Копипаст | Первое доказательство уровня Книги Эрдёша. Нейротрансформер решил задачу Эрдёша приёмом, который не заметили математики.

GPT-5.4 Pro уже несколько раз закрывала задачи из базы великого математика Пола Эрдёша — а в последний месяц это происходит почти еженедельно. Но 13 апреля случилось то, чего раньше не было: Джаред Дукер Лихтман — оксфордский математик, который сам семь лет работал над задачей #1196, — назвал решение GPT-5.4 Pro «первым доказательством уровня Книги Эрдёша» («Книгой» Эрдёш в шутку называл воображаемую книгу Бога, в которой собраны самые красивые доказательства всех теорем.). А Теренс Тао за сутки развернул это доказательство в зародыш новой теории. Промпт делал Лиам Прайс, модель решила задачу за 80 минут одной попыткой.

Сама задача — гипотеза 1968 года, поставленная Эрдёшем, Андрашем Шаркози и Эндре Семереди. Речь о примитивных множествах целых чисел: множествах, в которых ни один элемент не делится на другой. Сумма 1/(alog⁡a) по такому множеству конечна — это доказал ещё Эрдёш в 1935 году. Вопрос задачи #1196: насколько маленькой становится эта сумма, если оставить только большие числа? Прежний рекорд принадлежал тому же Лихтману (2023) — верхняя граница около 1,399. Решение GPT-5.4 Pro дало точную асимптотику 1+O(1/log⁡x).

Главная новизна — не в самом результате, а в методе. С 1935 года все, кто подходил к задаче, шли одним путем: переводили задачу из теории чисел в теорию вероятностей и работали там. По словам Лихтмана, этот «гамбит» был настолько естественным с человеческой точки зрения, что никто даже не искал альтернативный путь. GPT-5.4 Pro этот путь нашла — построила доказательство через функцию фон Мангольдта, объект из аналитической теории чисел со «странным и немотивированным» определением, который тем не менее кодирует основную теорему арифметики. «Это как новая дебютная линия в шахматах, которую упустили из-за человеческой эстетики и конвенций», — пояснил Лихтман в посте на X. Аналитики также проводят аналогию с известным «Ходом 37» в матче AlphaGo против Ли Седоля в 2016 году: тогда AI-программа сделала ход, который комментаторы сначала приняли за сбой, — а в итоге он перевернул многовековую теорию го и стал символом того, что машина способна находить решения, которые человек просто не рассматривает.

За следующие сутки филдсовский лауреат Теренс Тао превратил доказательство в каскад дальнейших открытий. Он переформулировал аргумент через нисходящий марковский процесс, ввел новую каноническую меру ν(n), нашел ее связь с обратной дзета-функцией Римана 1/ζ(s) — и к работе подключились ещё два математика, Уилл Совин и Кевин Барретто, получившие явные формулы. «AI-статья непреднамеренно подсветила более тесную связь между двумя областями математики, чем это было ранее явно сделано в литературе, — пишет Тао. — Это вклад в анатомию целых чисел, выходящий далеко за рамки решения конкретной задачи Эрдёша». [Источник]