Контроль рисков в играх с рекапитализацией

Сложность задачи контроля рисков состоит в том, что риски в действительности не ограничены и нарастают с течением времени так, что превращают бесконечно длительные игры с полной рекапитализацией в игры с абсолютно неконтролируемым риском. В связи с чем, задача выбора оптимального плеча (объёма) становится в общем случае математически не решаемой, а риск-менеджмент, в конечном счете, определяется только психологическим комфортом управляющего или инвестора. Тем не менее, исходя из некоторых предпосылок мы можем ограничить зону допустимого психологического комфорта и склонности к риску, то есть указать на некоторые их разумные пределы.


Изображение зависимости средней ожидаемой максимальной просадки заданных стратегий от времени. Любезно позаимствовано у Eugene Logunov.





Как и ранее, имея стартовый капитал 50 млн. долларов США мы будем пытаться обыграть господина Баффета, имеющего 500 млрд. долларов США, то есть будем стараться увеличить свой капитал в 10 000 раз за счёт игры на бирже. Играть мы будем нелинейно, то есть будем увеличивать ставки после каждого удвоения пропорционально текущему капиталу и поэтому для реализации нашей цели нам предстоит выиграть у господина Баффета не 10 000 раз подряд, а всего лишь:




Мы знаем, что наша стратегия обладает преимуществом над стратегией господина Баффета и позволяет играть против него с вероятностью 55%/45%, то есть с 10% смещением (Шарп = 1.6)



Нам так же известно, что уменьшая «плечо» и сокращая доходность, общая вероятность победы в серии испытаний (вероятность удвоения капитала) растёт пропорционально:

 

где n — необходимое число последовательных выигрышей для удвоения капитала, а 1/n — риск (волатильность) на сделку.




В этом случае вероятность закончить полную игру с положительным результатом, то есть, непосредственно разбогатеть, а не потерять, пропорциональна:

 



Рассмотрим поведение этих величин графически:


Изображение — вероятность увеличения капитала на 1млн.% (синяя линия), и вероятность удвоения капитала (зелёная линия) при дроблении капитала на n частей, отложенных по оси абсцисс  для стратегии, обладающей годовым Шарпом 1.6.



Видно, что для стратегии данного качества (Шарп = 1.6), ограничение годовой доходности должно составлять около 60% годовых (риск = 1/40= 2.5%), а ограничение 3 сигма просадки на уровне 50%. В этом случае мы можем быть почти уверенными (>99.5%) в том, что стратегия не разорит нас на дистанции 1 млн. процентов. При ограничении 3-сигма просадки в 80%, доходности 75%, а ставки  — 1/30 -  мы будем увеличивать свой капитал на 1 млн.% только в 92% случаев. 

Аналогично и для стратегий более низкого качества - требования к рекапитализации удовлетворяются при схожих ограничениях квантильных просадок на уровнях 20-25% (2 сигма) и 45-50% (3 сигма). Для показателя Шарпа 1, например, это соответствует риску 1/75 = 1.3% на сделку и ограничению доходности на уровне 20% годовых.


Изображение — вероятность увеличения капитала на 1млн.% (синяя линия), и вероятность удвоения капитала (зелёная линия) при дроблении капитала на n частей для стратегии, обладающей годовым Шарпом 0.6.


* Ограничение данной модели — полное отсутствие зачатков интеллекта у господина Баффета и стационарность среднего независимых испытаний, а не среднего независимых серий испытаний.