Блог им. Kot_Begemot

Теория и Практика Дельта-Хеджа


Для того, чтобы продать волатильность, нам необходимо продать стрэддл — этим, мы полностью избавляемся от чувствительности к направлению движения цены, оставляя при этом чувствительность к «волатильности»… Чтобы не запутаться, обозначим первую волатильность за IV (Implied Volatility) и будем считать  её заранее известной и эффективной. 


Если бы рынок был монеткой и выходил бы на экспирацию двумя возможными вариантами {+IV, -IV }, то результатом продажи нашей опционной конструкции был бы ровно 0, в силу равенства IV=RV. Но рынок выходит на экспирацию через «тренды» и «пилы», которые выводят Базовый Актив в том числе далеко за ± IV, и в том числе и в ноль.  В результате, конечное отклонение от ± IV  и, соответственно, риски, которые мы принимаем при продаже стрэддла, составляют приблизительно :

Теория и Практика Дельта-Хеджа

где S — СКО, RV ( «реализованная волатильность»)   - отклонение цены на экспирацию, t — время до экспирации, а сигма0 — величина шага движения цены. Это уравнение можно получить численно, а можно, взяв интеграл по соответствующему распределению Гаусса (аналитический вариант).  


Теперь рассмотрим наш стрэддл несколько повнимательней:

Теория и Практика Дельта-Хеджа

Наш стрэддл имеет две длинные ноги, имеющих дельту ± 1  (для простоты считаем тетта=0), и легко хеджирующихся такими же фьючерсами, и одну особую точку — центральный страйк, для которого дельта (первая производная по цене) = 0, но гамма (вторая производная по цене) = -20, и она уже фьючерсами никак не хеджируется. Для простоты, конечно, мы полагаем, что цена изменяется как-то дискретно с некоторым шагом H (10 центов на рисунке).

И как бы мы не хотели захеджировать эту особую точку — мы этого сделать не можем, так как контр-инструмент, то есть фьючерс, не обладает никакой гаммой и не в состоянии её захеджировать (хеджирование опционами мы не рассматриваем). При этом, сколько бы наша дельта не стремилась здесь к нулю, из-за существования гаммы наша конструкция все равно остаётся чувствительной к изменению цен БА*.


* В этом смысле, стоимость опциона это отнюдь не стоимость его дельта-хеджа. 



Теперь, чтобы рассчитать предельную (конечную) эффективность идеального дельта-хеджирования, нам нужно всего лишь рассчитать неопределённость или риски, связанные с гаммой. Для чего, сначала рассчитаем среднее время пребывания нашего стрэддла на ЦС:

Теория и Практика Дельта-Хеджа


где N — время до экспирации в единицах интервала рехеджа, равное числу изменений цены или числу рехеджей.


Полученное время есть, в свою очередь, случайная величина, для которой, можно записать:

Теория и Практика Дельта-Хеджа

Теория и Практика Дельта-Хеджа


(вышеприведенные результаты подтверждены моделированием)


Теперь, поскольку мы полностью захеджировали риски в иных ситуациях, то оставшиеся после дельта-хеджа риски составят: 

Теория и Практика Дельта-Хеджа

где RGR — остаточный гамма-риск (Residual Gamma Risk), H — шаг дельта-хеджирования, N — количество шагов до экспирации.



Переходя к непрерывному случаю и, учитывая вид 2-ого члена в разложении Тейлора, получим выражение для непрерывного остаточного гамма-риска :


Теория и Практика Дельта-Хеджа



Таким образом, мы получили теоретический предел сжатия рисков при помощи дельта-хеджирования.  Изобразим полученную зависимость графически:

Теория и Практика Дельта-Хеджа

Иллюстрация. Зависимость остаточных рисков от частоты дельта-хеджирования. 


Теперь сравним полученное теоретическое значение с экспериментальным, захеджировав по 10 000 стрэддлов, длительностью 15, 60 и 240 шагов (дней) при помощи одного из моих алгоритмов хеджирования, при априорно заданных IV=H=1.


Теория и Практика Дельта-Хеджа
Рис. 1. Стрэддл на 15 дней, 10 000 симуляций :

Теоретический Риск стреддла = 2.32 ,  Эмпирический результат = 2.24

Остаточный Гамма-Риск (теория)  = 0.78, Эмпирический результат =  0.81

 
Теория и Практика Дельта-Хеджа
Рис. 2. Стрэддл на 60 дней, 10 000 симуляций :

Теоретический Риск стреддла = 4.64, Эмпирический результат = 4.63

Остаточный Гамма-Риск (теория)  = 1.18, Эмпирический результат = 1.26


Теория и Практика Дельта-Хеджа
Рис. 3. Стрэддл на 240 дней, 10 000 симуляций :

Теоретический Риск стреддла = 9.29, Эмпирический результат = 9.22

Остаточный Гамма-Риск (теория)  = 1.71, Эмпирический результат = 2.29




★19
Ну вот, МО результата же положительное. Другой вопрос, что доходность будет на уровне ОФЗ :)
avatar

Dmitryy

Dmitryy, МОЖ не зависит от дельта-хеджа, за исключением доп. комиссий по фьючерсам. Здесь они 0 при заранее заданном положительном мат. ожидании продажи стрэддла. Но это отдельный вопрос, разный для разных рынков, фьючерсов, брокеров, сроков и т.д. и т.п. 
avatar

Kot_Begemot

* В этом смысле, стоимость опциона это отнюдь не стоимость его дельта-хеджа. 
Это смотря о какой стоимости опциона вы говорите. Если о теоретической со всеми допущениями о непрерывности движения БА и ДХ, нивелирующие гамма-риск, то его стоимость будет равна стоимости его репликации. А если о рыночной цене, то разумеется репликация имеет некую добавочную стоимость — за гамма-риск, поэтому IV почти всегда выше RV.

PS. И тогда опять же можно утверждать, что и цена реального опциона это стоимость его репликации, потому что риск стоит денег.
avatar

noHurry

риск стоит денег

В формуле БШ риск не стоит денег потому что у опциона есть покупатель и продавец — каждый из них несёт риск, но ничего за этот риск не получает.

В акциях, где эмитент не несёт рисков (у него закономерный убыток), а держатель — несёт, принято считать иначе. Но только потому, что одна из сторон явно отделяется от другой. 


avatar

Kot_Begemot

Kot_Begemot, 
риск не стоит денег

ну как же не стоит. Да каждый и покупатель и продавец несут риски, но это не значит, что они ничего не стоят. Покупатель покупает гамму и плати за это риском по тетте продавцу, а продавец получает тетту и платит за это покупателю  риском по гамме. 

Про акции, «где эмитент не несёт рисков (у него закономерный убыток), а держатель — несёт», честно говоря не понял, как можно это сравнивать. 

avatar

noHurry

noHurry, как у вас интересно выходит — опционщики платят риском за риск и в результате обмениваются рисками.  Какая всё же опционы интересная штука — 10 волатильностей, 10 рисков, 10 «денег», которых стоят «риски».  


Да, гамму и покупает — там больше нет ничего у опциона.

А про акции, поскольку вторая сторона сделки как-бы выбрасывается и остаются только покупатели, то для них рассчитывается риск (волатильность), коэффициент замещения риска доходностью (бетта) + индивидуальная склонность к риску… там целая теория. Но смысл именно такой — чем больше риски (волатильность), тем выше доходность...  дальше…, не буду врать — теорию эффективно риска рынка я не поддерживаю.


avatar

Kot_Begemot

Kot_Begemot, 
опционщики платят риском за риск и в результате обмениваются рисками. 

да так и есть, можно это назвать гаммой, можно теттой. 

 

Что касается акций, мне кажется вы пишите про эмитент/держатель акции, а думаете про ситуацию акция лонг/шорт. Мне думается, что это разные вещи, в случае держатель акции и эмитент — они в общем-то одно и тоже — они совладельцы бизнеса и по идее у них одинаковые риски. 

avatar

noHurry

noHurry, если быть более точным, то покупатель покупает волатильность. Продавец ее продает. В терминах продажи тетты — ей противостоит произведение 0.5*gamma*(цена БА)^2*вола^2. Вот именно эти две величины имеют одинаковую размерность и именно в таком виде входят в ур-е БШ. Так что продал тетту — получил риск по указанному произведению. А это скорее риск не по гамме, а по волатильности.
avatar

Kot_Begemot

Kot_Begemot, 
если быть более точным, то покупатель покупает волатильность.

если бы все было так просто. Попробуйте купить волатильность в чистом виде, у вас наверняка получится хорошенький замес из гаммы, тетты, волатильности и ещё чего нибудь, и все это будет напоминать волатильность очень отдаленно.

Фьючерсы на волатильность убираем в сторону, хотя даже они не являются волатильностью, хоть это и наиболее близкий к этому инструмент. 

avatar

noHurry

noHurry, 
получится хорошенький замес из гаммы, тетты, волатильности и ещё чего нибудь
Я рад, что мы пришли к консенсусу.
avatar

Kot_Begemot

Почему фьючерс не обладает гаммой? Вы же сделки с ним делаете. Или нет?
Дмитрий Новиков, а какая гамма может быть у фьючерса, если он линейный?

В одну сторону, предвидя Гамму, вы, быть может, и наберете гама-хедж, а когда заранее не известно куда цена пойдёт — увы 
avatar

Kot_Begemot

Kot_Begemot, линейную часть надо отбросить. Вы купили 50 штук цена пошла  в рост. Вы докупили 25. Цена вернулась. Вы продали 25. Покупали дорого, продавали дёшево эти 25. Это и есть отрицательная гамма. В стратегии на пробой. В стратегии на отскок у вас гамма будет положительной.
Дмитрий Новиков, вот эти 25 и делают мне убыток… случайный убыток.
avatar

Kot_Begemot

Kot_Begemot, но в этот самый момент проданный опцион, где гамма положительна, делает вам прибыль. И вся случайность в том, будет ли вола опциона IV больше волы БА. 
Дмитрий Новиков, нет, вола у меня дискретна, равная 1. И убытки она делает не случайностью шага, к случайностью направления по гамме.
avatar

Kot_Begemot

Kot_Begemot, Ну тут я пасс. Вола не может быть дискретной, потому что это среднее. А у гаммы нет направления, только знак. Почитайте это http://synset.com/wiki/index.php/Случайные_величины
Kot_Begemot, Предвидя гамму? Соберите позицию где гамма постоянна +-5 страйков. 
Дмитрий Новиков, в этом, кстати, нет никакой проблемы. Есть даже опционные трейдеры, которые именно так и торгуют.
avatar

Kot_Begemot

Kot_Begemot, ну по другому и нельзя. Это гамма трейдинг. Финрез от гаммы зависит.
К сожалению, когда начинается практика оказывается, что рассчитать правильную дельту крайне сложно. В реальности какая будет улыбка, с каким наклоном и на каком уровне по вертикали просчитать нельзя, т.к. ММ будет каждый раз ее рисовать исходя из своего профиля позиции, а биржа будет позже под эту «справедливую» улыбку ММ-ра дорисовывать свою, транслируя нам свои теоретические цены. Причем, чем меньше будет участников в данных страйках и сериях опционов, тем сильнее ММ будет искривлять (манипулировать) теорию. 
Алексей Борец, а каким образом у вас в портфеле изменяется волатильность? Вы как купили опцион он столько и стоит.
Дмитрий Новиков, Не совсем понял вопроса, но стоимость опциона у вас будет меняться постоянно вне зависимости от БА (пусть даже он стоит на месте), т.к. ММ постоянно изменяет параметры улыбки, это будет приводить к изменению волатильности на купленном вами страйке и переоценки стоимости опциона.
Алексей Борец, вы дельтахеджируете свой опцион который у вас есть, или рынок? Конечно, если вы докупаетесь, то вам важно что там на рынке. А если свой опцион, то у вас и улыбка своя и дельта.
Алексей Борец, а кто-то еще смотрит теоретические цены от биржи? Я бы им не верил, тем более свою цену посчитать не сложно.
avatar

Dmitryy

Dmitryy, Для меня важен размер вариационной переоценки, поэтому на теорию тоже приходится обращать внимание. При управлении позицией, а топик вроде как про дельта-хедж, никто на теорию конечно не смотрит, вернее смотрим на теорию, рыночную и свою улыбки. Однако, покупать/продавать опцион вы будите внутри спрэда ММ, а не по своей улыбке. 
Для меня важен размер вариационной переоценки...  Однако, покупать/продавать опцион вы будите внутри спрэда ММ, а не по своей улыбке


Алексей Борец, кто-то угадывает направление цены БА, кто-то угадывает настроение ММ в опционах. Конечно, если вы знаете, что завтра Аннушка прольёт масло и ММ неожиданно, придёт в голову гениальная мысль поднять страйк 22 200 в два раза, то лучше бы этот страйк прикупить заранее… «задельтохеджировать» так сказать.

avatar

Kot_Begemot

Kot_Begemot, Я хотел сказать, что правильный дельта-хедж сейчас зависит от максимально близко вычисленной улыбки ММ (рыночной) в будущем.  В этом вся проблема на мой взгляд.  

Алексей Борец, вроде, недавно разбирали этот вопрос. Маркетос хеджирует по рынку, чтобы стабилизировать свой бук. И ему не важно, какая прибыль будет в итоге. Лишь бы посередине процесса к нему не прибегала биржа и не просила довнести соточку лямов.

 

А трейдер хеджирует «по уму» и терпит волатильность своего бука. Потому что в итоге всё равно добро победит зло.

 

В итоге все довольны.

avatar

ch5oh

ch5oh, ММ не всегда может сбалансировать свою позицию. Например, я торгую в основном недельками Si. Там  у ММ не так много вариантов об кого-то закрыться. Если я сейчас на вечерке ММ налью n-1000 контрактов на ± 1 страйк, то у него сразу появится такой риск, что ему поплохеет. Единственный способ риск уменьшить, это начать активно крутить улыбку.
Алексей Борец, не думаю, что ММ серьёзно заметит тыщу лотов. А если заметит, то дальше рецепт известен: меняют учетную цену опционов, с Вас списывают обалденную вармаржу, а маркетос на вечерний клиринг рапортует об «околонулевом финрезе». В принципе, если будете упорствовать, на следующий день упражнение можно повторить.
avatar

ch5oh

ch5oh, это как? Клиринг прошёл по 120 рублей, а учли на клиринге по… 50, допустим?
avatar

Kot_Begemot

Kot_Begemot, Такое очень часто бывает, особенно когда рынок спокоен. ММ таким образом вариационку отбирает и засаживает в ловушку. В ситуации как сейчас,  ММ не очень-то это удается сделать, но пытается. 
Kot_Begemot, нет, клиринг ПРОЙДЕТ по учетной цене 50 рублей. 
avatar

ch5oh

При минимальных рисках и доходность будет на уровне депозита.
Зачем тогда весь этот матан? )

Врач-бондиатОр, «весь этот матан» как раз за то, чтобы при минимальных рисках иметь приятный доход в несколько безрисковых ставок.

 

Тут вот один товарищ хвастается, что придумал 100% годовых безриска и считает, что этого мало.

avatar

ch5oh

ch5oh, хорошо знать математику…
Опять они дельту скальпят, «управленцы позицией», пипсовщики опционные… Ничо не меняется в этой прачечной…
avatar

Всечернейший

> "Остаточный Гамма-Риск (теория)  = 1.71, Эмпирический результат = 2.29"

 

Что-то пошло не так? =)

avatar

ch5oh

ch5oh, нет. Для малого количества шагов оценка скорее завышена относительно реальной (особенно до 10 шагов), для большого — справедлива. У меня же Гаусс считается, в предположении количества шагов стремящегося к бесконечности. (время ЦС и т.д.). То есть качество работы хеджера от числа шагов здесь скорее не зависит (но впечатление создаётся), а вот риск, с количеством шагов — действительно убывает.

Но и разные дельтахеджеры работают чуть по разному. 
avatar

Kot_Begemot

Мой ДХ нормально считает дельту(самопись не BS)и в принципе если не частить по 1 дельте а ровнять 2 или 3 к примеру на Си, то профит присутствует.Жалоб нет.


....все тэги
UPDONW