Улыбка волотильности

Зуб выбили, теперь такая вот…

потому что предполагается, что в одну сторону цена БА двигаться может быстрей, чем в другую.

потому что страйки располагаются не равномерно, равномерная шкала страйков должна быть логарифмической.

Рассмотрим логнормальное случайное блуждание:



где dX — Винеровский процесс.

Определим вероятность того, что цена из начальной точки S во время t окажется в диапазоне от a до b во время t':



( Читать дальше )

• хорошо
• +67

• спецраздел: 
• опционы

• Ключевые слова:
• опционы, 
• вероятность

---

• комментировать
• Просмотры 2 за час / 94 за сутки / 3988 за неделю | ★14
• Комментарии(110)

Функция нормального распределения в формулах стоимости опционов

• 25 февраля 2018, 15:21
• |
• bstone
• Сохр
• |
• Ж
• |
• Печать

Попробую доступно показать, откуда берется в формулах стоимости опционов функция распределения Гаусса.

Итак исходное уравнение Блэка-Шоулза:



где V — цена опциона, S — цена спота, r — ставка, ну и сигма в представлении не нуждается.

Это параболическое дифференциальное уравнение в частных производных. Решать можно несколькими способами, но я не буду этого делать, а сразу запишу решение, т.к. его вывод  не имеет значения для цели этого топика.

Чтобы слегка упростить запись, введу переменную времени, оставшегося до экспирации:

 

Решение уравнения БШ тогда можно записать в следующем виде:



где Payoff(S) — это функция выплат опциона. Для опциона кол:



Соответственно цена кола:



поменяем переменную интегрирования на



тогда



Считать стоимость опциона по этой формуле не очень просто, но рассмотрим сначала второе слагаемое:



Сложно не заметить сходство с функцией нормального распределения:



В силу популярности нормального распределения для этой функции существует немало аппроксимаций и способов вычислить ее численно. Та или иная реализация имеется, без преувеличения, в любом статистическом пакете. 

Если нам удастся выразить второе слагаемое через эту функцию, то считать стоимость опционов будет намного легче. Так что овчинка стоит выделки!

Заменим переменную интегрирования во втором слагаемом выше на



и получим



где



С первым слагаемым не так очевидно, но все же не очень сложно. Сначала надо подвести дополнительное слагаемое в экспоненте под квадрат, а далее действуем аналогично второму слагаемому. Поэтому здесь я сразу запишу результат:



где 



В итоге получаем, что хотели:



Но так как распределение БА не нормальное, то его надо скорректировать улыбкой. А она на дельту влияет. Поэтому так и получается.