Блог им. Kot_Begemot

Критерий Келли через нормальное распределение



Ещё до того как я познакомился с критерием Келли, я уже успел наработать собственную широкую базу риск-оценок. И вопрос отказа от этого критерия для меня был, по сути, риторическим, тем более, что Келли, как бы мы того не хотели, достаточно примитивный (упрощённый) критерий. Но прежде чем отказываться от критерия хорошо бы вообще понять что это такое, учитывая, что критерий представляет весьма простое решение сложной задачи и интересен именно этим.


Для примера возьмём игру с нулевым E, в которой выигрыши распределены равномерно, с вероятностью 50/50 и представлены множеством {+50%,-50%}. За некоторое количество повторений, например за два раунда, мы будем иметь следующее распределение финансового результата:

  • 25% случаев — выигрыш 125% капитала до 2.25 (два выигрыша подряд)
  • 25% случаев — проигрыш 75% капитала до 0.25 (два проигрыша подряд)
  • 50% случаев — проигрыш 25% до 0.75 (один выигрыш и один проигрыш)

Рассчитав статистические моменты этого распределения легко убедиться, что средний выигрыш, как это положено, будет равен нулю, а наиболее вероятный вариант (мода) будет представлен проигрышем 25% капитала. Теперь, если варьировать ставку, можно убедиться, что с ростом ставки математическое ожидание по крайней мере не снижается, а мода, то есть наиболее вероятный исход — падает.

Проиллюстрируем этот эффект для сколь-либо длительной подобной игры:
Критерий Келли через нормальное распределение
Иллюстрация — распределение результатов длительной игры с высокими рисками. По оси X — итоговый капитал к концу игры, по оси Y — абсолютная частота выпадения соответствующих событий.



Видно, что для высоких рисков любая игра постепенно превращается в лотерею, где частые закономерные убытки компенсируются редкими, но высокими прибылями. У распределения растёт скос, а вместе с ним и вероятность неудачи. Так, например, при ставках (выигрышах) в 100% данная игра превратиться в игру «пан или пропал» с 75% вероятностью полного, тотального разорения (достаточно одной неудачи) и 25% вероятностью ошеломительного успеха.



Выбирать стратегию ставок в данном случае мы можем несколькими способами:

  1. Ограничение предела рисков/убытков — если, например, мы несем репутационные риски или имеем ограниченный капитал
  2. Максимизацией прибыли за счёт использования максимально доступных плеч — если конкретные риски нам не важны
  3. Максимизацией прибыли наиболее вероятного сценария, если предел убытка не ограничен, но ограничен капитал и его диверсификация.


Как известно, для подобного рода распределений (представляющих динамическое изменение ставок в соответствии с размером капитала), мода, то есть наиболее вероятный сценарий, достигает максимума при вариации параметров задачи одновременно с достижением максимума следующей величиной:

Критерий Келли через нормальное распределение  
 
Который соответствует ставке K (в долях от капитала):

Критерий Келли через нормальное распределение



Продемонстрируем итоговое распределение для игр со ставкой, соответствующей Kелли/2 (максимум моды) и ставкой 2*Келли для игры 60/40 :

Критерий Келли через нормальное распределение
Иллюстрация — снижение моды и увеличение положительного скоса распределения при росте ставок. Келли/2 — синяя гистограмма, 2*Келли — красная.


Но если мы хотим ещё увеличить риски, но, при этом не допустить вырождения игры в «пан или пропал», сохранив её более-менее закономерный итог, то мы можем поставить другое ограничение :

Критерий Келли через нормальное распределение


набирая риски до тех пор, пока пик распределения не уйдет в отрицательную зону, тогда:

Критерий Келли через нормальное распределение



Критерий Келли через нормальное распределение



И эта задача уже полностью соответствует критерию Келли.

Критерий Келли через нормальное распределение
Иллюстрация — полученные распределения финансовых результатов игр для ставок Келли/2 (сиреневая гистограмма) и Келли (салатовая гистограмма).


 
Таким образом, что мы можем сказать о Келли? 

  1. Стратегии по Келли полностью игнорируют риски и не допускают динамического управления ими.
  2. Связь ограничения рисков и ставок для стратегий Келли слабая (по сути, в неявном виде она опосредована через моду).
  3. Стратегия Келли/2 представляет из себя более стабильный вариант, максимизирующий фин. результат наиболее вероятного сценария.
  4. Стратегия Келли — предельный случай, граница ставок, сразу за которой игра превращается в лотерею.
  5. Распространённые утверждения о падении ожидаемой доходности (матожидания) с ростом ставок, по крайней мере, сомнительны.
★12
Вроде интересно, но по формулам «догадайся сам». Что за переменные, приходится логикой додумывать, особенно если статистика забыта. Е — матожидание? S — СКО?
avatar

krolix

krolix, да, рассчитанные по сделкам постоянным лотом.
avatar

Kot_Begemot

Kot_Begemot, вообще не очень понятно, как на рынке сигму считать от сделок ТС/портфеля ТС. Тут волатильность еще надо иметь в виду (брать скользящее окно, за которые рассчитываем ско?). И считать риски, без которых критерий Келли действительно ни о чём. К тому же, активы в разных фазах рынка по-разному могут отрабатывать ТС (на определенном этапе делать ей отрицательное матожидание, но мы это узнаем постфактум) Заходим мы стандартным сайзом с риском 1-2% в Сбер в период, как сейчас, а потом случается что-то типа 2009ого, когда дневной ATR 50%, и ходим с 18 до 30 рублей за несколько часов. Понятно, что при входе позу надо в 20-30 раз меньше брать, чтобы риски выдерживать.
avatar

krolix

krolix, здесь много тонкостей будет, действительно.

Если вы уже используете объёмы в % от депозита, то нужно брать результат сделки (в % к объёму открытия) и пересчитывать прибыль в % от объёма.

А если хотите ещё переменную волатильность БА учесть, то это уже вам «опционы» нужно подключать. Какие-нибудь ARCH-модели. И резать позиции на шоках. Но, честно говоря, у меня есть сомнения на этот счёт, в том смысле, что вы сможете закрыться в момент высокой неликвидности. 
avatar

Kot_Begemot

Kot_Begemot, да я так, демагогию развожу, торгую руками по старинке. Уверен, этот топик прочитает тот, кто программирует инфраструктура, и ему ваш комментарий будет полезен. Но например, в моем случае управление позицией при открытии/удержании идёт от изначально максимально допустимого риска до скользящего стопа (который может и проскользнуть). Например, для акций 0.6-1.2% депо с резкой риска овернайт, для si — 2.5% депо (тут позу резать только в годах типа 2014ого придётся). Зависит, конечно, от устойчивости ТС (PF, количество профитных кварталов, значимости средней сделки относительно комиссий/спреда)
avatar

krolix

krolix, да тут вообще штука такая — кому-то и 10% просадки уже беспредел) 
avatar

Kot_Begemot

Kot_Begemot, тут надо брать отношение торгового депозита человека ко всему движимому-недвижимому имуществу-банкодепозитам-бизнесам-заначкам. И всё станет ясно про риски-просадки. Вполне логично, что 10-15% просадки в некотором роде беспредел для тех, кто торгует на бирже 30-50% от «всего-всего» ;)
avatar

krolix

Ставки выигрыши… Вместо понимания рынка сплошное казино.  
avatar

Евгений

Евгений, это и есть правильное понимание рынка, а то что ты понимаешь не более чем химера
avatar

Cristopher Robin

smart-lab.ru/blog/335962.php
несколько проще… весьма спорно… но тоже  интересно....
Вы, Бегемот, возможно, и видели…энтот опус…
avatar

wistopus

wistopus, да, видел, на него и ссылался. И на словарь Смарт-Лаб, само собой)

При этом, картинка-то может и верная, но точно не с теми подписями и не с той интерпретацией, которая даётся.
avatar

Kot_Begemot

Да что вы к Кели пристали, нет там ничего что связано с управлением капиталом, да начало верные у него в рассуждениях, но кто в книгах будит писать все, тут надо не понять что он хотел описать а додумать самому подход
avatar

CapitalMAN

CapitalMAN, так у меня так и получилось — пытаюсь понять как эта штуковина вообще работает)
avatar

Kot_Begemot

Kot_Begemot, не работает она, посмотрите у меня ютуб канале есть видео посвященное рискам, смысл в том что если вы рискуете 2% от капитала и имеете стратегию с просадкой 10% то при риске 20% от капитала просадка будит 100% от капитала и смысл в том что так торговать нельзя, просто нет толку, так как вы никогда не увеличите обьем, а если увиличите то получите 100% просадку, тут надо сделать вывод что так торговать как все не льзя и пойти другим путем, посмотрите мою страницу и канал может поможет
avatar

CapitalMAN

CapitalMAN, проблема в том, что мы не всегда знаем, что у нас риск на 20% от капитала. 8.8.8, 9.4.18 и проч. тоже надо в уме держать, особенно если овернайт поза переносится
avatar

krolix

келли юзают только при пмо,
поэтому 1,2 — бред, а что такое к/2,
3 — а почему не к/10,
4 — тоже бред, это предельный случай для оптимума

avatar

billy

обсуждаемое перестало интересовать меня выяснив
мол в расчётах нужно своё понимание истинной вероятности

проиграл? сам винрват
надо было знать истинную вероятность

....все тэги
UPDONW