Попробую доступно показать, откуда берется в формулах стоимости опционов функция распределения Гаусса.
Итак исходное уравнение Блэка-Шоулза:
где V — цена опциона, S — цена спота, r — ставка, ну и сигма в представлении не нуждается.
Это параболическое дифференциальное уравнение в частных производных. Решать можно несколькими способами, но я не буду этого делать, а сразу запишу решение, т.к. его вывод не имеет значения для цели этого топика.
Чтобы слегка упростить запись, введу переменную времени, оставшегося до экспирации:
Решение уравнения БШ тогда можно записать в следующем виде:
где Payoff(S) — это функция выплат опциона. Для опциона кол:
Соответственно цена кола:
поменяем переменную интегрирования на
тогда
Считать стоимость опциона по этой формуле не очень просто, но рассмотрим сначала второе слагаемое:
Сложно не заметить сходство с функцией нормального распределения:
В силу популярности нормального распределения для этой функции существует немало аппроксимаций и способов вычислить ее численно. Та или иная реализация имеется, без преувеличения, в любом статистическом пакете.
Если нам удастся выразить второе слагаемое через эту функцию, то считать стоимость опционов будет намного легче. Так что овчинка стоит выделки!
Заменим переменную интегрирования во втором слагаемом выше на
и получим
где
С первым слагаемым не так очевидно, но все же не очень сложно. Сначала надо подвести дополнительное слагаемое в экспоненте под квадрат, а далее действуем аналогично второму слагаемому. Поэтому здесь я сразу запишу результат:
где
В итоге получаем, что хотели:
Но так как распределение БА не нормальное, то его надо скорректировать улыбкой. А она на дельту влияет. Поэтому так и получается.
В данном случае, куда больше ожидание что пойдет БА в сторону 6000 или 8000?
И почему с 7400 по 7900 идет какой то перепад волотильности?
Прошу подсказать если кто то знает
Олег Данилов, Извини за тролья. Тут ожидания нет и подсказки нет. На акциях обычно путы дороже колов. Предполагается, что акции будут расти, в них дивы и т.д. Что бы увидеть это наглядно надо найти в ПО «улыбку волатильности». С течением времени она меняется и когда совсем близко к экспирации оба крыла улыбки поднимаются и колы и путы начинают стоить одинаково.
Ты почитай где нибудь про распределения, случайности, вообще про опционы и вопросы снимутся. А сей час продай дорогие путы и купи дешевые колы и профит обеспечен.
Грубо говоря IV — единственный параметр, который можно подкрутить в ограниченной модели БлекаШоулза (а именно через нее здесь расчет) чтобы хоть как-то просоответствовать рыночным особенностям. В данном случае особенностям рынка свинины
Рассмотрим логнормальное случайное блуждание:
где dX — Винеровский процесс.
Определим вероятность того, что цена из начальной точки S во время t окажется в диапазоне от a до b во время t':
( Читать дальше )
- комментировать
- Просмотры 2 за час / 94 за сутки / 3988 за неделю | ★14
- Комментарии(110)
Функция нормального распределения в формулах стоимости опционов- 25 февраля 2018, 15:21
- |
- bstone
- Сохр
- |
- Ж
- |
- Печать
Попробую доступно показать, откуда берется в формулах стоимости опционов функция распределения Гаусса.Итак исходное уравнение Блэка-Шоулза:
где V — цена опциона, S — цена спота, r — ставка, ну и сигма в представлении не нуждается.
Это параболическое дифференциальное уравнение в частных производных. Решать можно несколькими способами, но я не буду этого делать, а сразу запишу решение, т.к. его вывод не имеет значения для цели этого топика.
Чтобы слегка упростить запись, введу переменную времени, оставшегося до экспирации:
Решение уравнения БШ тогда можно записать в следующем виде:
где Payoff(S) — это функция выплат опциона. Для опциона кол:
Соответственно цена кола:
поменяем переменную интегрирования на
тогда
Считать стоимость опциона по этой формуле не очень просто, но рассмотрим сначала второе слагаемое:
Сложно не заметить сходство с функцией нормального распределения:
В силу популярности нормального распределения для этой функции существует немало аппроксимаций и способов вычислить ее численно. Та или иная реализация имеется, без преувеличения, в любом статистическом пакете.
Если нам удастся выразить второе слагаемое через эту функцию, то считать стоимость опционов будет намного легче. Так что овчинка стоит выделки!
Заменим переменную интегрирования во втором слагаемом выше на
и получим
где
С первым слагаемым не так очевидно, но все же не очень сложно. Сначала надо подвести дополнительное слагаемое в экспоненте под квадрат, а далее действуем аналогично второму слагаемому. Поэтому здесь я сразу запишу результат:
где
В итоге получаем, что хотели:
Но так как распределение БА не нормальное, то его надо скорректировать улыбкой. А она на дельту влияет. Поэтому так и получается.
И почему с 7400 по 7900 идет какой то перепад волотильности?
Прошу подсказать если кто то знает
Ты почитай где нибудь про распределения, случайности, вообще про опционы и вопросы снимутся. А сей час продай дорогие путы и купи дешевые колы и профит обеспечен.