Блог им. Antishort

Продвинутым математикам о дисперсии

Есть система A: гарантированно профитная.
Есть система Б: гарантированно с нулевым мат.ожиданием (для упрощения вопроса). 

Сделки А и Б не пересекаются по времени (т.е. сделки по одной системе не будут мешать сделкам по другой системе).

Чисто интуитивно совместное использование A и Б будет равносильно применению только А (если не принимать в расчёт транзакционные издержки).

Вопрос: возможно ли, что из-за дисперсии результатов по системе Б, он будет мешать зарабатывать А с учётом сложного процента? (ну то есть перед сделкой А, происходит сделка Б с отрицательным результатом, которая уменьшает профит от сделки по система А).

Оговорка — риск на сделку в % от капитала. Т.е. отрицательная сделка уменьшает сайз следующей сделки, положительная — увеличивает.

Интересует именно теоретическое обоснование с наличием какого-нибудь математического аппарата.
★1
26 комментариев
имеет смысл, если у системы А и Б отрицательная корреляция доходов по сделкам… Подробнее читай Ральфа Винса… Новый подход к управлению капиталом стр 66
avatar
AntiKukl, Для простоты эксперимента не будем плодить сущности и примем, что у нас две сферические системы, каждая в своём вакууме, о корреляции которых нам ничего не известно и их взаимодействие заключается лишь во влиянии на общий капитал двух систем.
avatar
Antishort, если корреляция отрицательная — торгуй две системы, если нулевая или положительная — только А. если о корреляции ничего не известно — только А
avatar
AntiKukl, «если о корреляции ничего не известно — только А»

Обоснование вот этого меня и интересует математически.
avatar
Antishort, я не математик, у Винса есть доказательство при известных корреляциях... 
avatar
Конечно возможно, поскольку если у системы Б нулевое матожидание, существенная дисперсия, и результаты сделок случайны и независимы от предыдущих, то неизбежно и довольно часто будут появляться серии убыточных сделок, которые будут уменьшать депозит.

А вообще это как повезёт, если повезёт — то наоборот поможет если будут прибыльные сделки. Мат ожидание это же всего лишь ожидание, а как там получится неизвестно же заранее ))
Пафос Респектыч, Возможно, но если матожидание нулевое, то будут и серии положительных сделок, которые будут влиять в другую сторону.
avatar
Antishort, конечно, но если у нулевой системы существенная дисперсия, то добавляя её к торговле ты получаешь систему с тем же матожиданием что и у положительной, но дисперсия становится больше — значит график эквити будет колбасить сильнее, шарп будет хуже и всё такое.
Пафос Респектыч, Согласен. Профит не увеличиваем, но разброс результатов увеличиваем.
avatar
Пример.

Система А каждый раз увеличивает капитал, умножая его на 1.1.

Система Б может с равными шансами либо увеличить капитал, умножив его на 1.25, либо уменьшить его, умножив на 0.8. Поскольку 1.25 * 0.8 = 1, считаем, что система Б имеет нулевое матожидание (не меняет капитал, если оба варианта произошли одинаковое количество раз).

Пусть теперь мы используем системы в порядке А, Б, А, Б. В зависимости от случая есть 4 равновероятных варианта, где изменение капитала будет:
1) 1.1 * 1.25 * 1.1 * 1.25 = 1.890625
2) 1.1 * 1.25 * 1.1 * 0.80 = 1.21
3) 1.1 * 0.80 * 1.1 * 1.25 = 1.21
4) 1.1 * 0.80 * 1.1 * 0.80 = 0.7744
Получается, что капитал увеличилив среднем в
(1.890625+1.21+1.21+0.7744) = 1.27125625 раз.

Без системы Б было бы 1.1 * 1.1 = 1.21 гарантировано.

Только сравнивать среднее в первом случае и гарантированный результат во втором не очень хорошо.

Ведь если просто взять систему Б и рассмотреть 4 варианта, то будет:
1) 1.25 * 1.25 = 1.5625
2) 1.25 * 0.80 = 1
3) 0.80 * 1.25 = 1
4) 0.80 * 0.80 = 0.64
и здесь среднее равно 1.050625, т.е типа зарабатываем на системе с нулевым матожиданием.

Но отношение первого и второго значений 1.27125625 / 1.050625 = 1.21, как если бы система Б просто 2 раза использовалась.

В общем, вердикт такой: используйте А и не используйте Б в этом случае, если только целью не является ЛУДОМАНИЯ.
avatar
_sk_, Пока что придерживаюсь консервативного подхода, не смешивая системы, т.к. есть такая штука как влияние ассиметричного рычага:
— заработал 10%, потерял 10% = минус 1%.
— потерял 10%, заработал 10% = минус 1%.
avatar
Надо выкинуть на помойку Б и торговать только А.
avatar
ch5oh, На практике так и происходит. Хотелось бы понять как это в расчётах можно увидеть от людей, монументально владеющих математикой.
avatar
Antishort, математически матожидание и дисперсия случайной величины, являющейся суммой двух независимых случайных величин равны суммам матожиданий и дисперсий соответственно этих случайных величин. То есть если у одной МО ноль но дисперсия не ноль то общее МО не меняется, а дисперсия увеличивается, а это уже плохо.
Пафос Респектыч, не докручиваете рассуждений. Тут не сумма двух величин, а полусумма, поскольку торгуется одна сумма на две системы. Для дисперсий пример можно составить такой: еслии у А она 36, у Б 64, то у А+Б будет 50. То есть ожидаемая просадка А в торговле А+Б увеличится в корень из 50/36 раз. То есть около 1,18. А на в 1,41 раза.
avatar
MS, сумма, сумма. Сделки же не пересекаются во времени по условию. А если «полусумма», то и там и полуматожидание, так что с какой стороны ни посмотри оно так и будет.
Посчитайте «доходность-риск» портфеля из двух систем. Комбинация имеет смысл только когда этот показатель портфеля лучше показателя системы А.
avatar
Без матаппарата можно, на пальцах. Про все эффекты по постановке задачи имеет смысл говорить лишь в среднем. Сделки по Б будут как увеличивать сумму входа по А, так и уменьшать, в зависимости от своего исхода.
Надо сравнивать две стратегии: А и А+Б.
В среднем при очень длинном тесте их результаты будут ожидаться одинаковыми.
Но вот при не слишком длинном возможны эффекты. Будет зависеть от случая. Какая серия будет выпадать в Б в начале, положительная или отрицательная. Ряд убытков в Б снизит вклад будущих плюсов и увеличит вклад от убытков. То есть первоначальная удача в Б загонит результат стратегии А+Б выше результата стратегии А. Как и наоборот, плохие первые Б дадут эквити А+Б ниже А.
Только на бесконечности они совпадут теоретически.
avatar
А торговать очевидно надо А+А'.
А' — копия А, но для другого инструмента.
А' ведь лучше Б.
Этим снижается дисперсия портфеля (ожидаемая просадка по ходу). Ну, это общеизвестно.
avatar
Думаю вопрос стоит в том, чтобы найти мат. ожидание системы С, являющейся объедининем систем А и Б. E[C] — ?

E[C] = E[A+B] = E[A] + E[B]

avatar
Ответ, не будет. Теоретическое обоснование: от перестановки множителей произведение не меняется.

Если у Б нулевое мат. ожидание, то профит A+Б=A.
avatar
fxsaber, Ну это не множители, а вероятности, каждая со своей дисперсией, тем более, когда используется сложный процент. Всё будет зависеть от дисперсии обеих систем и нужно построить программно миллион траекторий возможных эквити, чтобы определить влияние одной системы на другую.
avatar
Antishort, итоговая прибыль будет одинаковая, вне зависимости от дисперсий.

Для абсолютно любых А и Б все траектории А+Б закончатся в одной и той же точке.

В случае, когда мат. ожидание нулевое у Б, траектории закончатся в той же точке, где кончается А.
avatar
Тут не надо монументального владения математикой, всё самоочевидно. представьте, что системой Б торгует другой человек на другом счете. И у него нулевая доходность. Объединив усилия вы лишь разделите доходность системы A пополам.
avatar
Алексей А., «Объединив усилия вы лишь разделите доходность системы A пополам.»

Нет. Торговля с одного счёта и системы по времени не пересекаются. Т.е. каждая использует весь капитал. Нулевое матожидание вовсе не означает нулевое влияние на конечный результат, тем более в условиях торговли по сложному проценту. Дисперсия может внести коррективы, увеличив просадки, к примеру и время выхода из них, в результате «убив» доходность по сложному проценту.

Тут программировать нужно, перебирая миллионы результатов тестов двух систем с меняющейся дисперсией, чтобы оценить всю совокупность эквити и их распределение.
avatar

теги блога Antishort

....все тэги



UPDONW