Теорема отсчетов и технический анализ рынков

Исторически сложилось так, что в техническом анализе в основе графиков цен всегда присутствовало понятие таймфрейма — сжатого изображения изменения цены на некотором временном интервале. Обычно для этого использовались представления в виде четверки чисел, характеризующих начальное, конечное, максимальное и минимальное значения цен на месячном, недельном, дневном и иных интервалах времени. Т.е. представление информации было заведомо дискретным, да еще и проквантованным на величину минимального изменения котировки, что давало возможность сразу применить цифровые методы обработки данных.
Т.е. трейдеры — счастливые люди. Им не нужно думать, как превратить поток избыточной информации в сжатую последовательность чисел. Они изначально имеют эту последовательность.

Те, кто сталкивался с обработкой аналоговых сигналов сразу поймут, какое колоссальное преимущество кроется в этом факте. Ведь инструментарий аналоговой обработки данных очень сильно ограничен и по выбору возможных алгоритмов обработки данных и по средствам их реализации. В методах обработки сигналов при физических измерениях наблюдалась обратная картина. Изначально анализируемые процессы (сигналы) были непрерывными, а методы их анализа — аналоговыми. С развитием цифровых методов и устройств обработки информации возникла задача преобразования исходного непрерывного процесса в цифровую форму, а также вопрос о корректных правилах такого преобразования, сохраняющих все характерные особенности исходного процесса и преемственность аналоговых методов анализа и интерпретации результатов.

Цифровые методы анализа, работающие с дискретной и проквантованной информацией имеют на порядки больше возможностей, но… Это самое НО в прошлом упиралось в проблему перехода от аналога к цифре. И задача эта была очень трудно решаемой технически. Именно поэтому при давно известных методах формирования, записи и воспроизведения аудио и видео сигналов так нескоро появились технические средства для реализации этих идей. Ну сегодня это уже не проблема.
Кроме чисто техническим проблем преобразования аналога в цифру, сводящегося к замене непрерывного во времени сигнала потоком дискретных отсчетов, сформированных выборкой, чаще всего периодической, значений этого непрерывного сигнала, существуют и методологические проблемы.

Интуитивно понятно, что при дискретном представлении непрерывной функции времени (или пространства) мы должны потерять часть информации, содержащейся в исходных данных. И этот вопрос не мог не тревожить инженеров и ученых, занятых проблемами обработки сигналов. Нужно было четко знать и понимать, что и как нужно делать, чтобы потери были минимальными или их не было вообще.
Задача эта была решена еще в первой половине прошлого века Котельниковым, Найквистом и Шенноном. Вроде бы независимо. Кто из них первый и оригинальный автор исследования, насколько независимы результаты, полученные остальными — сие тайна великая есть. Но в русскоязычной литературе за теоремой отсчетов прочно закрепилось имя Котельникова. 

Согласно теореме Котельникова, произвольный непрерывный процесс может быть представлен в виде последовательности отсчетов (временного ряда) при соблюдении условия: частота получения отсчетов должна как минимум вдвое превышать максимальную частоту в спектре исходного непрерывного процесса. Доказано, что в этом случае в полученной последовательности чисел содержится вся информация об исходном непрерывном процессе и существует принципиальная возможность это информация использовать и при необходимости извлечь.

Исходный процесс z(t), образующий график цен, также является непрерывной функцией времени (если цена какое-то время не меняется, это просто будет интервал, на котором цена сохраняет постоянное значение). При этом графическое представление данных сводится к процедуре дискретизации непрерывного процесса, характеризующего изменение цены.
В дальнейшем будет рассматриваться равномерная по времени дискретизация и, соответственно, полученный временной ряд будет интерпретироваться как последовательность равномерных отсчетов непрерывного графика изменения цены. В традиции представления рыночной информации это будут цены закрытия или цены открытия временных интервалов таймфрейма.

Итак, мы рассматриваем изменение цены во времени в виде функции:

z(t) = x(t) + n(t),

где t изменяется от нуля, соответствующего началу интервала наблюдения, до текущего значения времени;
z(t) — изменение цены во времени;
x(t) — некоторая функция, описывающая значимые для наблюдателя и его целей движения рынка, обычно характеризуемые как тренды или тенденции. Обычно это длительные медленные движения большой амплитуды;
n(t) — некоторая компонента, описывающая несущественные с точки зрения целей наблюдателя тенденции изменения цен, обычно это так называемый ценовой шум — быстрые колебания цен, рассматриваемые с точки зрения выделения трендов, как некоторая помеха.

Представление z(t) в виде временного ряда, имеет вид последовательности чисел, привязанных к определенным моментам времени, расположенным равномерно с некоторым интервалом.
Не нарушая общности рассуждений, примем этот интервал равным единице. Тогда процесс дискретизации для z(t) можно записать следующим образом:

z(t) → z(k) = x(k) + n(k),

где k принимает значения от 0, соответствующего начальной точке интервала наблюдения, до N, соответствующего последнему наблюдаемому значению.
Интервал времени между отдельными значениями временного ряда называется интервалом дискретизации, а в традиции технического анализа рынков — таймфреймом.
Можно говорить, что совокупность z(k) получена из z(t) посредством процедуры получения равномерно расположенных отсчетов z(t). Обоснованный выбор интервала дискретизации (масштаба графика или интервала временного ряда) является первым шагом на пути к анализу z(t).
Как уже говорилось выше, в соответствии с теоремой Котельникова, информация, содержащаяся в непрерывном процессе, может быть полностью представлена временным рядом при условии, что интервал получения отсчетов как минимум вдвое меньше периода самой высокочастотной составляющей спектральной плотности исходного непрерывного процесса. В противном случае наступает эффект зеркального отражения спектральных компонент сигнала в область низких частот относительно половины частоты дискретизации и, соответственно, искажение информации.
Не вдаваясь в подробности, это можно пояснить на примере.
Пусть имеются два гармонических сигнала f(t) и g(t), где:

f(t) = sin(ωt + C),
g(t) = sin(3ωt + C).

При интервале дискретизации T = π / ω можно получить

f(kt) = sin(πk + C),
g(kt) = sin(3πk + C) = sin(πk + C),

т. е. компоненты с различными частотами после дискретизации становятся принципиально неразличимыми.
Указанное обстоятельство некоторым образом ограничивает возможности выбора временного масштаба для анализа полной ценовой информации, содержащейся в графике цены, как непрерывной функции времени.
Однако есть еще один момент, который делает эти ограничения несущественными. И дело здесь в скачкообразном изменении цены от тика к тику, в результате чего конечный график цены может быть представлен, как сумма функций единичного скачка (функция Хэвисайда) с весами. равными величине приращения цены по соответствующим тикам. А спектр каждой функции Хэвисайда имеет вид типа ~1/jω) с соответствующим весовым коэффициентом. В результате энергетический спектр графика цен приобретает обратно-квадратическую зависимости от частоты, а ошибка будет определяться мощностью спектра за пределами половины частоты дискретизации:


где S(ω) — энергетический спектр процесса s(t), характеризующего приращения цены, а T — интервал дискретизации.
В общем случае для произвольного вида S(ω) вычислить выражение для ошибки не представляется возможным.
Однако для модели случайного блуждания, когда приращения цены можно считать независимыми, S(ω) = const и из формулы следует

σ2 = const * T,

т. е. мощность ошибки пропорциональна величине интервала T представления данных.
На рис. 1 представлено распределение спектра мощности случайного блуждания.


Параметры графика: T = 2π, спектральная плотность нормирована к величине параметра const.
На графике также показан механизм образования погрешности дискретного представления z(t) за счет эффекта наложения частот при дискретизации. Путем несложных расчетов можно показать, что широкая линия, учитывающая эффекты наложения, представляет собой квадрат модуля передаточной функции кумулятивного дискретного сумматора и имеет вид:

Так как sin(x) ≈ x для x < π / 8, то расхождения между частотной характеристикой интегратора и кумулятивного сумматора в области низких частот незначительны и энергетический спектр временного ряда, так же, как и спектр непрерывного процесса изменения цены, будут вести себя одинаковым образом, сохраняя свойства процессов типа фликкер-шума (про фликкер-шум разговор отдельный,  он характеризует рынки с совсем другой стороны и по совсем другим качественным характеристикам, как разновидность определенного класса сложных систем). 
В принципе большого практического значения этот вывод не имеет, не если возникает такое желание, то можно использовать полученные данные для корректного выбора таймфрейма при заданной ошибке представления данных. Покажем это на примере графика цены EUR/USD, который представлен на рис.2.


График показывает цену евро в американских долларах по контрактам спот, были и такие цены, причем не так давно, а перерисовывать и пересчитывать не хочется.
Пусть минимальный по длительности и амплитуде цикл, структура которого является предметом исследования аналитика, представляет импульс движение-коррекция, отмеченный на рис. 2 с параметрами: амплитуда — 544 пункта, длительность — 9 дней. В этом случае анализ тонкой структуры ценовых движений до уровня 144-волновой диаграммы Пректера  требует от 144 до 288 отсчетов временного ряда цены на представленном интервале (для полигармонической аппроксимации). Ближайшим стандартным таймфреймом является график часового масштаба, который содержит на указанном интервале наблюдения 216 отсчетов, или график с интервалом 30 минут, содержащий 432 дискретных значения цены на рассматриваемом временном интервале.
Усредненную процентную погрешность дискретного представления данных можно получить и на основе формул, представленных выше.
В частности, если интерес для исследований представляет тонкая структура процесса z(t) на интервале времени T1, а используется интервал дискретизации T, то квадрат относительной погрешности δ2 дискретного представления будет определяться соотношением:


а среднеквадратическое отклонение формулой



Для рассмотренного выше примера при часовом интервале представлении графиков можно получить среднее значение относительной погрешности по сравнению с тиковым графиком δ = 0,068 (37 пунктов для импульса с размахом 554 пункта).
Необходимо отметить, что особых требований к точности и строгости определения интервала дискретного представления данных в общем случае нет.
Причины следующие:
– во-первых, мы не решаем задачу измерения параметров z(t), а только анализ ее поведения, тенденций и направления движения;
– во-вторых, незначительная скорость изменения процессов (по сравнению с другими приложениями прикладного анализа временных рядов, например, вибрационной техникой, акустикой, анализом удара, радиотехникой и другими областями, связанными с обработкой в реальном времени быстропротекающих процессов) исключает проблемы с быстродействием компьютера и позволяет использовать избыточный объем информации на базе графиков меньшего масштаба.

В теории и методах обработки сигналов при дискретном представлении непрерывных процессов используется предварительная фильтрация исходного сигнала с помощью фильтра нижних частот с частотой отсечки приблизительно в 2,7–3 раза меньше частоты получения отсчетов. Для ценовых графиков по аналогии можно использовать в качестве исходных тиковые или минутные последовательности, которые после предварительного сглаживания (низкочастотной фильтрации) могут использоваться для последующего получения дискретных рядов для других таймфреймов, в которых будет отсутствовать эффект наложения.
Однако характер спектра процесса z(t), а также специфика целей анализа движения цен позволяют в большинстве случаев пренебречь влиянием эффекта наложения от компонент, с длительностью цикла менее одного бара графика, при условии корректной процедуры выбора таймфрейма для детального анализа тонкой структуры движения цены при заданном размахе и длительности торгуемых движений.

В заключение еще пару слов о сути дискретного представления цен на графиках различного интервала и о том, почему на графика большего интервала торговать легче.
Сначала о сути.
Цена закрытия временного интервала графика означает ни что иное, как сумму всех приращений цены внутри этого интервала. Такой процесс суммирования описывается использованием фильтра с импульсной характеристикой в виде прямоугольного окна длительностью Т и амплитудно-частотной характеристикой вида Sin(пfT)/Sin(пf), где T — интервал таймфрейма.  Такой фильтр ослабляет все более быстрые составляющие движения цены с частотами больше частоты данного таймфрейма, примерно в 5 и более раз по амплитуде, т.е. за счет фильтрующих свойств таймфрейма график уже частично очищен от высокочастотного ценового «шума» и более подчеркивает медленные тренды большой длительности и большей амплитуды. Если учесть, что высокочастотные компоненты и та меньше по амплитуде за счет квадратичного знаменателя частоты в спектре, то влияние этих компонент на старших таймфреймах ощущаться не будет, по крайней мере визуально.
Следующий этап — дискретизация выходного сигнала такого фильтра, уже очищенного от ценового «шума»  и представление графика в привычном нам виде с ясно видимыми трендами старших уровней иерархии.

Удачи. И надеюсь кому-нибудь это пригодится.