — легко, достаточно лишь, чтобы оно совершало локальные взаимозануляющие ошибки. Но такое, «среднее» ГТО, не смотря на свою состоятельность, будет проигрывать любому более эффективному ГТу.








★14
31 комментарий
картинки очень красивые
avatar
Eugene Logunov, 
avatar
Я шизею, дорогая редакция. 
avatar
Рисунок 2 по виду не соответствует его подписи.
avatar
ch5oh, почему? Модуль приращений цен аппроксимирован экспоненциальным распределением. Без модуля получится распределение Лапласа с бетта равной нулю, а альфа равной лямбда.

avatar
Про "пространственно-временной континуум и бублик суперструны" всё понятно. Непонятно, где бабло в этой модели? =)
avatar
ch5oh, указано же, что ищется решение с нулевой суммой.

Смысл расчёта GTO в том, чтобы получить нулевую стратегию. А потом, как Маркет Мейкер, при желании вы можете добавить премию или комиссию.
avatar
какой смысл искать в чёрной комнате чёрную кошку, если её там нет? Волатильность — это такая квантовая субстанция, в которой невозможно отследить траекторию её изменения, т.е. если квант излучился из системы, то поймать его в ловушку не представляется возможным — либо угадал, либо нет.
avatar
Eugene Logunov, это было очень смешно =))
avatar
Если не сложно, данный подход на нашем рынке опробован? или только на Америке
avatar
Андрей К, этот подход ещё не опробован на Америке. Татнефть, Сбербанк, Магнит — это тикеры ММВБ.

Пока что вырабатывается методология решения проблемы поиска «нулевой» стратегии.

 
avatar
Kot_Begemot, 
Татнефть, Сбербанк, Магнит — это тикеры ММВБ.

мы будем заниматься непосредственно pricing'ом опционов
однако

ps. Прошу прощение, я тикеры не прочитал
avatar
сорри, я на 3м скрине никаких 77% корреляции не вижу, beta (rv/ewma_rv)=,77 это да.

И почему-то диапазон до 2 соток, для стоковых тикеров представляется как-то немного — т/фрейм точно мес. или день?
avatar
flextrader, 


я на 3м скрине никаких 77% корреляции не вижу, beta (rv/ewma_rv)=,77 это да.

Не совсем. В заблуждение вводит непривычный масштаб графика вследствие «тяжелых хвостов» ошибок.

«betta» будет сильно отличаться от корреляции только в том случае, если диапазон (range) зависимой переменной (RV) будет сильно выше диапазона независимой переменной (ewma_IV), но так как модель авторегрессионная, то диапазон её оценки соответствует диапазону наблюдений. 

Так, если убрать на графике только 2 точки — «выброса» (от тяжелых хвостов), то 77% корреляции станут намного более заметными.


И почему-то диапазон до 2 соток, для стоковых тикеров представляется как-то немного — т/фрейм точно мес. или день?

Да, ТФ — 1 день. С учётом примерно линейного отображения лог.масштаба вблизи нуля в нормальный масштаб с k=1, средняя волатильность акции 1.2% в день это нормально. 10-15% — и даже 60% возникает только в случае реализации края тяжелых хвостов.
avatar
Kot_Begemot, в общем случае это
 отличаться от корреляции только в том случае, если диапазон (range) зависимой переменной (RV) будет сильно выше диапазона
 понятно. точнее будет, наверно, в других категориях:
STDDEV зависимой != STDDEV зависимой.

но тогда я сразу хочу уточнить: я исходил из того, что ewma_IV (сразу отделяем от привычного IV) это текущая оценка RV, полученная классической EWMой (факт автонастраиваемости тут опустим), и ни разу не implied?
avatar
flextrader, 

STDDEV зависимой != STDDEV зависимой.

Это совсем уж точно)


ewma_IV (сразу отделяем от привычного IV) это текущая оценка RV, полученная классической EWMой (факт автонастраиваемости тут опустим), и ни разу не implied?

Совсем ничего непонятно. Сразу видно, что разговор идёт про опционы)

Моя оценка RV это как раз Implied, потому что это не только измерение текущей волатильности, но и прогноз будущей. Ранее я сравнивал различные модели, в том числе SSA (SVD) и пришёл к выводу, что наилучшим прогнозом обладает ARCH модель:



ЕWMA здесь отвечает только за то, что коэффициенты альфа представляют из себя экспоненциальное взвешивание наблюдений во времени:



К IV Black 'n Sсholes ожидаемая волатильность никакого отношения не имеет, так как не предполагает нормального распределения логарифмических приращений и не производит, таким образом, улыбку ошибочных представлений.


То есть, если говорить о классике, то ни EWMA, ни IV к ней не имеют никакого отношения.
avatar
Ivanka, да я и сам, если честно, не понимаю, что пишу. Уже даже не понимаю кто кого торгует — я опционы или опционы меня  
avatar
Вы же R используете? А подскажите чем такие 3д графики рисуются?
avatar
Dmitryy, Матлаб. Никакого R, Phyton.
avatar
Kot_Begemot, а в Python удобно работать с Time Series? 
avatar
Dmitryy, казнить нельзя помиловать! 

Работаю только в Матлаб.
В R не работаю, в Python не работаю.
avatar
Eugene Logunov, 
Eugene Logunov, +++ Красава!
По моему скромному мнению, и, не желая обидеть никого в каментах, чье мнение отличается от моего, но все же, рассматривая этот вопрос с другой точки зрения, в то же время, не опротестовывая ничью позицию, и, стараясь быть объективным, а также, принимая во внимание все без исключения аргументы других участников обсуждения искренне полагаю, что я целиком и полностью забыл, что хотел сказать =/

Fry (Антон), 
avatar
Eugene Logunov, если дошло до суперструн,
это точно д.б. кот шредингера
avatar

теги блога Kot_Begemot

....все тэги



UPDONW