Облигации: мифы и реальность. Часть 3. Глава 1. Куда кривая вывезет

Ранее мы предполагали, что рыночные ставки плоские, поэтому дисконтировали денежные потоки по облигации с помощью единой ставки — доходности к погашению (YTM). Однако наблюдаемые на рынке доходности государственных облигаций на самом деле зависят от срока до погашения.  Графически эта зависимость представляется в виде так называемой кривой доходности или yield curve. Если  для построения использовать только что выпущенные облигации, торгующиеся, как правило, возле номинала, получим кривую номинальной доходности  (par yield curve) Ее очень удобно интерпретировать, так как в этом случае купонные доходности равны доходностям к погашению. Впрочем, на низколиквидном рынке подобные облигации для всех сроков до погашения удается найти далеко не всегда.  

Возникает вопрос, можно ли использовать эти  кривые  для оценки вновь выпускаемых облигаций?  Рассмотрим модельный пример, когда на рынке есть только две облигации с ежегодной выплатой купона  торгующиеся по номиналу (100): годовая с купоном 3% и двухлетняя с купоном 6%. Пока мы не будем вдаваться в детали возможных причин различий их доходностей. Если на этом рынке появится еще одна двухлетняя облигация, но уже с купоном 9%, следует ли для расчета ее цены использовать нашу ‘двухлетнюю’ YTM, т.е. ставку 6% ?  Тогда бы мы получили цену облигации
P = 9/(1+6%) +109/(1+6%)²  = 105.5. Или, быть может, первый купонный платеж необходимо дисконтировать, используя YTM=3%, и только выплаты второго года по ставке 6% (цена будет равной P = 9/(1+3%) +109/(1+6%) ²   = 105.75)? Оказывается, ни первый, ни второй метод не подходит: можно показать, что в обоих случаях будет возможен арбитраж. 

Правильный способ — это считать нашу купонную облигацию портфелем облигаций с нулевым купоном. При этом неявно предполагается, что на рынке могут быть заключены контракты на продажу отдельных купонов, т.е облигацию можно “расщепить” на кусочки. Тогда каждый денежный поток (купоны и номинал) — будет  отдельной бескупонной облигацией со своим сроком погашения и ставками дисконтирования r₁, r₂ для каждого года.  Их также называют ставки “спот” (spot rates) Стоимость такого портфеля, а соответственно, и цена новой облигации, будет равна сумме приведенных стоимостей:   P = 9/(1+r₁) +9/(1+r₂ )² + 100/(1+r₂ )² Поскольку на нашем модельном рынке  бескупонных облигаций нет, для вычисления теоретических ставок r₁, r₂ понадобится определенная процедура, называемая бутстрэппингом.  Однолетнюю спотовую ставку  r₁ легко получить, зная характеристики годовой купонной облигации: 100 = 103/(1+r₁), т.е. она попросту равна YTM=3% для годовой облигации. Здесь мы приравниваем 103 к “номиналу” бескупонной годовой облигации, а 100 — к ее цене. Зная r₁, двухлетнюю бескупонную доходность r₂ теперь можно найти, используя данные (цену и размер купона) по двухлетней купонной облигации из уравнения 100 = 6/(1+3%) +106/(1+r₂ )² Она будет равна r₂ = 6.09%, т.е. чуть больше, чем YTM первой “двухлетки” (6%) Теперь легко определить справедливую, т.е.  безарбитражную, цену нашей новой двухлетней облигации с 9% купоном: P = 9/(1+3%) +109/(1+6.09%)² = 105.58. Если рассчитать доходность к погашению новой облигации при данной цене, она окажется равной 5.96%, т.е. будет ниже чем у первой “двухлетки”  А это и означает, что мы уже не можем ориентироваться на эфф. доходность (например, в Quik) как на единственный критерий при выборе облигации. Ведь  цена получена нами из соображений отсутствия арбитража, т.е старая и новая облигации на модельном рынке должны быть одинаково привлекательными с точки зрения инвестора. Однако доходность к погашению у двух сходных облигаций с  тем же сроком до погашения, но разной ставкой купона,  оказалась различной. В литературе это принято называть купонным эффектом. В мире плоских процентных ставок купонный эффект отсутствует. 

 Если бы у нас были  облигации с погашением через 3, 4 и т.д. года, соответствующие бескупонные доходности (спотовые ставки) вычислялись бы так же последовательно, одна за одной, в этом и заключается суть бутстрэппинга. Понятно, что для большого массива данных вручную это делать сложно, поэтому на помощь приходит линейная алгебра. Если у нас есть вектор цен облигаций P и соответствующая матрица купонных платежей C, то можно получить вектор дисконтирующих множителей (нормированных цен бескупонных облигаций) d из матричного уравнения d = C^-1 P Понятно, что при этом обратная матрица C^-1 должна существовать. В Excel для такой операции предусмотрена формула МУМНОЖ(МОБР(...);...) Из вектора d затем легко получить значения спотовых ставок r_i, т.к. d_i = 1/(1+r_i)ⁱ В приложенных файлах (Excel, Python) я привожу пример использования бутстрэппинга для вычисления спотовой кривой (zero curve) при  известных значениях доходностей к погашению (yields)

 Еще раз подчеркнем отличие. Кривая доходностей (yield curve) — это кривая ставок YTM имеющихся на рынке купонных государственных облигаций.  Спотовая кривая (zero curve) — кривая ставок, по которым следовало бы дисконтировать бескупонные государственные облигации, если бы они присутствовали на этом же  рынке.  У облигации с  ежегодной выплатой купона  и погашением через N лет существует единая ставка YTM,  которая приравнивает приведенную стоимость денежных потоков по облигации к ее цене. С другой стороны, чтобы получить  эту же цену,  для дисконтирования соответствующих потоков можно использовать N спотовых ставок. Спотовую кривую также принято  называть временной структурой процентных ставок.

 

Обычно выделяют  4 формы спотовой кривой: нормальную (возрастающую), инверсную (убывающую), плоскую и “сгорбленную”, см. рис:

 

В зависимости от своей формы спотовая кривая может занимать различное положение относительно кривой доходности. В случае возрастающей кривой доходности,  спотовая кривая всегда лежит  выше, см. рис 1.  

 

Если кривая доходности убывает, то спотовая кривая лежит ниже. В мире плоских процентных ставок спотовая кривая совпадает с кривой доходности. Следует также отметить, что ставки не могут расти или снижаться вечно. Поэтому, как нормальная, так и инверсная  кривые имеют асимптоты: ставки перестают изменяться, начиная с какого-то отдаленного во времени момента.

  Для возможности применения метода бутстрэппинга необходима полнота рынка облигаций, т.е для каждого срока до погашения у нас в наличии должны быть какие-нибудь высоколиквидные государственные купонные облигации. Зачастую это не так, поэтому для вычисления бескупонных доходностей используются приближенные (например, метод псевдообратных матриц) или параметрические методы. На сайте Мосбиржи для построения кривой бескупонной доходности (КБД) используется хорошо себя зарекомендовавший параметрический метод Нельсона-Сигеля. На рассчитанной с его помощью КБД указана доходность с ежегодной капитализацией процентов, т.е это уже знакомая нам «эффективная» доходность с сайта Мосбиржи.

Если же мы обратимся к посвященной облигациям страничке смартлаба, то обнаружим там сразу 4 представления некоей “Карты доходности ОФЗ” К сожалению, все они нуждаются в критическом осмыслении.  “Кривая купонной доходности” и аналогичная ей “Купонная доходность от срока до погашения” вовсе не кривые, а наборы точек,  представляющие собой ставки купонов ОФЗ для различных сроков до погашения. Так как эти ОФЗ выпускались в разные годы, их купонные ставки отражают доходности тех лет, поэтому обнаружить интересную зависимость или как либо систематизировать их  нельзя. Но это удобный способ одним взглядом окинуть все ОФЗ в разрезе их купонных доходностей. “Доходность от срока до погашения” это привычная нам кривая доходности (yield curve), а вот “Кривая бескупонной доходности” на самом деле таковой не является, хотя в отдельных случаях может быть к ней близка. Это та же yield curve, но построенная в зависимости от дюрации ОФЗ. Подписи к заголовкам (“полной текущей годовой доходности облигации..”) также неточны — доходность бывает либо полная, либо текущая. Текущая — это отношение купона к цене облигации, а под полной чаще всего понимают простую доходность к погашению, т.е. без сложного начисления процентов,  как, впрочем, и отмечено в подписи: “купон + изменение цены к погашению” приведенные к годовым величинам. Однако на самом графике указана не полная или текущая доходность, а доходность к погашению (с ежегодным начислением сложного процента), она же эффективная из Quik или сайта Мосбиржи. 

 

С целью подтверждения некорректности представления КБД в виде зависимости доходности ОФЗ от их дюрации ниже приведен рис 2. 

 

Для купонных облигаций ось абсцисс была деформирована, тогда как для теоретической спотовой кривой она осталась неизменной (дюрация бескупонной облигации равна сроку до ее погашения) Видно, что кривые не совпали, то есть так делать не совсем корректно. В  различиях можно убедиться, и сравнив значения КБД с сайта Мосбиржи с доходностями на сайте смартлаба при одной и той же дюрации. На самом деле при некоторых других формах кривой доходности ошибка такого представления может быть  очень серьезной.  Хотя идею я понимаю — если предположить, что дюрация купонной облигации это в каком-то смысле “эффективный” срок до ее погашения, то можно приблизительно соотнести ее характеристики с бескупонной облигацией той же дюрации. Вместе с тем, несмотря на указанные недостатки, обсуждаемая “Карта доходностей ОФЗ” чрезвычайно наглядна и позволяет, например, сравнивать текущую форму кривой с тем, что было день или месяц назад.

Итак, нам стала понятна важная роль спотовой кривой, или КБД, — она нужна для оценки вновь поступающих на рынок облигаций. В качестве упражнения и руководствуясь формулой 11 из Методики расчета НКД и доходности, аналогичной формуле 4 из части 1, я рассчитал (см. тот же приложенный файл Excel) безарбитражную цену ОФЗ 26235 на дату 01.03.2021. Точность получилась вполне удовлетворительной. Но ведь на рынке есть не только ОФЗ, дающие весьма скромную доходность:  многих трейдеров интересуют надежные корпоративные облигации и даже ВДО.  Из-за присущего таким бумагам повышенного кредитного риска, их доходности всегда больше, чем у гособлигаций соответствующей дюрации. Эта разница в доходностях обычно выражается в виде кредитного спреда.  Некоторое представление о разновидностях кредитных спредов и порядке их расчета можно получить на этом ресурсе. Спреды напрямую зависят от кредитного качества эмитента (вероятности дефолта)  и зачастую приводятся аналитиками в обзорах рынка фиксированного дохода.

Предварительно можно сформулировать следующее правило: для вычисления справедливой цены интересующей нас простой купонной облигации необходимо каждый денежный поток (в т.ч. номинал) дисконтировать по спот-ставке, относящейся к периоду его поступления. Ставки спот могут быть получены с помощью КБД путем прибавления к ней Z-спреда, характерного для аналогичных выпусков облигаций, которые уже присутствуют на рынке. 

Возникает закономерный вопрос: можем ли мы применять наши выводы о дюрации, сформулированные в предыдущих главах, если форма кривой доходности не является плоской? Оказывается, что в этом случае  дюрацию Маколея, аналогично доходности к погашению, уже нельзя считать полностью удовлетворительным параметром. Выражение для дюрации уточняют, чтобы отразить временную структуру процентных ставок и получают  дюрацию Фишера-Вейля. Вместо единой ставки YTM  каждое слагаемое в ней дисконтируется по спот-ставке соответствующего периода получения денежного потока. При переходе к непрерывному начислению методами вариационного исчисления можно показать, что в случае разового параллельного сдвига кривой доходности инвестор может обеспечить однопериодную иммунизацию портфеля облигаций, если его горизонт ограничен дюрацией Фишера-Вейля. При этом сама кривая может иметь любую форму. В качестве грубого  примера “параллельного сдвига” я взял вот этот  участок кривой доходности с “Карты ОФЗ” смартлаба:

В уже упоминавшемся файле Excel приведен расчет дюрации Фишера-Вейля для той же модельной кривой доходности. Видно, что полученные значения  поначалу слабо отличаются от дюрации Маколея, но это различие увеличивается со сроком до погашения. Инвестору, предпочитающему длинные облигации, необходимо это учитывать. 

В следующих частях мы подробнее обсудим временную структуру процентных ставок, их возможную динамику и некоторые стратегии, используемые трейдерами в зависимости от различных форм  спотовой кривой.