Как влияет на доходность облигации реинвестирование купонов? Делаем расчёт.

После интересного разговора с одним формучанином я нашел ошибку в своих расчетах, что и послужило причиной появления этого поста. Давайте разберемся с тем как влияет реинвестирование купонов на доходность облигации.
Чтобы не усложнять (пока) расчеты неполными купонными периодами, потренируемся на гипотетических облигациях. Возьмем гипотетическую облигацию, со следующими параметрами:

• Номинал 1000₽
• Котировка: 82%
• Ставка купона: 10%
• Частота выплат: ежеквартально.
• Погашение: через 2 года.

Какая у нее будет доходность с без реинвестирования купонов и с реинвестированием? Считаем доходность без реинвестирования купонов (она же YTM) по формуле IRR:

Где:
P – цена облигации (820 р);
CF – денежный поток (купон, амортизация или выплата тела, неважно);
t – номер периода;
n – количество периодов до погашения (8 кварталов);
IRR – доходность облигации (искомый параметр).

Это уравнение решается не аналитически, а итерационно, то есть нужно методом подбора определить при какой IRR будет выполняться равенство:

Обратите внимание, что поскольку мы рассматриваем ежеквартальные периоды, то и ставка тоже будет квартальной. Она равна 5,3% Далее переводим ее в эффективную годовую ставку:

Так мы получили доходность облигации без реинвестирования купонов.

А что будет если инвестировать купоны под указанную ставку в эту же облигацию (с допущением, что ставка будет неизменна на протяжении всего срока жизни? Для этого нужно определить будущую стоимость всех купонов. Можно сделать через формулу будущей стоимости аннуитета, но на практике она неудобна из-за неполных периодов, поэтому просто возьмем числовой ряд:

Где:

• FV – полное количество денег, ожидаемых от облигации с учетом реинвестирования под ту же доходность
• CF_t – денежный поток от облигации в t периоде
• IRR – внутренняя норма доходности
• n – рассматриваемый период
• t – количество периодов

Тогда:

Где:
Y — количество полных лет.
FV — будущее количество денег
PV — стоимость покупки облигации

Как видите, доходность оказалась точно такой же.

Отсюда вывод: реинвестирование купонов под ту же ставку не меняет доходность облигации, оно «переносит» текущую стоимость денег в более отдаленный период с сохранением внутренней ставки доходности. 

Тем не менее, расчёт доходности реинвестирования купонов как метод полезен тогда, когда купоны предполагается реинвестировать в какой-то другой финансовый инструмент. Этим способом можно рассчитать, совокупную доходность по операции при покупке облигации с одной доходностью и реинвестировании купонов в облигацию с другой доходностью.

Спасибо СергейК за дискуссию.