Список проголосовавших за комментарий "<br/> Рассмотрим логнормальное случайное блуждание:<br/> <br/> <a class="imgpreview" href="/uploads/images/02/64/58/2018/02/25/166e65.gif" target="_blank"><img title="Формула для расчета вероятности выхода опциона в деньги" src="/uploads/images/02/64/58/2018/02/25/9be396.gif" alt="Формула для расчета вероятности выхода опциона в деньги"/></a><br/> <br/> где dX — Винеровский процесс.<br/> <br/> Определим вероятность того, что цена из начальной точки S во время t окажется в диапазоне от a до b во время t':<br/> <br/> <a class="imgpreview" href="/uploads/images/02/64/58/2018/02/25/9cf050.gif" target="_blank"><img title="Формула для расчета вероятности выхода опциона в деньги" src="/uploads/images/02/64/58/2018/02/25/45770f.gif" alt="Формула для расчета вероятности выхода опциона в деньги"/></a><br/> <br/> ( <a title="Читать дальше" href="/blog/454686.php">Читать дальше</a> )<ul><li><a href="/my/bstone/blog/all/#">хорошо</a></li><li><a href="/votes/topic/454686/" target="_blank">+67</a></li></ul><ul><li>спецраздел: </li><li><a href="/options/">опционы</a></li></ul><ul><li>Ключевые слова:</li><li><a href="/tag/%D0%BE%D0%BF%D1%86%D0%B8%D0%BE%D0%BD%D1%8B/">опционы</a>, </li><li><a href="/tag/%D0%B2%D0%B5%D1%80%D0%BE%D1%8F%D1%82%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C/">вероятность</a></li></ul><hr/><ul><li><a title="комментировать" href="/blog/454686.php#comments">комментировать</a></li><li>Просмотры 2 за час / 94 за сутки / 3988 за неделю | ★14</li><li><a title="читать комментарии" href="/blog/454686.php#comments">Комментарии(110)</a></li></ul><a href="/blog/454672.php">Функция нормального распределения в формулах стоимости опционов</a><ul><li>25 февраля 2018, 15:21</li><li>|</li><li><a class="trader_other" href="/profile/bstone/">bstone</a></li><li><a href="/my/bstone/blog/all/#">Сохр</a></li><li>|</li><li><a title="Пожаловаться" href="/abuse/abuse_topic/454672/">Ж</a></li><li>|</li><li><a href="/print/454672.php" target="_blank">Печать</a></li></ul>Попробую доступно показать, откуда берется в формулах стоимости опционов функция распределения Гаусса.<br/> <br/> Итак исходное уравнение Блэка-Шоулза:<br/> <br/> <a class="imgpreview" href="/uploads/images/02/64/58/2018/02/25/3ab259.gif" target="_blank"><img title="Функция нормального распределения в формулах стоимости опционов" src="/uploads/images/02/64/58/2018/02/25/ccaf35.gif" alt="Функция нормального распределения в формулах стоимости опционов"/></a><br/> <br/> где V — цена опциона, S — цена спота, r — ставка, ну и сигма в представлении не нуждается.<br/> <br/> Это параболическое дифференциальное уравнение в частных производных. Решать можно несколькими способами, но я не буду этого делать, а сразу запишу решение, т.к. его вывод не имеет значения для цели этого топика.<br/> <br/> Чтобы слегка упростить запись, введу переменную времени, оставшегося до экспирации:<br/> <br/> <a class="imgpreview" href="/uploads/images/02/64/58/2018/02/25/bccdab.gif" target="_blank"><img title="Функция нормального распределения в формулах стоимости опционов" src="/uploads/images/02/64/58/2018/02/25/a806b3.gif" alt="Функция нормального распределения в формулах стоимости опционов"/></a><a name="cut"></a> <br/> <br/> Решение уравнения БШ тогда можно записать в следующем виде:<br/> <br/> <a class="imgpreview" href="/uploads/images/02/64/58/2018/02/25/bd58cf.gif" target="_blank"><img title="Функция нормального распределения в формулах стоимости опционов" src="/uploads/images/02/64/58/2018/02/25/ed0542.gif" alt="Функция нормального распределения в формулах стоимости опционов"/></a><br/> <br/> где Payoff(S) — это функция выплат опциона. Для опциона кол:<br/> <br/> <a class="imgpreview" href="/uploads/images/02/64/58/2018/02/25/d4ecce.gif" target="_blank"><img title="Функция нормального распределения в формулах стоимости опционов" src="/uploads/images/02/64/58/2018/02/25/99f99a.gif" alt="Функция нормального распределения в формулах стоимости опционов"/></a><br/> <br/> Соответственно цена кола:<br/> <br/> <a class="imgpreview" href="/uploads/images/02/64/58/2018/02/25/b4364f.gif" target="_blank"><img title="Функция нормального распределения в формулах стоимости опционов" src="/uploads/images/02/64/58/2018/02/25/60c98b.gif" alt="Функция нормального распределения в формулах стоимости опционов"/></a><br/> <br/> поменяем переменную интегрирования на<br/> <br/> <a class="imgpreview" href="/uploads/images/02/64/58/2018/02/25/9cdb7b.gif" target="_blank"><img title="Функция нормального распределения в формулах стоимости опционов" src="/uploads/images/02/64/58/2018/02/25/f4a061.gif" alt="Функция нормального распределения в формулах стоимости опционов"/></a><br/> <br/> тогда<br/> <br/> <a class="imgpreview" href="/uploads/images/02/64/58/2018/02/25/18e3a5.gif" target="_blank"><img title="Функция нормального распределения в формулах стоимости опционов" src="/uploads/images/02/64/58/2018/02/25/2fb091.gif" alt="Функция нормального распределения в формулах стоимости опционов"/></a><br/> <br/> Считать стоимость опциона по этой формуле не очень просто, но рассмотрим сначала второе слагаемое:<br/> <br/> <a class="imgpreview" href="/uploads/images/02/64/58/2018/02/25/07eb07.gif" target="_blank"><img title="Функция нормального распределения в формулах стоимости опционов" src="/uploads/images/02/64/58/2018/02/25/43ba02.gif" alt="Функция нормального распределения в формулах стоимости опционов"/></a><br/> <br/> Сложно не заметить сходство с функцией нормального распределения:<br/> <br/> <a class="imgpreview" href="/uploads/images/02/64/58/2018/02/25/7784b5.gif" target="_blank"><img title="Функция нормального распределения в формулах стоимости опционов" src="/uploads/images/02/64/58/2018/02/25/2189bc.gif" alt="Функция нормального распределения в формулах стоимости опционов"/></a><br/> <br/> В силу популярности нормального распределения для этой функции существует немало аппроксимаций и способов вычислить ее численно. Та или иная реализация имеется, без преувеличения, в любом статистическом пакете. <br/> <br/> Если нам удастся выразить второе слагаемое через эту функцию, то считать стоимость опционов будет намного легче. Так что овчинка стоит выделки!<br/> <br/> Заменим переменную интегрирования во втором слагаемом выше на<br/> <br/> <a class="imgpreview" href="/uploads/images/02/64/58/2018/02/25/fa4c0b.gif" target="_blank"><img title="Функция нормального распределения в формулах стоимости опционов" src="/uploads/images/02/64/58/2018/02/25/7f2eba.gif" alt="Функция нормального распределения в формулах стоимости опционов"/></a><br/> <br/> и получим<br/> <br/> <a class="imgpreview" href="/uploads/images/02/64/58/2018/02/25/8d5664.gif" target="_blank"><img title="Функция нормального распределения в формулах стоимости опционов" src="/uploads/images/02/64/58/2018/02/25/8f4fc9.gif" alt="Функция нормального распределения в формулах стоимости опционов"/></a><br/> <br/> где<br/> <br/> <a class="imgpreview" href="/uploads/images/02/64/58/2018/02/25/071df6.gif" target="_blank"><img title="Функция нормального распределения в формулах стоимости опционов" src="/uploads/images/02/64/58/2018/02/25/7ab337.gif" alt="Функция нормального распределения в формулах стоимости опционов"/></a><br/> <br/> С первым слагаемым не так очевидно, но все же не очень сложно. Сначала надо подвести дополнительное слагаемое в экспоненте под квадрат, а далее действуем аналогично второму слагаемому. Поэтому здесь я сразу запишу результат:<br/> <br/> <a class="imgpreview" href="/uploads/images/02/64/58/2018/02/25/1baa43.gif" target="_blank"><img title="Функция нормального распределения в формулах стоимости опционов" src="/uploads/images/02/64/58/2018/02/25/d31764.gif" alt="Функция нормального распределения в формулах стоимости опционов"/></a><br/> <br/> где <br/> <br/> <a class="imgpreview" href="/uploads/images/02/64/58/2018/02/25/52aa0f.gif" target="_blank"><img title="Функция нормального распределения в формулах стоимости опционов" src="/uploads/images/02/64/58/2018/02/25/0a5782.gif" alt="Функция нормального распределения в формулах стоимости опционов"/></a><br/> <br/> В итоге получаем, что хотели:<br/> <br/> <a class="imgpreview" href="/uploads/images/02/64/58/2018/02/25/a5dc8a.gif" target="_blank"><img title="Функция нормального распределения в формулах стоимости опционов" src="/uploads/images/02/64/58/2018/02/25/9e2199.gif" alt="Функция нормального распределения в формулах стоимости опционов"/></a><br/> <br/> Но так как распределение БА не нормальное, то его надо скорректировать улыбкой. А она на дельту влияет. Поэтому так и получается."