Алгоритмы маркетмейкера. Часть 3

Продолжаем разбирать работу JIANGMIN XU «Optimal Strategies of High Frequency Traders». Чтобы составить уравнение оптимального контроля, сначала сформулируем проблему оптимизации алгоритма при используемых стратегиях θ,  как достижение максимума следующего матожидания:

,

где интегралпредставляет собой штрафную функцию удержания ненулевой открытой позиции рискованного актива, γ- постоянный коэффициент, d[P,P]t- квадратичное изменение средней цены P, — кэш трейдера на момент времени окончания торговли T.

Далее определим функцию, которая представляет активы трейдера после ликвидации всех открытых позиций в конце торговли по алгоритму с помощью маркет ордера:

,

где x — кэш трейдера,

p- средняя цена (в стакане),

y — открытая позиция,

s — спред,

f — дисбаланс объемов в стакане,

ϵ- комиссия. 

С учетом функции Q  дадим определение так называемой функции владения, которую мы и будем максимизировать на всем протяжении работы алгоритма:

Проблема оптимального контроля решается с применением динамически программируемых уравнений, и для  составления первого уравнения для котировочных стратегий θmk представим инфинитезимальный оператор второго порядка L:

— инфинитезимальные операторы процесса изменения средней цены P, дисбаланса объема в стакане F  и спреда S соответственно. Несмотря на страшное название данные операторы просто обозначают воздействие изменяющихся в течение времени процессов цены, дисбаланса объема  и спреда на функцию владения — то есть на активы, которыми владеет трейдер. Функции

являются ни чем иным, как ожидаемой частотой исполнения лимитных ордеров на биде и аске соответственно. Здесь h(f)- вероятность взятия лимит ордера на лучшем аске(биде) в очереди заявок, в зависимости от дисбаланса f, имеет форму — положительные константы. —  частоты прихода маркет ордеров на бид и аск.

Для составления вторoго уравнения  стратегии с маркет ордерами (take strategy) θtk , нам понадобится оператор импульсного управления M:

Этот оператор отражает воздействие на функцию V(t,x,y,p,f,s) стратегии θtk, с целью максимизации функции владения во время применения этой стратегии.

С операторами L и M мы сможем составить неравенство, которое называется квазивариационное неравенство Хамильтона-Якоби-Беллмана (HJB-QVI):

, на промежутке[0,T), (T- время ликвидации открытых позиций (окончание торговли)), и составляет систему уравнений с терминальным условием:

Решением этой системы уравнений и будет набор стратегий θmk ,θtk, вычисленные на каждый момент времени в промежутке [0,T), и на каждую величину спреда s, как изображено на графиках в заглавии статьи. Обратите внимание, что там появилась новая область в связи с размером спреда S больше одного шага цены — Pinging on bid\ask side. В этой области значения θmk равны 1 для бида/аска, что означает, что лимитные ордера выставляются в стакане на тик больше бида (тик меньше аска) — см. часть 2 цикла статей.

В следующей части рассмотрим как решить систему уравнений численными методами. Продолжение смотрите на моем сайте (см. профиль) или через некоторое время на смарт-лабе. Прошлые части статьи — в моем блоге.